大学物理期末复习题
力学部分
一、填空题：
1. 已知质点的运动r?x(t)i?y(t)j方程，则质点的速度为 ，加速度
为 。
?1?222.一质点作直线运动，其运动方程为x?2m?(2m?s)t?(1m?s)t，则从t?0到t?4s时间间隔内质点的位移大小 质点的路程 。
a?(2m?s?3)tx3. 设质点沿轴作直线运动，加速度，在t?0时刻，质点的位置坐标
x?0且v0?0，则在时刻t，质点的速度 ，和位
置 。
4．一物体在外力作用下由静止沿直线开始运动。第一阶段中速度从零增至v,第二阶段中速度从v增至2v，在这两个阶段中外力做功之比为 。
5．一质点作斜上抛运动（忽略空气阻力）。质点在运动过程中，切向加速度是 ，法向加速度是 ，合加速度是 。（填变化的或不变的）
6．质量m=40 kg的箱子放在卡车的车厢底板上，已知箱子与底板之间的静摩擦系数为s＝0.40，滑动摩擦系数为k＝0.25，试分别写出在下列情况下，作用在箱子上的摩擦力的大小和方向．
(1)卡车以a = 2 m/s2的加速度行驶，f =_________，方向_________．
(2)卡车以a = -5 m/s2的加速度急刹车，f =________，方向________．
7．有一单摆，在小球摆动过程中，小球的动量 ；小球与地球组成的系统机械能 ；小球对细绳悬点的角动量 （不计空气阻力）．（填守恒或不守恒） 二、单选题：
1.下列说法中哪一个是正确的（ ）
（A）加速度恒定不变时，质点运动方向也不变 （B）平均速率等于平均速度的大小
（C）当物体的速度为零时，其加速度必为零
（D）质点作曲线运动时，质点速度大小的变化产生切向加速度，速度方向的变化产生法向加速度。
x?(1m?s?2)t2?(4m?s?1)t?5mOx2. 质点沿轴运动方程是，则前3s内它的（ ）
（A）位移和路程都是3m （B）位移和路程都是-3m （C）位移为-3m，路程为3m （D）位移为-3m，路程为5m
3. 下列哪一种说法是正确的（ ） （A）运动物体加速度越大，速度越快
（B）作直线运动的物体，加速度越来越小，速度也越来越小 （C）切向加速度为正值时，质点运动加快
（D）法向加速度越大，质点运动的法向速度变化越快
4.一质点在平面上运动，已知质点的位置矢量的表示式为r?ati?btj（其中a、b为常量），则该质点作（ ）
（A）匀速直线运动 （B）变速直线运动 （C）抛物线运动 （D）一般曲线运动
5. 用细绳系一小球，使之在竖直平面内作圆周运动，当小球运动到最高点时，它（ ）
（A）将受到重力，绳的拉力和向心力的作用 （B）将受到重力，绳的拉力和离心力的作用 （C）绳子的拉力可能为零
（D）小球可能处于受力平衡状态 6．功的概念有以下几种说法
（1）保守力作功时，系统内相应的势能增加
（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零
（3）作用力和反作用力大小相等，方向相反，所以两者作功的代数和必为零 以上论述中，哪些是正确的（ ）
（A）（1）（2） （B）（2）（3） （C）只有（2） （D）只有（3）
7．质量为m的宇宙飞船返回地球时，将发动机关闭，可以认为它仅在地球引力场中运动，当它从与地球中心距离为R1下降到距离地球中心R2时，它的动能的增量为（ ）
mE?mR222GGmEm（A） （B）
R1?R2R1R2GmEm （C）
R1?R2R1?R2GmmE2R12 （D）R12?R2
8．下列说法中哪个或哪些是正确的（ ）
