西安石油大学本科毕业设计（论文）
4 小波域阈值滤波
4.1 小波域阈值滤波算法
小波域阈值滤波是现在研究的一个热点。小波滤波方法对噪声性质有三个基本假设：
（1） 噪声经小波变换后大多数小波系数为零或近似为零； （2） 噪声均匀地分布在所有系数中； （3） 噪声水平不是太高。
假设观测数据
fi?gi??i,i?1,2,...,N(N?2n) (4-1) 由真实信号gi和加性噪声?i组成，其向量形式为f=g+?。在理想情况下，?i为 （1） 正态噪声； （2） 不相关的噪声； （3） 方差为常量。
当然实际情况并非如此，因此每种假设条件都可以适当放宽，以满足实际应用的需要。我们的目标是在观察到f得前提下，对g进行估计。
小波的时频局部化特性和多分辨率特性决定了小波滤波方法与传统方法相比，具有独特的优势—能够在去处噪声的同时，很好的保留信号的突变部分或图像的边缘。
信号和噪声在小波域中有不同的性态表现，它们的小波系数幅值随尺度变化的趋势不同。随着尺度的增加，噪声系数的幅值很快衰减为零，而真实信号系数的幅值基本不变。小波滤波就是利用具体问题的先验知识，根据信号和噪声的小波系数在不同尺度上具有不同性质的机理，构造相应地原则，在小波域采用其他数学方法对含噪信号的小波系数进行处理。处理的实质在于减小甚至完全剔除由噪声产生的系数，同时最大限度的保留真实信号的系数，最后由经过处理的小波系数重构原信号，得到真实信号的最优估计。
小波滤波的特点可概括问哦：首先，它不是平滑。平滑是去除高频信息而保留低频信息；而小波滤波是要试图去除所有噪声，保留所有信号，并不考虑它们的频率范围。其次，它是在小波变换域对小波系数进行非线性处理；第三，滤波过程一般由三个步骤完成：
（1） 小波变换；
（2） 对小波系数进行非线性处理，以滤除噪声； （3） 小波逆变换。
设对感测数据经过小波变换后，得
- 10 -
西安石油大学本科毕业设计（论文）
w= ??? (4-2) W(?)和W?1(?)分别表示小波变换和逆变换算子，前述滤波过程的三个步骤可描述为
?w=W（f）,wt?D(w,t),g?W?1(wt) (4-3)
其中，D(?,?)为非线性滤波算子，它是滤波问题的核心。显然，这种原理性的归纳并没有涉及到算子W(?)或D(?,?)是如何作用到信号上的，也没有涉及到它们的选取方法以及对滤波效果的影响。通过选择不同的W(?)和D(?,?)，可以得到多种不同的小波滤波方法。
小波滤波的核心是在上述第二个步骤中按照一定得准则对小波系数进行修改，以在不损失过多信号的前提下，达到降低或去除噪声的目的。
对式（4-1）所示的观测数据滤波，Donoho提出了两个滤波的前提条件：
?（1） 光滑性：在大概率条件下，g至少跟g有同样的光滑度；
?（2） 适应性：g是最小均方差估计。
由条件（1）可以推出，当N??时，下式几乎接近于1的概率成立：
? gF?C1gF (4-4) 式中C1为一常数。这在小波域中意味着
? ?j,i??j,i (4-5) 成立，式中1?i?N为位置，j为尺度； ?j,i表示真实信号在尺度j上的第i个小波系数。
?1N?2对于条件（2），可以理解为E（?gi?gi）求最小值，着等价于求E???FNi?1??的最小值。Donoho证明，此时g、?必须满足
? Eg?g2F???E???2F???N2lnN (4-6)
当小波变换为正交小波变换时，??1。由式（4-1-6）可知
?21 E???F???2lnN (4-7)
N?由式（4-7）可知，对于任何?j,i???2lnN，取?j,i?0，将满足式（4-6），这相当于认为当?j,i???2lnN时，?j,i由噪声所产生，因此，可取阈值为
t??2lnN (4-8)
由此可得硬阈值法滤波的步骤为： （1） 对信号求小波变换；
（2） 除了最粗尺度信号外，将各细节信号作阈值处理，阈值t取为??2lnN，当
某位置小波变换值大于阈值时，保留原值，否则置零，用公式表示为
- 11 -
西安石油大学本科毕业设计（论文）
?j,i???0,?j,i?t (4-9) ?????j,i,其他（3） 利用小波变换重构，求出信号的滤波值。
而软阈值滤波的步骤为： （1） 对信号求小波变换；
