实变函数复习提纲

实 变 函 数 复 习 提 纲

第一章 集合

2006-7-14

一、基本概念:集合、并集、交集、差集、余集;可数集合、不可数集合;映射、一一映射(对应);集合的对等,基合的基数(势、浓度).

二、基本理论:

1、集合的运算性质:并、交差、余集的运算性质;德一摩根公式; 2、集合对等的性质;

3、可数集合的性质、基数:N?a、Q?a(a>0); 4、不可数数集合的基数:R?c(c>a>0). 三、基本题目

1、集合对等的判定、求基合的基数

例 证明I=(-1,1)和R=(-∞,+∞)是对等的,并求I. 证:作映射ф:??x??tan因??x??tan?2x,x∈(-1,1),其值域为R=(-∞,+∞)、

?2x,在(-1,1)是严格单调增的,∴?:??x??tan?2x是(-1,1)到R上的一一对应, 即 I= (-1,1)

1?1?(x)?tanx2

由对等的定义知:I~R.

∵I~R∴I?R,又R?c,∴I?c. 2 集合的运算,德。摩根律的应用 3 可数数集合的判定

?(??,??)=R

第二章 点集

一、基本概念:距离、度量空间、n维欧氏空间;聚点、内点、界点,开核、导集、闭包;开集、闭集、完备集;构成区间 二、基本理论

1、开集的运算性质 ; 2、闭集的运算性质 3、直线上开集的构造; 4、直线上闭集的构造 三、基本题目

1 求集合的开核、导集、闭包,判定开集、闭集 例 设E为[0,1]上的有理数点的全体组成的集

1)求E,E',E; 2)判定E是开集还是闭集,为什么?

解:1)对于?x?E,x的任意邻域U(x)内有无数个无理点,∴U(x)?E,∴x不是

_0 1

E的内点,由x的任意性,知E无内点,∴E??.

对于?x??0,1?,?U(x)内都有无数多个有理点,即有无数多个E的点,∴x为E的聚点.又在[0,1]外的任一点都不是E的聚点. ∴E???0,1?. ∵E?E?E??E??0,1???0,1? , ∴2)E不是开集,也不是闭集.

因为E??,而E是非空的,∴E?E, ∴E不是开集.

因为E???0,1?,而[0,1]中的无理点不在E内,即E??E,∴由定义知,E不是闭集. 2 直线上开集、闭集的构造

__000E??0,1?.

第三章 测度论

引入:把区间的长度、平面图形的面积、空间立体图形的体积推广到点集的度量—测度. 一、基本概念:勒贝格外测度,L测度,可测集,可测集类

1勒贝格外测度的定义:设E为R中任一点集,对于每一列覆盖E的开区间UIi?E,

i?1n?作出它的体积和???Ii?1?i(?可以等于+∞,不同的区间列一般有不同的?),所有这一

切的?组成一个下方有界的数集,它的下确量(由E完全确定)称为E的勒贝格外测度,简称外测度或外测度,记为m*E,即:

m*E?infE???i?1Ii???I??i? ?i?1?注:由定义1知:R中的任一点集都有外测度(一个非负数). 2勒贝格测度、可测集的定义:设E为R中点集,若对任一点集T都有

nnm*T?m*(T?E)?m*(T?CE)(1)

则称E为L可测的,这时E的L外测度m*E就称为E的L测度,记为mE,条件(1)称为卡拉泰奥多里条件,也简称卡氏条件.L可测集的全体记为?.

3可测集类

1)零测度集类:

2)一切区间I(开、闭、半开半闭)都是可测集合,且mI?I 3)凡开集、闭集皆可测 4)凡博雷尔集都是可测的

2

二、基本理论

1勒贝格外测度的性质

(1)m*E≥0,当E为空集时m*E=0(即m*??0);(非负性); (2)设A?B,则m*A≤m*B;(单调性) ??(3)m*(UAi)≤

m*Ai?1?i;(次可数可加性)

i?12 勒贝格测度、可测集的性质及可测性 1)(定理1)集合E可测←→对任意的A?E,B?[CE,总有

m*(A?B)?m*A?m*B

2)余集的可测性:S可测←→CS可测

3)并集的可测性:若S1,S2都可测,则S1∪S2也可测; 4)交集的可测性:若S1,S2都可测,则S1∩S2也可测; 5)差集的可测性:若S1,S2都可测,则S1-S2也可测;

6)可列可加性:设?S?i?是一列互不相交的可测集,则U?1Si也是可测的,且im(US??1i)??mSi

i?i?17)可列交的可测性:设?Si??是一列可测集合,则?Si也是可测集合;

i?18)递增的可测集列的极限的测度:设?Si?是一列递增的可测集合:

s1?s2???sn?,

?令S=

?s? 则mS?limi?1ilimn??sn n??mSn

9)递减的可测集列的极限的测度:设?Si?是一列递减的,可测集合: S1?S2???Sn?

?令S??i?1Si?limn??Sn,则当它mS1<∞时,mS?limn??mSn.

三 基本题目

1、试述L外测度的定义.(答案见第三章§1定义1) 2、试给L测度的定义(答案见第三章§2定义1)

3、设点集E?Rn,m*E?0,证明E是可测集,并求mE.

证:只须证明卡氏条件成立,即对?T?Rn,有

m*T?m*(T?E)?m*(T?CE)

3

∵T?(T?E)?(T?CE)

∴m*T≤m*(T?E)?m*(T?CE) (外测度的次可数可加性)①

另一方面:∵(T?E)?E,∴m*(T?E)≤m*E(单调性)

∵已知m*E?0,m*(T?E)≥0,∴0≤m*(T?E)≤0,必有m*(T?E)=0 又:T?(T?CE) ∴m*T≥m*(T?CE)(单调性)

∴ m*T≥m*(T?CE)+m*(T?CE) ②

由①、②可知:m*T=m*(T?CE)+m*(T?CE),此即卡氏条件成立; ∴ E是可测的, ∴ mE?m*E?0.

n4、证明可数点集E?R的外测度m*E?0

iii证明:E为可数点集,∴E??e1,e2,e3,?,em,? ?,其中ei?(e1i,e2,e3,?,en)?Rn,

i?1,2,3,?,m,?

对于任意给定的?>0,不妨设?1,作开区间

????Ii??(x1,x2,x3,?,xn)eij?i?1<xij<eij?i?1,j?1,2,3,?,n?

22??Ii?(因

?2)n?i?2i,i?1,2,3,?,n

?Ii?1?i??ei?E,由外测度的单调性及次可列可加性得:

i?1?1??m*E?m*(?Ii)??m*Ii??Ii??i?2???

1i?1i?1i?1i?121?2???又由ε的任意性及m*E≥0得:m*E=0,得证.

注:本题可当作定理.

5、设Q为有理数集合,求m*Q,mQ. 解:∵Q为一可数集合,∴m*Q=0. 对于?T,∵T?(T?Q)?(T?cQ)

∴ m*T?m*(T?Q)?m*(T?cQ) (外测度的次可列可加性)①

4

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