例1．58：设两个随机事件A，B相互独立，已知仅有A发生的概率为
，P（B）=
。
1414，仅有B发生的概率为，则P（A）=
例1．59：若两事件A和B相互独立，且满足P(AB)=P(AB), P(A)=0.4，求P(B).
例1．60：设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC=Ф，（A）P=P（B）=P（C）<则P（A）=
。
12，且已知P(A?B?C)?916，
例1．61：A发生的概率是0.6，B发生的概率是0.5，问A,B同时发生的概率的范围？
例1．62：设某类型的高炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门这样的高炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到95%以上。
例1．63：由射手对飞机进行4次独立射击，每次射击命中的概率为0.3，一次命中时飞机被击落的概率为 0.6，至少两次命中时飞机必然被击落，求飞机被击落的概率。
例1．64：将一骰子掷m+n次，已知至少有一次出6点，求首次出6点在第n次抛掷时出现的概率。
例1．65：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1 。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的 (A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍
第二章 随机变量及其分布
第一节 基本概念
在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此P(A)这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数字）。但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。当出现正面时，规定其对应数为“1”；而出现反面时，规定其对应数为“0”。于是
X?X(?)??1，当正面出现??0，当反面出现
称X为随机变量。又由于X是随着试验结果（基本事件?）不同而变化的，所以X实际上是基本事件?的函数，即X=X(ω)。同时事件A包含了一定量的ω（例如古典概型中A包含了ω1，ω2，?ωm，共m个基本事件），于是P(A)可以由P(X(ω))来计算，这是一个普通函数。
定义 设试验的样本空间为?，如果对?中每个事件?都有唯一的实数值X=X(ω)与之对应，则称X=X(ω)为随机变量，简记为X。
有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的情况。这就使得我们对随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了。
一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。
1、随机变量的分布函数
（1）离散型随机变量的分布率
设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,?)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk，k=1,2,?，
则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
Xx1,x2,?,xk,?|P(X?xk)p1,p2,?,pk,?。 显然分布律应满足下列条件： （1）pk?0，k?1,2,?，
?（2）
?k?1pk?1。
例2．1：投骰子，出现偶数的概率？
例2．2：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X的分布律。 例2．3：若干个容器，每个标号1－3，取出某号容器的概率与该号码成反比，令X(ω)表示取出的号码，求X的分布律。
（2）分布函数
对于非离散型随机变量，通常有P(X?x)?0，不可能用分布率表达。例如日光灯管的寿命X，
P(X?x0)?0。所以我们考虑用X落在某个区间(a,b]内的概率表示。
定义 设X为随机变量，x是任意实数，则函数
F(x)?P(X?x)
称为随机变量X的分布函数。
P(a?X?b)?F(b)?F(a) 可以得到X落入区间(a,b]的概率。也就是说，分布函数完整地描述了随机
变量X随机取值的统计规律性。
分布函数F(x)是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
F(x)的图形是阶梯图形，x1,x2,?是第一类间断点，随机变量X在xk处的概率就是F(x)在xk处的跃度。分布函数具有如下性质：
1° 0?F(x)?1, ???x???；
2° F(x)是单调不减的函数，即x1?x2时，有 F(x1)?F(x2)； 3° F(??)?limF(x)?0， F(??)?limF(x)?1；
x???x???4° F(x?0)?F(x)，即F(x)是右连续的； 5° P(X?x)?F(x)?F(x?0)。
例2．4：设离散随机变量X的分布列为
X?1,0,1,2P1111，，，8842，
求X的分布函数，并求P(X?12)，P(1?X?32)，P(1?X?32)。
例2．5：设随机变量X的分布函数为
?Ax?F(x)??1?x??0x?0x?0
其中A是一个常数，求 （1） 常数A
（2）P（1?X?2）
（3）连续型随机变量的密度函数
定义 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有 F(x)??x??f(x)dx，
则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。f(x)的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。
由上式可知，连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数。 所以，
P(x1?X?x2)?P(x1?X?x2)?P(x1?X?x2)?P(x1?X?x2)?F(x2)?F(x1)
密度函数具有下面4个性质： 1° f(x)?0。 2°
?????f(x)dx?1。
的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积等于1。
F(??)??????f(x)dx?1如果一个函数f(x)满足1°、2°，则它一定是某个随机变量的密度函数。
x23° P(x1?X?x2)＝F(x2)?F(x1)＝?f(x)dx。
x14° 若f(x)在x处连续，则有F?(x)?f(x)。
P(x?X?x?dx)?f(x)dx
它在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X?xk)?pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 E??,??A?P(A),(古典概型，五大公式，独立性)
X(?)?X(?)?x?F(x)?P(X?x)
对于连续型随机变量X，虽然有P(X?x)?0，但事件(X?x)并非是不可能事件?。
x?hP(X?x)?P(x?X?x?h)??xf(x)dx
令h?0，则右端为零，而概率P(X?x