xdf概率基础讲义[免费下载]

考研数学基础班概率论与数理统计电子教材

主讲:费允杰

第一章 随机事件和概率

第一节 基本概念

1、排列组合初步

(1)排列组合公式

Pm?nm!(m?n)!m! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

Cm?nn!(m?n)! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

例1.1:方程

1Cx5?1Cx6?710Cx7的解是

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

例1.2:有5个队伍参加了甲A联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少?

(2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n

某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m3n

某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m3n 种方法来完成。

例1.3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法?

例1.4:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少? 例1.5:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜色,且相邻区域的颜色必须不同,则

共有不同的涂法 A.120种 B.140种 C.160种 D.180种

(4)一些常见排列

①特殊排列

相邻

彼此隔开

顺序一定和不可分辨

例1.6:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不

同的节目单?

①3个舞蹈节目排在一起; ②3个舞蹈节目彼此隔开;

③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1.7:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法?

例1.8:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法?

②重复排列和非重复排列(有序)

例1.9:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法?

③对立事件

例1.10:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法?

例1.11:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法?

例1.12:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性?

④顺序问题

例1.13:3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的种数?(有序) 例1.14:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,2白的种数?(有序) 例1.15:3白球,2黑球,任取2球,2白的种数?(无序)

2、随机试验、随机事件及其运算

(1)随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。

例如:掷一枚硬币,出现正面及出现反面;掷一颗骰子,出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件;电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数(泊松分布);对某一目标发射一发炮弹,弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件(正态分布)。

在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质: (1) 每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; (2) 任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用?来表示,例如?1,?2,??n(离散)。基本事件的全体,称为试验的样本空间,用?表示。

一个事件就是由?中的部分点(基本事件?)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,?表示事件,它们是?的子集。

如果某个?是事件A的组成部分,即这个?在事件A中出现,记为??A。如果在一次试验中所出现的?有??A,则称在这次试验中事件A发生。

如果?不是事件A的组成部分,就记为??A。在一次试验中,所出现的?有??A,则称此次试验A没有发生。

为必然事件,?为不可能事件。 ?

(2)事件的关系与运算

①关系:

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):A?B 如果同时有A?B,B?A,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。 A、B中至少有一个发生的事件:A?B,或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生:A?B,或者AB。A?B=?,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互

斥。基本事件是互不相容的。

?-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。

②运算:

结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

??i 德摩根率:i?1?A??Ai?1i

A?B?A?B,A?B?A?B

例1.16:一口袋中装有五只乒乓球,其中三只是白色的,两只是红色的。现从袋中取球两次,每次一只,取出后不再放回。写出该试验的样本空间?。若?表示取到的两只球是白色的事件,?表示取到的两只球是红色的事件,试用?、?表示下列事件:

(1)两只球是颜色相同的事件C, (2)两只球是颜色不同的事件D,

(3)两只球中至少有一只白球的事件E。

例1.17:硬币有正反两面,连续抛三次,若Ai表示第i次正面朝上,用Ai表示下列事件:

(1)前两次正面朝上,第三次正面朝下的事件C, (2)至少有一次正面朝上的事件D, (3)前两次正面朝上的事件E。

3、概率的定义和性质

(1)概率的公理化定义

设?为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件: 1° 0?P(A)?1, 2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件A1,A2,?有

????P?Ai?????i?1???P(A)ii?1常称为可列(完全)可加性。 则称P(A)为事件A的概率。

(2)古典概型(等可能概型)

1° ????1,?2??n?, 2° P(?1)?P(?2)??P(?n)?1n

设任一事件A,它是由?1,?2??m组成的,则有

P(A)=?(?1)?(?2)???(?m)? =P(?1)?P(?2)???P(?m)

?mn?A所包含的基本事件数基本事件总数

例1.18:集合A中有100个数,B中有50个数,并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个,抽到满足a+b=10的a,b的概率。 例1.19:5双不同颜色的袜子,从中任取两只,是一对的概率为多少?

例1.20:在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者,则指定的4个座位被坐满的概率是 A.

114113112111 B. C. D.

例1.21:3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的概率?(有序) 例1.22:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,2白的概率?(有序) 例1.23:3白球,2黑球,任取2球,2白的概率?(无序)

注意:事件的分解;放回与不放回;顺序问题。

4、五大公式(加法、减法、乘法、全概、贝叶斯)

(1)加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)

例1.24:从0,1,?,9这十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率: A=“三个数字中不含0或者不含5”。

(2)减法公式

P(A-B)=P(A)-P(AB)

当B?A时,P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时,P(B)=1- P(B)

例1.25:若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3,求P(A+B)和P(A+B).

例1.26:对于任意两个互不相容的事件A与B, 以下等式中只有一个不正确,它是:

(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P(A∪B)-1 (C) P(A-B)= P(A)-

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