考研数学基础班概率论与数理统计电子教材
主讲：费允杰
第一章 随机事件和概率
第一节 基本概念
1、排列组合初步
（1）排列组合公式
Pm?nm!(m?n)!m! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
Cm?nn!(m?n)! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
例1．1：方程
1Cx5?1Cx6?710Cx7的解是
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
例1．2：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m3n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m3n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？
例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则
共有不同的涂法 A．120种 B．140种 C．160种 D．180种
(4)一些常见排列
①特殊排列
相邻
彼此隔开
顺序一定和不可分辨
例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不
同的节目单？
①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开；
③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？
例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？
②重复排列和非重复排列（有序）
例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？
③对立事件
例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？
例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？
例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？
④顺序问题
例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）
2、随机试验、随机事件及其运算
（1）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。
例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： （1） 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； （2） 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用?来表示，例如?1,?2,??n（离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用?表示。
一个事件就是由?中的部分点（基本事件?）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，?表示事件，它们是?的子集。
如果某个?是事件A的组成部分，即这个?在事件A中出现，记为??A。如果在一次试验中所出现的?有??A，则称在这次试验中事件A发生。
如果?不是事件A的组成部分，就记为??A。在一次试验中，所出现的?有??A，则称此次试验A没有发生。
为必然事件，?为不可能事件。 ?
（2）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：A?B 如果同时有A?B，B?A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A?B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：A?B，或者AB。A?B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互
斥。基本事件是互不相容的。
?-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
??i 德摩根率：i?1?A??Ai?1i
A?B?A?B，A?B?A?B
例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间?。若?表示取到的两只球是白色的事件，?表示取到的两只球是红色的事件，试用?、?表示下列事件：
（1）两只球是颜色相同的事件C， （2）两只球是颜色不同的事件D，
（3）两只球中至少有一只白球的事件E。
例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件：
（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件C， （2）至少有一次正面朝上的事件D， （3）前两次正面朝上的事件E。
3、概率的定义和性质
（1）概率的公理化定义
设?为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0?P(A)?1， 2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，?有
????P?Ai?????i?1???P(A)ii?1常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A的概率。
（2）古典概型（等可能概型）
1° ????1,?2??n?， 2° P(?1)?P(?2)??P(?n)?1n
。
设任一事件A，它是由?1,?2??m组成的，则有
P(A)=?(?1)?(?2)???(?m)? =P(?1)?P(?2)???P(?m)
?mn?A所包含的基本事件数基本事件总数
例1．18：集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。 例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？
例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是 A．
114113112111 B． C． D．
例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序） 例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序） 例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序）
注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。
4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）
（1）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
例1．24：从0，1，?，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： A＝“三个数字中不含0或者不含5”。
（2）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B)
例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P(A+B).
例1．26：对于任意两个互不相容的事件A与B， 以下等式中只有一个不正确，它是：
(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P(A∪B)-1 (C) P(A-B)= P(A)-