（1）作用在定轴转动刚体上的力越大，刚体转动的角加速度应越大。 （2）作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角速度越大 （3）作用在定轴转动刚体上的合力矩为零，刚体转动的角速度为零 （4）作用在定轴转动刚体上合力矩越大，刚体转动的角加速度越大 （5） 作用在定轴转动刚体上的合力矩为零，刚体转动的角加速度为零 9．一质点作匀速率圆周运动时（ ）
（A）它的动量不变，对圆心的角动量也不变 （B）它的动量不变，对圆心的角动量不断改变 （C）它的动量不断改变，对圆心的角动量不变
（D）它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变 10 . 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆轨道上的一个焦点上，则卫星（ ）
（A）动量守恒，动能守恒 （B）对地球中心的角动量守恒，动能不守恒 （C）动量守恒，动能不守恒 （D）对地球中心的角动量不守恒，动能守恒 11．花样滑冰者，开始自转时，其动能为
E?12J?02，然后将手臂收回，转动惯量减少到原
1来的3，此时的角速度变为?，动能变为E，则有关系（ ）
（A）??3?0,E?E0, （B）
?1???0,E?3E013 （C）??3?0,E?E0, （D）
??3?0 , E?3E0
12．一个气球以5m?s速度由地面匀速上升，经过30s后从气球上自行脱离一个重物，该物体从脱落到落回地面的所需时间为（ ）
（A）6s （B）30s （C）5. 5s （D）8s
13． 以初速度v0将一物体斜向上抛出，抛射角为??60，不计空气阻力，在初始时刻该物体的（ ）
（A）法向加速度为g; （B）法向加速度为3g;
2（C）切向加速度为?3g; （D）切向加速度为?1g.
2214．如图，用水平力F把木块压在竖直墙面上并保持静止，当F逐渐增大时，木块所受
的摩擦力（ ）
（A）恒为零； （B）不为零，但保持不变； F （C）随F成正比地增大；
（D）开始时随F增大，达到某一最大值后，就保持不变。
15．质量分别为m和4m的两个质点分别以Ek和4Ek的动能沿一直线相向运动，它们的总动量的大小为（ ）
?0（A）33mEk; （B）32mEk; （C）52mEk; （D）22?12mEk.
16． 气球正在上升，气球下系有一重物，当气球上升到离地面100m高处，系绳突然断裂，重物下落，这重物下落到地面的运动与另一个物体从100m高处自由落到地面的运动相比，下列哪一个结论是正确的（ ）
（A）下落的时间相同 （B）下落的路程相同 （C）下落的位移相同 （D）落地时的速度相同
17．抛物体运动中，下列各量中不随时间变化的是（ ） （A）v （B）v
（C）dvdt （D）dvdt
18．一滑块m1沿着一置于光滑水平面上的圆弧形槽体m2无摩擦地由静止释放下滑，若不计空气阻力，在这下滑过程中，分析讨论以下哪种观点正确：（ ）
（A）由m1和m2组成的系统动量守恒 （B）由m1和m2组成的系统机械能守恒 （C）m1和m2之间的正压力恒不作功 （D）由m1、m2和地球组成的系统机械能守恒
三．判断题
1．质点作曲线运动时，不一定有加速度；（ ） 2．质点作匀速率圆周运动时动量有变化；（ ） 3．质点系的总动量为零，总角动量一定为零 ；（ ）
4．作用力的功与反作用力的功必定等值异号，所以它们作的总功为零。（ ） 5．对一质点系，如果外力不做功，则质点系的机械能守恒；（ ） 热学部分 一、填空题：
3．热力学第一定律的实质是涉及热现象的 ．
4．某种理想气体分子的平动自由度t=3,转动自由度r=2,振动自由度s=1.当气体的温度为Ｔ时，一个分子的平均总能量等于 ，一摩尔该种气体的内能等于 。
5．热力学概率是指 。 6．熵的微观意义是分子运动 性的量度。
o
