第9章 时域离散系统的z域分析
9.1 学习要点
1. 利用z变换解差分方程
利用z变换解差分方程，是本章的重点之一。
（1）利用z变换解差分方程的主要依据——单边z变换的移位性质，即
???ZI[y(n?k)u(n)]??n?0y(n?k)z?n?z?k?n?0y(n?k)z?(n?k)?z?k?m??ky(m)z?m
?z?k???m???y(m)z?m?0?1?m??ky(m)z?m??k??z???Y(z)???1?m??ky(m)z?m?? （9-1） ?（2）应用差分方程的z域解法，求离散系统的一般步骤为： ① 建立描述离散系统特性的差分方程；
② 对差分方程的左右两边取单边z变换，得到z域的代数方程；
③ 解z域的代数方程，得到零输入响应、零状态响应和全响应的z域解； ④ 对z域解求z反变换，求得系统响应的时域解。 设N阶LTI离散系统的差分方程一般形式为
NM?aky(n?k)k?0??bix(n?i) (9-2)
i?0对(9-2)式进行单边z变换，有
N?akzk?0?k??Y(z)??M?1?y(m)z?mm??k?????i?biX(z)z i?0M?bizY(z)?i?0N?iN?akzX(z)?k?0?k?m?y(m)zm??k?1?akzk?0?kN (9-3)
?k?akzk?0
2. 系统函数
零状态响应的z域解 零输入响应的z域解
（1）定义：已知系统的单位响应h(n)，对h(n)进行z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，其表征了系统的复频域特性。
??H(z)??h(n)zn?0?n (9-4)
（2）物理含义：设系统的单位响应为h(n)，则系统在基本序列x(n)?z的激励下产生的零状态响应为
n 214
????n?myzs(n)?h(n)*zn??h(m)zm?0?zn?h(m)zm?0?mn?H(z)z (9-5)
可见，系统函数H(z)在时域直接描述了基本序列zn激励下系统的输入输出关系。
（3）求解方法：
??① 按定义计算：H(z)??h(n)zn?0?n；
② 依据物理意义H(z)?的一般表示式
Yzs(z)X(z)计算：对N阶差分方程，进行z变换，得到系统函数
MH(z)?Yzs(z)X(z)?bzi?i?i?0N (9-6)
k?ak?0z?k ③ 根据系统信号流图或方框图，应用梅森公式或列写输入输出方程求得。
（4）与频率响应之间的关系为：H(ej?)?H(z)|z?ej?。
3. 系统函数与系统特性
（1）从系统的零极点分布判断系统的因果性和稳定性： ① 系统因果的条件为系统函数H(z)的收敛域包含?； ② 系统稳定的条件为系统函数H(z)的收敛域包含单位圆；
③ 系统因果且稳定的条件为系统函数H(z)的收敛域r?|z|??,0?r?1。 （2）系统函数零极点的位置还能决定系统的幅频特性和相频特性，其中极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷值位置及形状，具体地有，幅频特性由零点矢量的大小的连乘积与极点矢量的大小的连乘积的比值决定，相频特性由零点矢量的相角和与极点矢量的相角和的差值决定，即
N|H(ej??c)|?Am?1Nm （9-7）
k?dk?1NNm?(?)???m?1???k?1k （9-8）
4. 用z变换分析几个典型的系统——