（2） 除了最粗尺度信号外，将各细节信号作阈值处理，阈值t取为??2lnN，当某位置小波变换值大于阈值时，向着减小系数幅值的方向作一个收缩t，否则置零，用公式表示为
? ?j,i?sgn(?j,i)?(?j,i?t) 其中sgn（x）为符号函数；
（3） 进行小波变换重构，求出信号的滤波值。
至此，只要知道噪声的方差，就可以实现整个滤波的算法了。Donoho提出了噪声标准差?的估计。至于软阈值法和硬阈值法，哪种方法的滤波效果更好，应视具体情况而定。
以上的算法是基于正交小波得到的，在实际应用中，可将其推广到非正交小波的情形。信号经非正交小波基分解后，不同尺度上的系数彼此相关，故阈值应与尺度有关。设噪声传播到尺度j上的噪声标准差为?j，则式（4-7）应为
?21E???F??j?2lnN (4-11) N这时尺度j上的阈值为tj??j2lnN。
小波域阈值滤波算法中的两个基本要素是阈值和阈值函数。
(4-10)
4.2 阈值函数的选取
阈值函数体现了对小波系数的不同处理策略，主要分为软阈值函数、硬阈值函
数和半阈值函数。它们的基本思想都是去除小幅值的系数，对幅值较大的系数进行收缩或保留。
硬阈值法往往使得滤波结果具有较大的方差（主要因为滤波后的不连续性），而软阈值滤波结果有较大的偏差（主要因为其对所有大于阈值的系数共同作了收缩）。总的说来，硬阈值法可以很好的保留信号或图像的边缘等局部特征，但滤波结果会出现伪Gibbs现象。为了克服软阈值法和硬阈值法的缺点，Gao Hong-Ye提出了另一种阈值函数，即半软阈值函数，并在此基础上推导出了基于半软阈值法的Minimax阈值。这种方法是软阈值法和硬阈值法的折衷形式。它不仅保留了较大的系数，而且具有连续性。然而在半软阈值法中，需要确定两个阈值，增加了算法的复杂度。
4.3 阈值确定方法
- 12 -
西安石油大学本科毕业设计（论文）
在小波域阈值滤波中，阈值的选取直接影响滤波效果。因此，如何确定阈值是一个非常关键的问题。目前主要的阈值确定方法有通用阈值法、极小化风险阈值法、假设检验法等。
（1） 通用阈值法（universa method）
这是Donoho等在高斯噪声模型下，应用多维独立正态变量决策理论，得出的阈值。他们发现当维数趋于无穷时，噪声系数的幅值大于阈值 t??2lnN的概率趋于零，其中?为噪声标准差，N为信号长度。通用阈值具有渐进的Minimax特性，然而由于侧重考虑滤波结果的平滑性，结果表现出较大的偏差。实际应用时需估计噪声方差。在软阈值法中应用该阈值进行滤波时，往往会过平滑掉真实信号。
（2） 极小化风险阈值法
均方差（mean square error，MSE）函数的期望称为风险，极小化风险阈值即MSE意义下的最优阈值。均方差函数描述了滤波结果与真实信号在均方意义下的偏离程度，但是由于在实际应用中，真实信号是未知的，所以人们提出了许多方法来对MSE函数进行估计，这些方法主要有SURE法、交叉验证算法和广义交叉验证算法等。
① SURE法
Donoho等提出通过极小化SURE准则函数来确定阈值，大数定理保证了SURE函数是均方差损失函数的无偏估计。所以，SURE阈值也是最优阈值的无偏估计。
② 交叉验证（cross-validation，CV）算法
G.P.Nason提出的CV算法是一种基于均方差准则确定最优阈值的统计方法。CV算法可以根据实际问题的需要自适应地选取不同的估计准则，以取得更好的滤波效果。当CV算法用于相关噪声滤波时，即使采用基于尺度自适应的阈值，其滤波效果仍不理想。
CV算法采用函数估计的准则为MSE最小，即
1M(t)?
N?(g?ti?gi) (4-12)
i?1N?t表示阈值，gti表示经阈值处理后的函数，g表示真实函数。然而函数g是未知的，所以必须构造出M的一个估计，应用损失函数代替MSE。传统的CV算法是从估计结构中依次去掉每一点，将预测值与去掉的值相比较。
③ 广义交叉验证（generalized cross-validation，GCV）算法
GCV算法是以SURE为基础的，其性能远优于CV算法。GCV是有偏的，其偏差为?2，但其得到的最优阈值是无偏的，且不需要估计噪声方差，故GCV算法应用很广泛。
需要指出的是，GCV算法不能与硬阈值法相结合使用。 （3） 多假设验证法
- 13 -