7．1mol氧气（视为理想气体）储于一氧气瓶中，温度为27C，气体分子的平动自由度t=3,转动自由度r=2,振动自由度s=0.则氧分子的平均平动能为 J；氧分子的平均总动能为 J；该瓶氧气的内能为 J。
8．某温度为T，摩尔质量为μ的气体的最概然速率vp＝ ，物理意义为 。
9．密闭容器内的理想气体，如果它的热力学温度提高二倍，那么气体分子的平均平动能提高 倍，气体的压强 ２倍（填提高或降低）。 二、单项选择题
1．在下列理想气体各种过程中，那些过程可能发生？（ ）
(A) 等体加热，内能减少，压强升高 (B) 等温压缩，吸收热量，压强升高 （C）等压压缩，吸收热量，内能增加 (D) 绝热压缩，内能增加，压强升高 2．下列说法那一个是正确的（ ）
(A) 热量不能从低温物体传到高温物体 (B) 热量不能全部转变为功 （C）功不能全部转化为热量
(D) 气体在真空中的自由膨胀过程是不可逆过程
3． 在绝热容器中，气体分子向真空中自由膨胀，在这过程中（ ）
(A)气体膨胀对外作功，系统内能减小 (B)气体膨胀对外作功，系统内能不变 （C）系统不吸收热量，气体温度不变 (D)系统不吸收热量，气体温度降低
4．1mol的单原子理想气体从A状态变为B状态，如果不知道是什么气体，变化过程也不清楚，但是可以确定A、B两态的宏观参量，则可以求出（ ） (A) 气体所作的功 (B) 气体内能的变化
（C） 气体传给外界的热量 (D) 气体的质量
5. 热力学第二定律表明（ ）
(A)不可能从单一热源吸收热量使之全部变为有用功而不产生其他影响 (B) 热不能全部转变为功
(C) 热量不可能从温度低的物体传到温度高的物体 (D) 以上说法均不对。
6．在标准条件下，将1mol单原子气体等温压缩到16.8升，外力所作的功为（ ） (A) 285 J (B) -652 J （C） 1570 J (D) 652 J
7．关于热功转换和热量传递有下面一些叙述 (1)功可以完全变为热量，而热量不能完全变为功；
（2）一切热机的效率都小于1 ；
（3）热量不能从低温物体传到高温物体；
（4）热量从高温物体传到低温物体是不可逆的。 8．以上这些叙述( ) (A) 只有（2）、（4）正确 (B) 只有（2）、（3）、（4）正确 （C）只有（1）、（3）、（4）正确 (D) 全部正确 9．速率分布函数f(v)的物理意义为（ ） （A） 具有速率v的分子占总分子数的百分比
（B） 速率分布在v附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比 （C） 具有速率v的分子数
（D） 速率分布在v附近的单位速率间隔中的分子数
10．1mol刚性双原子理想气体分子在温度为T时，其内能为（ ）
2355RTkTRTkT（A） 3 （B） 2 （C） 2； （D） 2。
11．压强为p、体积为V的氢气的内能为（ ）
1753
pVpVpVpV
2222（A） （B） （C） （D）
12．质量为m的氢气，分子的摩尔质量为M，温度为T的气体平均平动动能为（ ）
3m5m3m5mRTRTkTkT（A）2M （B） 2M （C） 2M； （D） 2M
电学部分
一、填空题：
1．电荷最基本的性质是与其他电荷有 ，库仑定律直接给出了 之间相互作用的规律；
7．两个电荷量均为q的粒子，以相同的速率在均匀磁场中运动，所受的磁场力 相同（填一定或不一定）。
11．麦克斯韦感生电场假设的物理意义为：变化的 _______ 能够在空间激发涡旋的电场；
位移电流假设的物理意义为变化的 _______ 能够在空间激发磁场。
9．自感系数L =0.3 H的 螺 线 管 中 通 以I =8 A的电流时，螺线管存储的磁场能 量W =___________________． 二、选择题：
