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11mgl(1?cos?)??2 32mgl令 U?'?mgl?0???0, U?''?mgl?0 ?? 则U有极小值也是最小值，故体系是在??0处是平衡位置，且是稳定的从而
d2U?mglmgml''? T ?2??2? ???U0''gU0ldx2l2 [势能法] Ep?U?3?
6-13 如本题图，质量为M的平板两端用劲度系数均为◇的相同的弹簧连到侧壁上，下垫有一对质量各为m的相同圆柱。将此系统加以左右扰动后，圆柱上下都只滚不滑。这系统作简谐振动吗? 周期是多少? 解： [受力分析法]
?f上?f下?mac?1..ac?r??x?33..11..?2对圆柱：? ?f上?mr??mx, f下??mr???mx (f上?f下）r?Ic?4848?12?I?mrc?2?....3..3对平板：Mx??2kx?2f上??2kx?mx?(M?m)x?2kx?0
44故系统作简谐振动?? [能量分析法] 系统势能Ep?2k 周期是T?2??2??M?3m/4M?3m/4
2k12121kx?kx?(2k)x2 即相当于劲度系数为2k?k'的谐振子 222?.21113Ep?Mx?2(mvc2?Ic?2).2?13?动能相当于谐振子质量为M?m?m' 222?(M?m)x?41.24?vc?r??x?2? ?? ?k'?m'2k2?M?3m/4 T??2?
M?3m/4?2k
6-14 本题图中两个相同圆柱体的轴在同一水平面上，且相距2l，，两圆柱体以相同的恒定角速率按图中的转向很快地转动。在圆柱体上放一匀质木板，木板与圆柱体之间的滑动摩擦系数为?，设?为常数。把处在平衡位置的木板略加触动，(1)试证明木板的运动是简谐振动，并确定其固有角频率；(2)若两圆柱体的转动方向都反向，木板是否仍作简谐振动？ 解：（1） 对o1点，Mg(l?x)?2lN2 对o2点，Mg(l?x)?2lN1 ?N1?l?xl?xMg N2?Mg 2l2l..l?xl?x? ?)Mg??Mgx2l2ll..?g?g 即x? x?0 故木板作简谐运动，其固有角频率为 ??ll....??g （2） 两圆柱转动返回时，有 Mx?f2?f1?Mgx 即 x?x?0
ll 木板的运动方程为 Mx?f1?f2??(N1?N2)??( 木板不作简谐振动，而是向右（或向左）滑出。
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6-15 竖直悬挂的弹簧振子，若弹簧本身质量不可忽略，试推导其周期公式：
T?2?M?m/3，式中m为弹簧的质量，k为其劲度系数，M为系于其上物体的质量(假k定弹簧的伸长量由上到下与长度成正比地增加)。 解： 弹簧的运动比较复杂，较严格的分析可参见： （1） 罗蔚茵，《力学简明教程》，广州，中山大学出版社，1985，340~346
（2） 钱伯初，美国研究生考题分析（三）——近似处理，大学物理，1983年第3期，第
28页，例1。
本题以文献[2]的近似方法来处理：设弹簧上各点随物体M作同相位振动。M的位移为x （似右图中的平衡位置为原点向下为正）。速度为x ，则弹簧+物体这一系统的势能为： U(x).2112?kx 物体的动能为 Ek物?Mx
22.. 假定弹簧的质量均匀地连续分布，它上面各点的速度均匀地从O点变到x，对弹簧上的y点，其速度即为 v(y)..y?x （设某时刻x一定，与y无关） l0?l0'?x则v(y)平方的平均值为 v2(y)l0?l0'?x1x2?vdy?l0?l0'?x?0(l0?l0'?x)3.2?l0?l0'?x01.2ydy?x
32 ?弹簧的动能Ek弹簧121.2?mv(y)?mx 26
6-16 三个质量为m的质点和三个劲度系数为k的弹簧串联在一起，紧套在光滑的水平圆周上(见本题图)。求此系统简正模(即简正频率和运动方式)。 解： ?d2s1?m2??2ks1?ks2?ks311??a1????2???dt2??r?1?ds2??21??a2??0
??m2?ks1?2ks2?ks3 si?aicsin(?t??),??m?1?a??dt1??2?2???3??mds3?ks?ks?2ks123?dt2???2 由：
111??(??3)2?0??1?0,?2??3?11??21??23k m 讨论：（1）?1?0?a1?a2?a3 体系各质点给圆心作纯转动
3k?? 要求 AnAp??np n,p?2,3 A(a1,a2,a3)可解得： m1?对?: a?0,a?-a??2123??2
（Ⅰ）??对?3: a1??2,a2?a3??1a1?32??21111对?： a?sin?,a?cos??sin?,a??cos??sin??2123?32626（Ⅱ）?
