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新概念力学习题集
第一章
1-1 已知质点沿x轴作周期性运动，选取某种单位时其坐标x和t的数值关系为
x?3sin?6t，求t=0,3,6,9,12 s时质点的位移、速度和加速度。
解：位移?x?x(t)?x(0)?3sin?6t，速度v?dx???cost，加速度dt26dv?2?： a???sint，对于不同的时刻，相应的?x、v、a值见下表（长度单位设为米）
dt126t (s)
0 3 6 9 12
?x(m) 0 3 0 -3 0
v(m/s) ?/2 0 -?/2 0 ?/2
a(m/s2) 0 2
-?/12 0 2
?/12 0
1-2 已知质点位矢随时间变化的函数形式为
r =R( cos?ti+sin?tj )
求(1)质点轨迹，(2)速度和加速度，并证明其加速度总指向一点。
解（1）x?Rcos?t,y?Rsin?t,x?y?R,?质点轨迹是圆心在圆点的圆
222????drv???R(?sin?ti?cos?tj)dt （2） ????dv?a????R(cos?ti?sin?tj)???2r 方向恒指向圆心dt
1-3 在一定单位制下质点位矢随时间变化的函数数值形式为
r =4t2i+(2t+3)tj
求(1)质点轨迹，(2)从t=0到t=1的位移，(3)t=0和t=1两时刻的速度和加速度。
解（1）x?4t,y?2t?3,x?(y?3)故x≥0，y≥3,质点轨迹为抛物线的一段（见右图）
???????????r(0)?3j,r(1)?4i?5j,?r?r(1)?r(0)?4i?2j,大小为?r?42?22?25m.(2)? ??12?4i?5j与x轴夹角??tg?26.6422?????dv????dr?v??8ti?2j,a??8i.a?a?8m/s2方向沿x轴正向v(0)?2j,大小为dtdt(3)
?????v(0)?v(0)?2m/s,方向沿y轴正向;v(1)?8i?2j,大小v(1)?v(1)?82?22?27m/s方向：与x轴夹角??tg?12?14? 81-4 站台上一观察者，在火车开动时站在第一节车厢的最前端，第一节车厢在?t1=4.0s内从他身旁驶过。设火车作匀加速直线运动，问第n节车厢从他身旁驶过所需的时间间隔?tn为多少。令n=7，求?tn．
解：火车初速v0?0，加速度为a，每节车厢长为l，第一节车厢经过观测者所需时间为
?t1?t1?4s,l1?l?12at1，第1至n节车厢经过观察者所需总时间为tn，显然： 2新 概 念 力 学 习 题 集 第 2 页
ln?nl?12l2atn?2tn?tn?nt1?n?t1，故第n节车厢经过者所需时间为： 2t1?tn?tn?tn?1?(n?n?1)?t1?4(n?n?1)
令n?7??t7?4?(7?6)?0.785s
1-5 一球从高度为h处自静止下落。同时另一球从地面以一定初速度v0上抛。v0多大时两球在h／2处相碰?
解：[法一]：因两球的重力加速度均为g朝下，故以上球为参照系。两球自出发点至相碰点所费时间为t=
hh12hg(∵?gt).等价地，相当于下球以v0??2212h?s?gt???下22?t?[法二]：?1h?s?vt?gt2?0上?22?tgh。
hh,v0t?h,?v0??gh. gt
1-6 一球以初速v0竖直上抛，t0 s后在同一地点以同样速率向上抛出另一小球。两球在多高处相遇?
2111gt,t?t??t0,y?v0t?gt2,令y?y??t??v0/g?t0222解： 2v012?y?y??gt02g8y??v0t??
1-7 一物体作匀加速直线运动，走过一段距离?s所用的时间为?t1，紧接着走过下一段距离
2?s?t1??t2
?t1?t2?t1??t21122证明：?s?v0?t1?a?t1 (1) 2?s?v0(?t1??t2)?a(?t1??t2) (2)
2211?s1?a?t2) ?(?t1??t2)(v0?a?t1?a?t2)?(?t1??t2)(22?t12?s(?t1??t2)12?s?s2?s?t1??t2?a?t2??? ?a?
2?t1??t2?t1?t1(?t1??t2)?t1?t2?t1??t2?s所用的时间为?t2，试证明，物体的加速度为 a?