?6?61．点电荷q1?2.0?10C，q2?4.0?10C两者相距d?10cm，试验电荷
q0?1.0?10?6C，则q0处于q1q2连线的正中位置处受到的电场力为（ ）
1.79?10?4N 7.2?10?4N 7.2N 1.79N （C） （A）（B）（D）
2．一半径R的均匀带电圆环，电荷总量为q,环心处的电场强度为（ ） qq224π?R4π?0R24π?R00（A） （B）0 （C） （D）
q3．一半径为R的均匀带电半圆环，带电为Q半径为R，环心处的电场强度大小为 （ ）
QQQ2222（A）2π?0R （B）8π?0R （C）0 （D）4π?0R
4．长l的均匀带电细棒，带电为Q，在棒的延长线上距棒中心r处的电场强度的量值为Q22223π?r9π?rπ?(4r?l) （D）? （ ） 000（A） （B） （C）
QQ5．孤立金属导体球带有电荷Q，由于它不受外电场作用，所以它具有（ ）所述的性质 （A）孤立导体电荷均匀分布，导体内电场强度不为零 （B）电荷只分布于导体球表面，导体内电场强度不为零 （C）导体内电荷均匀分布，导体内电场强度为零 （D）电荷分布于导体表面，导体内电场强度为零
6．半径为R的带电金属球，带电量为Q，r为球外任一点到球心的距离，球内与球外的电势分别为（ ）
Vin?0, Vex?Q4π?0rVin?QQ, Vex?4π?0R4π?0r QQ, Vex?4π?0R4π?0R（A） （B）
Vin?0, Vex?（C）
Q4π?0RVin? （D）
7．两长直导线载有同样的电流且平行放置，单位长度间的相互作用力为F，若将它们的电流均加倍，相互距离减半，单位长度间的相互作用力变为F?，则大小之比F?/F为 （ ）
（A）1 （B）2 （C）4 （D）8
8．对于安培环路定理的正确理解是 ( ) B?dl?0（A）若? l，则必定l上B处处为零 B?dl?0（B）若? l，则必定l不包围电流
B?dl?0（C）若? l，则必定l包围的电流的代数和为零 B?dl?0（D）若? l，则必定l上各点的B仅与l内的电流有关
9. 平行板电容器的电容为C0，两极板间电势差为U，若保持U不变而将两极板距离拉开一倍，则： （ ）
（A）电容器电容减少一半； （B）电容器电容增加一倍； （C）电容器储能增加一倍； （D）电容器储能不变。
10．对于毕奥—萨伐尔定律的理解： （ ） （A）它是磁场产生电流的基本规律； （B）它是电流产生磁场的基本规律；
（C）它是描述运动电荷在磁场中受力的规律； （D）以上说法都对。
11．通以稳恒电流的长直导线，在其周围空间： （ ）
A．只产生电场。 B．只产生磁场。
C．既不产生电场，也不产生磁场。 D．既产生电场，也产生磁场。
12．有一无限长载流直导线在空间产生磁场，在此磁场中作一个以载流导线为轴线的同轴圆柱形闭合高斯面，则通过此闭合面的磁感应通量：（ ）
IA. 等于零； B. 不一定等于零； C. 为 ?0I ； D. 为.
?013．有一由N匝细导线绕成的平面正三角形线圈，边长为a，通有电流I，置于均匀磁场B中，当线圈平面的法向与外磁场同向时，该线圈所受的磁力矩Mm值为 ( )
222（A）3NaIB/2 （B）3NaIB/4 （C）3NaIBsin60? （D）0
14．位移电流有下述四种说法，请指出哪种说法是正确的 （ ） （A）位移电流是由变化电场产生的； （B）位移电流是由变化磁场产生的；
（C）位移电流的热效应服从焦耳一愣次定律； （D）位移电流的磁效应不服从安培环路定律。
(L)??15．麦克斯韦方程组的全电流安培环路定理?B?dl? （ ）
???????E?E A．?0I； B.?0?0???dS； C. 0； D.?0I??0?0???dS.
