（2）X2的分布律
（2）方差
2
D(X)=E[X-E(X)]，方差
-2 0.4
0 0.3
2 0.3
?(X)?D(X)，标准差
①离散型随机变量
D(X)??[xk??k2?E(X)]pk
②连续型随机变量 D(X)??[x?E(X)]??2f(x)dx
③方差的性质
（1） D(C)=0；E(C)=C
2
（2） D(aX)=aD(X)； E(aX)=aE(X)
（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
（4） D(X)=E(X2)-E2(X)
（5） D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
222例4．6：X服从N(?1,?12)，Y服从N(?2,?2)，且X,Y相互独立，证明X+Y服从N(?1??2,?1??2)。
类似的，n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布N(?,?2)。
??
?Cii?i， ?2??Ci2i2?i
例4．7：设X的均值、方差都存在，且D（X）≠0，求Y?例4．8：设随机变量X的概率密度为
f(x)?12e?|x|X?E(X)D(X)的均值与方差。
(???x???),
求E（X）及D（X）。
例4．9：设随机变量X的概率密度为 ?4xe?2xf(x)???0x?0x?0
试求：D（2X-1）
（3）常见分布的数学期望和方差 分布名称 0-1分布 二项分布 符号 B(1,p) B(n,p) 均值 p np 方差 p(1?p) np(1?p)
泊松分布 P(?) ? 1pnMNa?b2? 1?pp2几何分布 G(p) 超几何分布 H(n,M,N) nM?M??N?n??1???? N?N??N?1?均匀分布 U(a,b) (b?a)1212 指数分布 正态分布
①0－1分布
X E(X)=p，D(X)=pq
0 q e(?) N(?,?) 21? ?2 ? 2? 1 p kkn?k②二项分布 X~B(n,p)，Pn(k)?Cnpq，（k=0,1,2?n）
E(X)=np，D(X)=npq
③泊松分布 P(λ) P(X=k)=E(X)= λ， D(X)= λ
④超几何分布 P(X?k)?nMN?e
k?x
k!
，k=0,1,2?
CMCN?MCNnkn?k
E(X)=
⑤几何分布 P(X?k)?pq1pqp2k?1，k=0,1,2?
E(X)=
， D(X)=
⑥均匀分布 X~U[a,b]，f(x)=
a?b21b?a，[a, b ]
E(X)=
， D(X)=
(b?a)122
⑦指数分布 f(x)= ?e??x，(x>0) E(X)=
⑧正态分布 X~N(μ,σ)，f(x)?2
2
1?， D(X)=
1?2
12???(x??)2?22e
E(X)= μ， D(X)= σ
例4．10：罐中有5颗围棋子，其中2颗为白子，另3颗为黑子，如果有放回地每次取1子，共取3次，求3次中取到的白子次数X的数学期望与方差。
例4．11：在上例中，若将抽样方式改为不放回抽样，则结果又是如何？
例4．12：设随机变量X服从参数为λ＞0的泊松分布，且已知E[（X-1）（X-2）]=1，求λ。 例4．13：设随机变量X服从参数为1的指数分布，求E（X-3e）。
例4．14：设（X，Y）服从区域D={（x,y）|0?x?1, 0?y?1}上的均匀分布，求E（X+Y），E（X-Y），E（XY），D（X+Y），D（2X-3Y）。
-2x
2、二维随机变量的数字特征
（1）协方差和相关系数
对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩?11为X与Y的协方差或相关矩，记为?XY或cov(X,Y)，即
?与记号?XY??11?E[(X?E(X))(Y?E(Y))].
XXXY相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为?与?YY。
协方差有下面几个性质：
(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);
(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-(E(X))(E(Y)).
对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称
?XY
D(Y)D(X)为X与Y的相关系数，记作?XY（有时可简记为?）。
?正相关，当??1时，完全相关?
?负相关，当???1时，|?|?1，当|?|=1时，称X与Y安全相关：
而当??0时，称X与Y不相关。 与相关系数有关的几个重要结论 （i） （ii） （iii）
若随机变量X与Y相互独立，则?XY?0；反之不真。
2若（X，Y）～N（?1,?2,?12,?2，则X与Y相互独立的充要条件是??0，即X和Y不相关。 ,?）
以下五个命题是等价的：
①?XY?0； ②cov(X,Y)=0;
③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
例4．15：设D（X）=25，D（Y）=36，?XY?0.4。求D（X+Y）及D（X-Y）。
（2）二维随机变量函数的期望
?(X,Y)为离散型；??G(xi,yj)pij，?ij? E[G(X,Y)]??????(X,Y)为连续型。???G(x,y)f(x,y)dxdy，??－?－?
（3）原点矩和中心矩
①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即