2020年宁夏六盘山高中高考(理科)数学(4月份)模拟测试试卷 含解析

(2)由(1)知,分数在[80,100]之间有10份,分数在[90,100]之间有0.0125×10×32=4份.

由题意,X的取值为0,1,2,3,则 P(X=0)=

=,P(X=1)=

=,

P(X=2)=∴X的分布列为

X P

=,P(X=3)==,

0

1

=1.2.

2

3

数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×

19.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,O为AE的中点,以AE为折痕将△ADE向上折起,使D到P,且PC=PB (1)求证:PO⊥面ABCE.

(2)求AC与面PAB所成角θ的正弦值.

【分析】(1)取BC的中点F,连OF,PF,证明OF⊥BC,BC⊥PF,得到BC⊥面POF

从而证明BC⊥PO,可得PO⊥面ABCE

(2)作OG∥BC交AB于G,OG⊥OF如图,建立直角坐标系,设平面PAB的法向量为

,得到AC与面PAB所成

角θ的正弦值sinθ=|cos<>|=

解:(1)PA=PE,OA=OE∴PO⊥AE(1)

取BC的中点F,连OF,PF,∴OF∥AB,∴OF⊥BC 因为PB=PC∴BC⊥PF,所以BC⊥面POF 从而BC⊥PO(2)

由(1)(2)可得PO⊥面ABCE

(2)作OG∥BC交AB于G,OG⊥OF如图,建立直角坐标系

设平面PAB的法向量为AC

与面PAB所成角θ的正弦值sinθ=|cos<>|=

20.已知椭圆过点(0,1),且离心率为.直线l与x轴正半轴

和y轴分别交于点Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若λ1+λ2=﹣3,试证明:直线l过定点并求此定点.

【分析】(1)根据题意列出关于a,b,c的方程组,解出a,b,c的值,从而求出椭圆的标准方程;

(2)由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),设直线l的方程为x=t(y﹣m),由已知条件推出

所以λ1+λ2=﹣3,即y1y2+m(y1+y2)=0,再联立直线与椭圆方程,利用韦达定理代入

上式,即可得到直线l过定点.

解:(1)由题意可知,解得:,

∴椭圆的标准方程为:;

(2)由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2), 设直线l的方程为x=t(y﹣m), 由

知,(x1,y1﹣m)=λ1(x0﹣x1,﹣y1),∴y1﹣m=﹣y1λ1,

由题意λ1≠0,∴,

同理由知,,

∴λ1+λ2=﹣3,∴y1y2+m(y1+y2)=0 ①, 联立方程

,消去x得:(t2+3)y2﹣2mt2y+t2m2﹣3=0,

∴需△=4m2t4﹣4(t2+3)(t2m2﹣3)>0 ②, 且有

③,

把③代入①得:t2m2﹣3+m?2mt2=0,∴(mt)2=1, 由题意mt<0,∴mt=﹣1,满足②式,

∴直线l的方程为x=ty+1,过定点(1,0),即(1,0)为定点.

21.已知函数f(x)=lnx﹣ax2+bx+1的图象在x=1处的切线l过点(,). (1)若函数g(x)=f(x)﹣(a﹣1)x(a>0),求g(x)最大值(用a表示); (2)若a=﹣4,f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=2,证明:x1+x2≥.

【分析】(1)求得f(x)的导数,可得切线的斜率和切点,运用斜率公式,化简可得b=0,得到f(x)和g(x)的解析式,求出导数和单调区间,即可得到所求最大值; (2)求得f(x)的解析式,由条件化简可得2(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2﹣ln(x1x2),令t=x1x2,t>0,设h(t)=t﹣lnt,求得导数和单调区间,可得h(t)的最小值,进而

运用因式分解,即可得到结论.

解:(1)函数f(x)=lnx﹣ax2+bx+1的导数为: f′(x)=﹣ax+b,

可得图象在x=1处的切线l的斜率为k=1﹣a+b, 切点为(1,1+b﹣a), 由切线经过点(,),

可得1﹣a+b=,

化简可得,b=0,

则f(x)=lnx﹣ax2+1,g(x)=lnx﹣ax2+1﹣(a﹣1)x(x>0,a>0), g′(x)=﹣ax﹣(a﹣1)=﹣

当0<x<时,g′(x)>0,g(x)递增;当x>时,g′(x)<0,g(x)递减. 可得g(x)max=g()=﹣lna﹣

+1﹣1+=

﹣lna;

(2)证明:a=﹣4时,f(x)=lnx+2x2+1, f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=2,

可得lnx1+2x12+1+lnx2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=2, 化为2(x12+x22+2x1x2)+(x1+x2)=x1x2﹣ln(x1x2), 即有2(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2﹣ln(x1x2), 令t=x1x2,t>0,设h(t)=t﹣lnt,

h′(t)=1﹣,当t>1时,h′(t)>0,h(t)递增;当0<t<1时,h′(t)<0,h(t)递减.

即有h(t)在t=1取得最小值1, 则2(x1+x2)2+(x1+x2)≥1, 可得(x1+x2+1)(2x1+2x2﹣1)≥0, 则2x1+2x2﹣1≥0,

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