?t?t(s)(s)16．热力学第二定律表明（ ）
(A)不可能从单一热源吸收热量使之全部变为有用功而不产生其他影响 (B) 热不能全部转变为功
(C) 热量不可能从温度低的物体传到温度高的物体 (D) 以上说法均不对。
17.一绝热密闭的容器，用隔板分成相等的两部分，左边盛有一定量的理想气体，压强为po，右边为真空，今将隔板抽去，气体自由膨胀，当气体达到平衡时，气体的压强是（ ） (A)po (B)po/2 (C)2po (D)无法确定。
18．判断下列有关角动量的说法的正误： （ ）
（A）质点系的总动量为零，总的角动量一定为零； （B）一质点作直线运动，质点的角动量不一定为零；
（C）一质点作匀速率圆周运动，其动量方向在不断改变，所以质点对圆心的角动量方向也随之不断改变； （D）以上说法均不对。
19．以下说法哪个正确： （ ）
（A）高斯定理反映出静电场是有源场； （B）环路定理反映出静电场是有源场； （C）高斯定理反映出静电场是无旋场；
（D）高斯定理可表述为：静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒为零。
20．平行板电容器的电容为C0，两极板间电势差为U，若保持U不变而将两极板距离拉开一倍，则： （ ）
（A）电容器电容减少一半； （B）电容器电容增加一倍； （C）电容器储能增加一倍； （D）电容器储能不变。 21．对于毕奥—萨伐尔定律的理解： （ ）
（A） 它是磁场产生电流的基本规律； （B） 它是电流产生磁场的基本规律；
（C） 它是描述运动电荷在磁场中受力的规律； （D） 以上说法都对。
22．通以稳恒电流的长直导线，在其周围空间：（ ）
（A）只产生电场； （B）既不产生电场，又不产生磁场； （C）只产生磁场； （D）既产生电场，又产生磁场。
6．两瓶不同种类的气体，它们的温度和压强相同，但体积不同，则单位体积内的分子数相同．（ ）
7．从气体动理论的观点说明：当气体的温度升高时，只要适当地增大容器的容积，就可使气体的压强保持不变．（ ）
8．热力学第二定律的实质在于指出：一切与热现象有关的宏观过程都是可逆的。（ ） 9．随时间变化的磁场会激发涡旋电场，随时间变化的电场会激发涡旋磁场。（ ） １０．带电粒子在均匀磁场中，当初速度v⊥B时，它因不受力而作匀速直线运动。（ ） 1．作用力的功与反作用力的功必定等值异号，所以它们作的总功为零。（ ） 2．不受外力作用的系统，它的动量和机械能必然同时都守恒．（ ） 3．在弹簧被拉伸长的过程中，弹力作正功。 （ ） 4．物体的温度越高，则热量越多．（ ）
5．对一热力学系统，可以在对外做功的同时还放出热量．（ ） 6．可以使一系统在一定压力下膨胀而保持其温度不变．（ ）
7．带电粒子在均匀磁场中，当初速度v⊥B时，它因不受力而作匀速直线运动。（ ） 8．随时间变化的磁场会激发涡旋电场，随时间变化的电场会激发涡旋磁场。（ ） 9．动生电动势是因磁场随时间变化引起的，感生电动势是因导线在磁场中运动引起的。（ ） 10．电磁波是横波，它能在空间传播是由于随时间变化的电场与磁场互相激发所至。（ ）
四．计算题
1. 已知质点运动方程为
?x??Rsin? t??y?R(1?cos? t)
式中R、ω为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度。 2. 一质点的运动方程为x?6.5t?2t（SI），试求：
32（1）第3秒内的位移及平均速度； （2）1秒末及2秒末的瞬时速度；
（3）第2秒内的平均加速度及0.5秒末的瞬时加速度。 3.质点沿半径为R做圆周运动，其按规律求
S?ct?12bt2运动，式中S为路程，b、c为常数，
（1）t时刻质点的角速度和角加速度
（2）当切向加速度等于法向加速度时，质点运动经历的时间。
S11?(ct?bt2)RR2（1）解 质点作圆周运动，有S?R?，所以 d?cb????tdtRR 角速度
d?b????dtR 角加速度
??（2）在圆周运动中，有 at?R???b
当
an ? at an?R?2?b?1(c?bt)2R
即
cRt??222bb 得 bt?2bct?(c?bR)?0
1(c?bt)2R
?1?224．一质点的运动方程为r?(2m?s)ti?[2m?(1m?s)t]j。
（1）画出质点的运动轨迹。 （2）求t?1s 和 t?2s时的位矢 （3）求1s 和 2s末的速度 （4）求出加速度
5．在光滑水平面上放置一静止的木块，木块质量为m2.一质量为m1的子弹以速度v1沿水平方向射入木块，然后与木块一起运动，如图所示。
（1） 求子弹与木块间的相互作用力分别对子弹和木块所做的功； （2）碰撞过程所损耗的机械能。
m1 V m2
1． 一电容器的电容C=200μF，求当极板间电势差U=200V时，电容器所储存的电能Ｗ。 2． 如图所示，在长直导线AB内通有电流I1=10A,在矩形线圈CDEF中通有电流I2=15A， AB与线圈在同一平面内，且CD、EF与AB平行 。已知a=2.0cm,b=5.0cm,d=1.0cm。求：
（1）导线AB中的电流I1的磁场对矩形线圈CD、DE边的安培力的大小和方向；
（2）矩形线圈所受到的磁力矩。
2．两球质量m1=2.0g,m2=5.0g,在光滑的桌面上运动，速度分别为v1=10icm?s-1, v2=(3.0i+5.0j)cm?s-1，碰撞后合为一体，求碰后的速度（含大小和方向）。
3.我国第一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心为椭圆的一个焦点。已知人造地球卫星近地点高度h1=439km，远地点高度h2=2384km。卫星经过近地点时速率为v1=8.10km·s-1，试求卫星在远地点的速率。取地球半径R=6378km，空气阻力不计。 13．1如图所示，在直角三角形ABCD的A点处，有点电荷q1 = 1.8×10-9C，B点处有点电荷q2 = -4.8×10-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求C点的场强． [解答]根据点电荷的场强大小的公式