1-8 路灯距地面的高度为h1，一身高为h1的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2 解：?x2?x1h2xdxh1??1?1,1?v1 ?x2?x1 x2h2x2dth1?h2dxh1dx1h1dxv2?2??v1?v1?a2?2?0.?人影的顶端作匀速运动。
dth1?h2dth1?h2dt
1-9 设?为由炮位所在处观看靶子的仰角，?为炮弹的发射角。试证明：若炮弹命中靶点恰为弹道的最高点，则有tan? =2tan?
22v0sin2?v02sin?cos?1解：ym? xm?
2g22g新 概 念 力 学 习 题 集 第 3 页
?tg??
1-10 在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点分别以30?、60?为发射角同时抛出两个小球，欲使两球在各自轨道的最高点相遇，求A、B两点之间的距离。已知小球A的初速为vA0=9.8m/s．
22vAsin2300vBsin2600300解： ym??vB0?vA0 (1) ?ym32g2gym1sin?1??tg? 或：tg??2tg? 12cos?2xm2AB?
111220xmA?xmb?(vA0sin2?300?vBsin2?60)0222gv2A032xmA/2xmB/2 习题1-10
31?(?2g239.8232)????2.83m2?9.823
1-11 飞机以v0=100m/s的速度治水平直线飞行，在离地面高h=98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：(1)投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度? 此时目标距飞机在下方地点多远?(2)物品投出1s后，物品的法向加速度和切向加速度各为多少?
?x?v0t?vx?v0???解：（1）?12 由：y?h?t?v?gty?gt?y?2?2h2h,s?x?v0 gg?s?100?tg??2?9.8?2005?447.2m9.8s22?v0,??tg?1(100?)?77.64??77?38?24?? hgh98?9.8222v?vx?vy?v0?g2t2.t?1s.(2) at?gcos??g?vyv?g?gt2v0?g2t2?9.82?11002?9.82?12?0.96m/s2
an?gsin??g?2vxv09.8?100?g???9.75m/s22vv0?g2t21002?9.82?122v2 又：an?g?at?
Rv3(1002?9.82?12)??1035.1m 故t=1s时的曲率半径为R?gv09.8?1001-12 已知炮弹的发射角为?，初速为v0，求抛物线轨道的曲率半径随高度的变化。
222?vy?v0?2gy 解： vx?v?cos??常数，vy?v0sin??gt,a??g v?vx2gvyg2vygvdv12vy(?g)v2g2222at???? an??a?at?g?2?v?vy?x22dt2vxv?vvv?vy
v312????(v0?2gy)2gvxv0gcos?
1.13 一弹性球自静止竖直地落在斜面上的A点，下落高度h=0.20m，斜面与水平夹角
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?=30?．问弹性球第二次碰到斜面的位置B距A多远。设弹性球与斜面碰撞前后速度数值相等，碰撞时入射角等于反射角。 解：v0?agh 取 xy坐标轴如图。 dx1vx??v0cos60??gsin30?t?(v0?gt)
dt2112?x?(vt?gt)0?dy322?vy??v0cos60??gsin30?t?(v0?gt)??
dt2?y?3(vt?1gt2),0?22?222v02v014v02v01由 y?0?t??AB?x?(v0??g?2)??4h?4?0.20?0.80m
g2g2gg
1-14 一物体从静止开始作圆周运动。切向加速度at=3.00m/s2，圆的半径R=300m．问经过 多少时间物体的加速度a恰与半径成40?夹角。
dvv2at2t2?at,v?att,an??解：??45.此时 at?an?t?dtRR?R?att(s) 2 3 4
300?10s 3.00V测物(m/s) 9.8 (快) 0 （不动） -9.8 （慢）
1-15 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速度为v0=49.0m/s，而气球以速度v=19.6m/匀速上升，问气球中的观察者分别在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各为多少？
解：v物?v0?gt?49?9.8t v测物?v物?v?29.4?9.8t
第二章
2-1 一个原来静止的原子核，经放射性衰变，放出一个动量为9.22×10-16g?cm/s的电子，同时该核在垂直方向上又放出一个动量为5.33×10-16g?cm/s的中微子，问蜕变后原子核的动量的大小和方向。
解: 衰变过程是: A?B?e?ve. 由动量守衡得 PB?Pe?Pv?0. ∴
?PB?PB??Pe?Pv?Pe?Pv?9.222?5.332?10?16g?cm/s?10.65?10?16g?cm/s.