21111?对?: a?cos?,a2?sin??cos?,a3??sin??cos?31?32626? （2）?2??3?新 概 念 力 学 习 题 集 第 39 页
2?5?5?11? ,,,3636?a1??0.58?a1?0.58???当???时，（Ⅱ）组的值为 对?3:?a2?0.79 对?3??a2?0.21
4?a??0.79?a??0.21?3?3? a1?a2?a3?0 故此时?2,?3的简正模类似：两质点（1 3）?2或(1 2)?3作相对扭动。质点类似图1中的(b)。但此处的三个质点均不同步。当?值取其它值时亦类似。例
?2?5?35如变为质点(2 3)?1作相对扭动。当?取值?0,,,,?,?,?,2?时，才类似
23623 ?在2，4象限取值，但??图1的模式。
图1与图2的区别是：图1中总有一对质点的运动是同步的，而图2中的三个质点运动永不同步
6-17 阻尼振动起始振幅为3.0cm，经过10s后振幅变为1.0cm．经过多长时间振幅将变为0.30cm？ 解：A(t)?Ae??t?1311310ln10? ??ln?ln3 t?ln??21s
10110ln3/100.3ln3???1lnA1A t?ln A(t)?A(t)
6-18 一音叉的频率为440Hz，从测试仪器测出声强在4.0s内减少到1/5，求音叉的Q值(Q =1/2?，?——阻尼度)
122?c?A 0ss2IA21?2?(t'?t)??t??t'?e?2??t 设Aa?Ae, Ab?Ae, t'?t?4s??t 由：b??(b)?eIa5Aa?1880?ln51 ????0??6.87?103 ?ln5 Q?2?2?2?ln5/82?t8解： ?0???2?v?2??440?880?rad 声强 I?
6-19 一个弹簧振子的质量为5.0kg，振动频率为0.50Hz，已知振幅的对数减缩为0.02，求弹簧的劲度系数k和阻尼因数?．
解： m?5.0kg v0?0.5Hz ?0?2?v0??? ?k?m?2k m （劲度系数）
?5?2?49.3kg ??0.02??T T?2?2??
22?r?0??s2?49.3Nm ????0???4?22???0.020.02?4?22?0.01/s （阻尼系数）
6-20 弹簧振子的固有频率为2.0Hz，现施以振幅为100dyn谐变力，使发生共振。已知共振时的振幅为5.0cm，求阻力系数?和阻力的幅度。
解： v0?2Hz, ?0?2?v0?4?, F?100dyn, ??2m? 作一近似：设阻尼很小，则
?02??2??0由Amax?F2m??0??22?F??0
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F10051kg ??1.59g?g?s?s200?sAmax5?4?FF 阻力的幅度F0??vmax?????F?100dyn?10?3N
2m?? ? 阻力系数 ??
6-21 设有两个同方向同频率的简谐振动x1=Acos(?t+?/4)，x2=3Acos(?t+3?/4)。求合成振动的振幅和初相位。 解：x1?Acos(?t??4) x2?3Acos?(t?A2?(3A)2?2A
3??(t??) ) x?x1?x2?/Acos4 和振动的振幅/A? ??arcsin3A3??7?arcsin? ?和振动的初相位???????1050 2A23412?x?Asin?t?x?Acos?t （2）?
?y?Asin?t?y?Bcos?t
6-22 说明下面两种情形下的垂直振动合成各代表什么运动，并画出轨迹图来。两者有什么区别 (1) ?x2y2解:(1)2?2?1.为一正椭圆.
AB??x?Acos?(t?)?? ?即0?????.为顺时针方向旋转的椭圆 ???????2yx2?st?y?Bco??x?Acos?tx2y2?? (2)??,2?2?1,????y??x??,??????0.
2By?Bcos(?t?)A?2? 为逆时针方向旋转的正椭圆
?t?0, 30?, 45?, 60?, 90?(1) x ?0, ?t?0, 30?, 45?, 60?, 90?2AA,,0223B, B2
A, 23By ?B,,22A3A3A,,A (2) x ?0, , 2222B1B2B, B, 0y ?0,,, 2222
6-23 两支C调音叉，其一是标准的256Hz，另一是待校正的。同时轻敲这两支音叉，在20s内听到10拍。问待校音叉的频率是多少。
解：v标?256Hz,?标?2?v标?512?rad/s,t?20s,n?10拍. T拍?t202?2???2s?? n10?较??标?标??较(1) 设?较??标,则?较??标??较??标??
?较?256.5Hz ??较????标?513?. v较?2?(2) 设?较??标,则?标??较??标??较??
??较??较???511?. v较?
?较?255.5Hz 2?