q1 C E1 A E2 θ E 图13.1
B q2 E?kq1q， ?22r4??0r其中1/(4πε0) = k = 9.0×109N·m2·C-2．
点电荷q1在C点产生的场强大小为
q11.8?10?994-1?9?10??1.8?10(N?C)，方向向下． E1??222(3?10)4??0AC1点电荷q2在C点产生的场强大小为
|q2|4.8?10?99?9?10??2.7?104(N?C-1)，方向向右． E2??222(4?10)4??0BC1C处的总场强大小为 E?2?0.913?104?3.245?104(N?C-1)， E12?E2总场强与分场强E2的夹角为 ??arctanE1?33.69?． E23均匀带电细棒，棒长a = 20cm，电荷线密度为λ = 3×10-8C·m-1，求： （1）棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm处的场强；
y dl l-L o L r d1 P1 x （2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2 = 8cm处的场强． [解答]（1）建立坐标系，其中L = a/2 = 0.1(m)，
x = L+d1 = 0.18(m)．
在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = λdl，根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大小为
dE1?kdq?dl? r24??0(x?l)2场强的方向沿x轴正向．因此P1点的总场强大小通过积分得
?Ldl?1E1??4??0x?l4??0??L(x?l)2将数值代入公式得P1点的场强为
L??L?1112L?(?)?①． 4??0x?Lx?L4??0x2?L22?0.1?3?10?83-1
E1?9?10?= 2.41×10(N·C)，方向220.18?0.19沿着x轴正向．
（2）建立坐标系，y = d2．
在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = λdl， 在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为
dE2?kdq?dl， ?r24??0r2dE2 y dEy θ P2 dEx d2 r -L L θ o x ldl 由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为 dEy = dE2sinθ．
2
由图可知：r = d2/sinθ，l = d2cotθ，所以 dl = -d2dθ/sinθ， 因此 dEy?总场强大小为
??sin?d?，
4??0d2??Ey?4??0d2??cos?sin?d??4??d02l??L2L?222LLl??L??4??0d2ld?l222L
l??L?14??0d2d?L． ②
将数值代入公式得P2点的场强为
2?0.1?3?10?8Ey?9?10?= 5.27×103(N·C-1)．方向沿着y轴正向． 221/20.08(0.08?0.1)9[讨论]（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入①式，化简得
E1??a?1?，
4??0d1d1?a4??0d1d1/a?1?， ③
4??0d1保持d1不变，当a→∞时，可得E1?这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小． （2）由②式得
Ey??4??0d2ad?(a/2)222??4??0d21(d2/a)?(1/2)22，
当a→∞时，得 Ey??， ④
2??0d2这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式．如果d1=d2，则有大小关系Ey = 2E1．
13．一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如图所示．试求： （1）平板所在平面内，距薄板边缘为a处的场强．
P a b （2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强． [解答（]1）建立坐标系．在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，
电荷的线密度为 dλ = σd x， 根据直线带电线的场强公式 E?得带电直线在P点产生的场强为
d Q 图13.5 y b a P x O dx ?， 2??0rdE?d?2??0r??dx2??0(b/2?a?x)，其方向沿x轴正向．
由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为
?E?2??0??1?ln(b/2?a?x)dx?2??b/2?a?x0?b/2b/2b/2??b/2?bln(1?)． ① 2??0a场强方向沿x轴正向．
（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍然在平
面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度仍然为
dλ = σd x，
带电直线在Q点产生的场强为
y b O d x r dx θ z Q dE dE?d?2??0r??dx2??0(b2?x2)1/2，