方向:??tg?122PvPe?tg?15.33???????30?.??180?30?150. ??90?30?120. 9.22
2-2 质量为M的木块静止在光滑的水平桌面上。质量为m，速率为v0的子弹水平地入射到木块内(见本题图)并与它一起运动。求(1)子弹相对于木块静止后，木块的速率和动量，以及子弹的动量；(2)在此过程中子弹施于木块的冲量。
解:(1)设木块的速率为v,由动量守衡:mv0?(M?m)v.
mMmm2故v?v0. 木块的动量p木?mv?v0.子弹的动量p子?mv?v0.
M?mM?mM?mMm (2)子弹施予木块的动量I木?P木?0?v0.
M?m
2-3 如本题图，已知绳的最大强度T0=1.00kgfm=500g, l=30.0cm，开始时m静止。水平冲量
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I等于多大才能把绳子打断？
T0?mgT?mgv2?T0?mg?v?l. I?mv?0?I?m0l 解:向心力F?memm故I?m(T0?mg)l?[500?10?3(1?9.8?500?10?3?9.8)?30.0?10?2]12?0.86kg?m/s
习题2-4 习题2-3
2-4 一子弹水平地穿过两个前后并排在光滑水平桌面上的静止木块。木块的质量分别为m1和m1，设子弹透过两木块的时间间隔为t1和t2。设子弹在木块中所受阻力为恒力f，求子弹穿过时两木块各以多大的速度运动。
解:当子弹穿出m1时, m1与 m2一起运动,故 ft1?(m1?m2)v1; v1? 当子弹穿出m2时, ft2?m2v2?m2v1 v2?v1?ft1.
m1?m2ft2ft1ft??2. m2m1?m2m2
2-5 质量70kg的渔人站在小船上，设船和渔人的总质量为200kg．若渔人在船上向船头走4.0m后停止。试问：以岸为参考系，渔人走了多远？
解:设人向右走,对岸速度为ｖ人,相对船的速度为ｕ人,船向左行,对岸的速度为ｖ船,,
则ｖ人=-ｖ船+ｕ人.水平方向动量守恒:ｍ船ｖ船-ｍ人(-ｖ船+ｕ人)= (ｍ船 +ｍ人) ｖ船-ｍ人ｕ人=0. 两边积分得:(m船?m人)v船dt?m人0?t?u0tt人dt?(m船?m人)S船?m人S人对船
?S船? S人?m人m船?m人t0S人对船?70?4?1.4m. (对岸上) 200?t0v人dt??v船dt??u人dt??S船?S人对船??1.4?4?2.6m.(对岸).
0
2-6 两艘船依惯性在静止湖面上以匀速相向运动，它们的速率皆为6.0m/s．当两船擦肩相遇时，将甲船上的货物都搬上乙船，甲船的速率未变，而乙船的速率变为4.0m/s．设甲船空载质量为50kg，货物质量为60kg，求乙船质量。
解: m甲=500kg,m货=60kg,m乙 待求.v0=6.0m/s,v乙=4.0m/s. 忽略水中阻力,两船作为一个系统,其动量守衡.即: (m甲+ m货)v0-m乙v0=m甲v0-( m乙+m货)v?m乙?v0?v乙6?4m货??60?300kg.
v0?v乙6?4
2-7 三只质量均为M的小船鱼贯而行，速率均为v．由中间那只船上同时以水平速率M(相对于船)把两质量均为m的物体分别抛到前后两只船上。求此后三只船的速率。
解:设v前、v中、v后分别为前、中、后三船的待求速度.u与v同向时为正,反之为负,由水平方向的动量守衡定律,有:
前:Mv?m(v中?u)?(M?m)v前
中:Mv?(M?2m)v中?m(v中?u)?m(v中?u) 后:Mv?m(v中?u)?(M?m)v后 可推出: v前=v?mmu v中=v v后=v?u
M?mM?m∵u的正方向与v同向,∴三船的速率分别为:
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v前?v?mmu,v中?v,v后?v?u
M?mM?m
2-8 一质量为M的有轨板车上有N个人，各人质量均为m．开始时板车静止。(1)若所有人一起跑到车的一端跳离车子，设离车前它们相对于车子的速度为u，求跳离后车子的速度；(2)若N个人一个接一个地跳离车子，每人跳离前相对于车子的速度皆为u，求车子最后速度的表达式；(3)在上述两种情况中，何者车子获得的速度较大？ 解:(1)设车子的速度为v车,由水平方向的动量守恒得:
Nmu (1)
M?Nmm (2)第一人跳:[M?(N?1)m]v车1?m(v车1?u)?0?v车1??u (2)
M?Nm 第二人跳: [M?(N?2)m]v车2?m(v车2?u)?[M?(N?1)m]v车1
m11 ?v车2?v车1?u??m[?u(3)
M??N?1?mM?NmM?(N?1)m ?
