v1
卫星在近地圆轨道上的线速度分别为v1、v2，则v＝
2
GM月R月GM地R地
＝
M月R地3.7·＝ 81<1，故v1 题组二 同步卫星 3．[多选](2018·襄阳模拟)最近我国连续发射了多颗“北斗一号”导航定位卫星，预示着我国通讯技术的不断提高。该卫星处于地球的同步轨道，假设其离地高度为h，地球半径为R，地面附近重力加速度为g，则有( ) A．该卫星运行周期为24 h ?R?2 B．该卫星所在处的重力加速度为?R＋h?g ?? h?2??C．该卫星周期与近地卫星周期之比为1＋R?3 ?? 2mgR D．该卫星运动动能为 2?R＋h? 解析：选ABD 地球同步卫星和地球自转同步，周期为24 h，A v2Mm4π2GM 正确；由Gr2＝mg＝mT2r＝mr可知，g＝r2，则该卫星所在处的R2 重力加速度和地面处的重力加速度之比是 ，可知B正确；T ?R＋h?2?R＋h?3r3＝2πGM，该卫星周期与近地卫星周期之比为 C错误；R3， 121GMmmgR2 卫星的动能Ek＝2mv＝2·＝，D正确。 R＋h2?R＋h? 4．已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v1、向心加速度大小为a1，近地卫星线速度大小为v2、向心加速度大小为a2，地球同步卫星线速度大小为v3、向心加速度大小为a3。设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距地面高度约为地球半径的6倍。则以下结论正确的是( ) v2v216a11a149A.v＝1 B.v＝7 C.a＝7 D.a＝1 3333 解析：选C 地球赤道上的物体与地球同步卫星是相对静止的，有相同的角速度和周期，比较速度用v＝ωr，比较加速度用a＝ω2r，同步卫星距地心距离约为地球半径的7倍，则C正确，D错误；近地卫星与地球同步卫星都是卫星，都绕地球做圆周运动，比较速度用v ＝ GM r，则速度比v2∶v3＝ 7∶1，故A、B错误。 考点二 宇宙速度 1．第一宇宙速度的推导 v2Mm1 方法一：由GR2＝mR 得 6.67×10－11×5.98×1024GM v1＝ m/s R＝ 6 370×103＝7.9×118 m/s。 v21 方法二：由mg＝mR 得 v1＝gR＝9.8×6 370×103 m/s＝7.9×118 m/s。 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大 R 环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π g＝5 185 s≈85 min。 2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s时，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 1．某颗人造地球卫星离地面的高度是地球半径的n倍，那么该卫星运行速度是地球第一宇宙速度的( ) 111 A．n倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 n＋1nn＋1 v2Mm1 解析：选D 第一宇宙速度满足GR2＝mR，人造地球卫星离地 v2Mm2 面的高度是地球半径的n倍时速度满足G，解以22＝m?n＋1?R?n＋1?R 1 上两式得v2＝v1，D正确。 n＋1 2．(2018·怀化模拟)使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝2v1。已知某星球的半 径为地球半径R的4倍，质量为地球质量M的2倍，地球表面重力加速度为g。不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( ) 111A. 2gR B.2gR C.gR D. 8gR 解析：选C 设在地球表面飞行的卫星质量为m，由万有引力提 2 GMmmvMm 供向心力得 R2＝R，又有GR2＝mg，解得地球的第一宇宙速度 GM为v1＝R＝gR；设该星球的第一宇宙速度为v′1，根据题意，v′12MR12有v＝×＝；结合GM＝gR知地球的第一宇宙速度M4R21 v1＝gR，再由题意知v第二2v第一，联立得该星球的第二宇宙速度为v′2＝gR，故A、B、D错误，C正确。 天体运动中的“多星”问考点三 题 1．“双星”问题 (1)两颗恒星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两恒星做匀速圆周运动的向心力大小相等。 (2)两颗恒星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的。 (3)两颗恒星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1＋r2＝L。 2．“多星”问题 (1)多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其它各个行星对该行星的万有引力的合力提供。 (2)每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等。 [典题1] (2018·玉林质检)经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2。则可知( ) A．m1、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3 B．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2 2 C．m1做圆周运动的半径为5L 2 D．m2做圆周运动的半径为5L [解析] 双星系统在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O m1m2点做周期相同的匀速圆周运动，角速度相同，选项A错误；由GL2＝m1ω2r1＝m2ω2r2得r1∶r2＝m2∶m1＝2∶3，由v＝ωr得m1、m2做圆周运动的线速度之比为v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，选项B错误；m1做圆 23 周运动的半径为5L，m2做圆周运动的半径为5L，选项C正确，D错误。 [答案] C [多选](2018·衡水模拟)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上，其中L远大于R。已知万有引力常量为G，忽略星体自转效应，则关于四星系统，下列说法正确的是( ) L A．四颗星做圆周运动的轨道半径均为2 Gm?2? ??B．四颗星做圆周运动的线速度均为 L?2＋4? 2L3C．四颗星做圆周运动的周期均为2π ?4＋2?Gmm D．四颗星表面的重力加速度均为GR2 解析：选CD 如图所示，四颗星均围绕正方形对角线的交点做 2 匀速圆周运动，轨道半径r＝2L。取任一顶点上的星体为研究对象， m2m2 它受到其他三个星体的万有引力的合力为F合＝2GL2＋G。由 ?2L?2 v24π2rGm?2? ??F合＝F向＝mr＝mT2，可解得v＝ L?1＋4?，T＝2π 2L3，故A、B项错误，C项正确；对于星体表面质量为 ?4＋2?Gm mm0m m0的物体，受到的重力等于万有引力，则有m0g＝GR2，故g＝GR2，