沿z轴方向的分量为 dEz?dEcos???cos?dx，
2??0(b2?x2)1/2设x = dtanθ，则dx = ddθ/cos2θ，因此dEz?dEcos??arctan(b/2d)?d? 2??0积分得Ez??b??arctan()． ② 场强方向沿z轴正向． d????2d2??00?arctan(b/2d)?ln(1?b/a)，
2??0ab/a[讨论]（1）薄板单位长度上电荷为λ = σb， ①式的场强可化为 E?当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为
E??， ③ 这正是带电直线的场强公式． 2??0a（2）②也可以化为 Ez??arctan(b/2d)，
2??0db/2d当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为
Ez??， 这也是带电直线的场强公式．
2??0d当b→∞时，可得Ez??， ④ 这是无限大带电平面所产生的场强公式． 2?013． 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R1 > R2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R1；（2） R1 < r < R2；（3）r > R2处各点的场强．
[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性．
（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以
E = 0，（r < R1）．
（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷
为 q = λl，
穿过高斯面的电通量为 ?e???E?dS??EdS?E2?rl，
SS根据高斯定理Φe = q/ε0，所以E??， (R1 < r < R2)． 2??0r（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以
E = 0，（r > R2）．
13．9一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强．
[解答]方法一：高斯定理法．
（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E‘．
d 2r S0 S2 E` S2 E` S1 S1 S0 E E 在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场
强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为
?e??E?dS??SE?dS??SE?dS??SE?dS?ES?E`S?0?2ES，
S120高斯面内的体积为 V = 2rS，
包含的电量为 q =ρV = 2ρrS， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，
可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r≦d/2)．①
（2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES，
高斯面在板内的体积为V = Sd，
包含的电量为 q =ρV = ρSd， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，
可得场强为 E = ρd/2ε0，(r≧d/2)． ② 方法二：场强叠加法．
E1 y （1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．r dy d 在下面板中取一薄层dy，面电荷密度为dσ = ρdy， E2 o 产生的场强为 dE1 = dσ/2ε0，
积分得E1??dy?d?(r?)，③ ?2?02?02?d/2R O R` a O` r同理，上面板产生的场强为
d/2E2??r?dy?d?(?r)，④ 2?02?02r处的总场强为E = E1-E2 = ρr/ε0．
图13.10 （2）在公式③和④中，令r = d/2，得
E2 = 0、E = E1 = ρd/2ε0，E就是平板表面的场强．
平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式．
13． 两块“无限大”平行带电板如图所示，A板带正电，B板带负电并接地（地的电势为零），设A和B两板相隔5.0cm，板上各带电荷σ=3.3×10-6C·m-2，求：
（1）在两板之间离A板1.0cm处P点的电势；
（2）A板的电势．
[解答]两板之间的电场强度为 E=σ/ε0，方向从A指向B．
以B板为原点建立坐标系，则rB = 0，rP = -0.04m，rA = -0.05m．
（1）P点和B板间的电势差为
rBA P B 图13.16
rBA P B o r UP?UB??E?dl??Edr?rPrP?(rB?rP)， ?03.3?10?6?0.04=1.493×104(V)． 由于UB = 0，所以P点的电势为UP??128.84?10（2）同理可得A板的电势为 UA??(rB?rA)=1.866×104(V)． ?0R2 B rB O R 1r A A图13.18
13． 如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算：
（1）A，B两点的电势；
（2）利用电势梯度求A，B两点的场强．
[解答]（1）A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A点的电势就等于球心O点的电势．
在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳，其体积为 dV = 4πr2dr，
包含的电量为 dq = ρdV = 4πρr2dr，
R2 O R1 r dr 在球心处产生的电势为 dUO?dq4??0r??rdr， ?0?球心处的总电势为 UO??0R2R1?rdr??2(R2?R12)， 2?0R2 O rB 这就是A点的电势UA．
过B点作一球面，B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共
同产生的．
球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得
B R1 U1??2(R2?rB2)． 2?0球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B点产生的电势．球壳在球面内的体积为
V?43?(rB?R13)， 包含的电量为 Q = ρV， 3这些电荷集中在球心时在B点产生的电势为 U2?Q4??0rB??3(rB?R13)． 3?0rBR13?22B点的电势为 UB = U1 + U2?(3R2?rB?2)．
6?0rB（2）A点的场强为 EA???UA?0． ?rA?UBR13?B点的场强为 EB???(rB?2)．
?rB3?0rB[讨论] 过空腔中A点作一半径为r的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯定理，
可得空腔中A点场强为 E = 0， (r≦R1)．
过球壳中B点作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为 V?包含的电量为 q = ρV，根据高斯定理得方程 4πr2E = q/ε0，
4?(r3?R13)， 3R13?可得B点的场强为E?(r?2)， (R1≦r≦R2)．
3?0r这两个结果与上面计算的结果相同．
在球壳外面作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为V?包含的电量为 q = ρV，根据高斯定理得可得球壳外的场强为
43?(R2?R13)， 33?(R2?R13)，(R2≦r)． E??224??0r3?0rq?3?(R2?R13)R13?dr (r?2)dr??A点的电势为 UA??E?dl??Edr??0dr??23?r3?r00R2rRrr??R1R2AAA1 ??2(R2?R12)． 2?0???3?(R2?R13)R13?dr (r?2)dr??B点的电势为 UB??E?dl??Edr??23?0r3?0rR2rrrR2BBBR13?22 ?(3R2?rB?2)．
6?0rBA和B点的电势与前面计算的结果相同．
14． 设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a、b．试证明电容器能量的一半储存在半径R?ab的圆柱体内．
[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为E = λ/2πε0r，能量密度为 w = ε0E2/2， 体积元为 dV = 2πrldr，能量元为 dW = wdV．
在半径a到R的圆柱体储存的能量为
W??wdV??V?0V22?l?lR2?dr?ln． EdV?4??0r4??0a2aR?2lb当R = b时，能量为W1?ln；
4??0a22?lb?lb当R?ab时，能量为W2?ln?ln，
4??0a8??0a所以W2 = W1/2，即电容器能量的一半储存在半径R?ab的圆柱体内．
14． 两个电容器，分别标明为200PF/500V和300PF/900V．把它们串联起来，等效电容多
大？如果两端加上1000V电压，是否会被击穿？ [解答]当两个电容串联时，由公式
111C2?C1CC， 得 C?12?120PF． ???CC1C2C1C2C1?C2加上U = 1000V的电压后，带电量为Q = CU，
第一个电容器两端的电压为U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)； 第二个电容器两端的电压为U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)．
由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿． 17．长为b，宽为a的矩形线圈ABCD与无限长直截流导线共面，且线圈的长边平行于长直导线，线圈以速度v向右平动，t时刻基AD边距离长直导线为x；且长直导线中的电流按I = I0cosωt规律随时间变化，如图所示．求回路中的电动势ε． [解答]电流I在r处产生的磁感应强度为B?A B rx B drv b?0I2?r，
D a C ?Ib穿过面积元dS = bdr的磁通量为d??BdS?0dr，
2?r穿过矩形线圈ABCD的磁通量为
图17.10
?0Ibx?a1?0Ibx?a??dr?ln()， ?2?xr2?x回路中的电动势为
????bd?x?adI11dx??0[ln()?I(?)] dt2?xdtx?axdt??0I0bx?aavcos?t[?ln()sin?t?]． 2?xx(x?a)显然，第一项是由于磁场变化产生的感生电动势，第二项是由于线圈运动产生的动生电动势．
5．将一边长L=0.20m的正方形导电回路置于圆形区域的均匀磁场中。磁场方向垂直纸面
向里，磁感应强度以0.1T·s-1的变化率减小，如图所示。试求：（1） 整个回路内的感生电动势；（2）回路电阻为2Ω时回路中的感应电流。