最后一个人跳: Mv车N?m(v车N?u)?(M?m)v车N?1
m11mm?v车N?v车N?1?u??m[?????]u
M?mM?NmM?(N?1)mM?2mM?m M?Nm(v车?u)?0?v车??这是车子最后速度的表达式. (3)比较(1)式和(4)式,显然有
v车N?v车.即一个接一个地跳(第二种情况)比集体跳,能使车
子最后获得更大的动能.但若各个人的相对车的速率不是u,则结论刚好相反.参见3-26题.
2-9 一炮弹以速率v0和仰角?0发射，到达弹道的最高点时炸为质量相等的两块(见本题图)，其中一块以速率v1铅垂下落，求另一块的速率v2及速度与水平方向的夹角(忽略空气阻力)。 解:炮弹在最高点时vx?v0cos?0,vy?0.
在爆炸瞬间,内力>>重力，即外力可忽略不计，故此时动量守衡： 1m(v1?v2)?mvxi?mvyxj?mvxi.
21?mv?mvcos??mv2cos?x00??22?v2?v12?4v0cos2?0. 即??0?1mvsin??1mv21?22?2vcos?0v1v?1?sin?11?cos?10 ??tg
2v0cos?0v2v2
2-10 求每分钟射出240发子弹的机枪平均反冲力，假定每粒子弹的质量为10g，枪口速度为900m/s。
解:设平均反冲力为F=射击时所需的平均力
Ft?机枪的动量变化=子弹的动量变化=240mv-0=240mv
240mv240?10?10?3?900??36N ?Ft?t602-11 一起始质量为M0的火箭以恒定率|dM/dt|=u排出燃烧过的燃料，排料相对于火箭的速
率为v0．(a)计算火箭从发射台竖直向上起动时的初始加速度；(b)如果v0=2000m/s，则对于一个质量为100t的这种火箭，要给以等于0.5g的向上初始加速度，每秒钟必须排出多少kg的燃料？
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解:(1)仿照书上P.50的推导,可得火箭经过dt时间后动量的改变为
dv?v0dM?F dtdvdM 在发射台附近,m=m0,??,F=M0g.v0与F方向向下.设?a0 dtdtv 则有: M0a0?v0???M0g?a0?0??g
M0 P?P0?mdv?v0dM?Fdt 则 mM0100?103(a0?g)?(0.5?1)?9.8?735kg/s. (2) ??v02000
2-12 一个三级火箭，各级质量如下表所示，不考虑重力，火箭的初速为0． 级别 发射总质量 燃料质量 燃料外壳质量 60 t 40 t 10 t 一级 10 t 20/3 t 7/3 t 二级 11 t 2/3 t 三级 (1)若燃料相对于火箭喷出速率为u=2500m/s，每级燃料外壳在燃料用完时将脱离火箭主体。设外壳脱离主体时相对于主体的速度为0，只有当下一级火箭发动后，才将上一级的外壳甩在后边。求第三级火箭的最终速率；
(2)若把48t燃料放在12t的外壳里组成一级火箭，问火箭最终速率是多少。 解:(1)由P.50的(2.10)式,变为
?vv0dv??c?mdm?v?v0?cln0. m0mmm 对第一级火箭:v1?clnm060?2500ln?2500ln3. m60?40 对第二级火箭:v2?v1?2500ln10?5000ln3.
10?20/31?7500ln3?8239.6m/s.
1?2/3 对第三级火箭:v3?v2?2500ln (2)v?2500ln60?2500ln5?4023.6m/s.
60?48
2-13 一宇宙飞船以恒速v在空间飞行，飞行过程中遇到一股微尘粒子流，后者以dm/dt的速率沉积在飞船上。尘粒在落到飞船之前的速度为u，方向与v相反，在时刻t飞船的总质量为M(t)，试问：要保持飞船匀速飞行，需要多大的力？
P?P0?[M(t)?dm](v?dv)?[M(t)v?udm]解:由动量定理得:
dvdm ?M(t)?(v?u)?M(t)dv?(v?du)dm?Fdtdtdt两边求导得:M(t)dvdm?(v?u)?F. dtdt新 概 念 力 学 习 题 集 第 8 页
∵要求飞船匀速,故
dv=0,v与u的方向相反,以v为正向, dt 则 F?(v?u)dmdm为向前的推力.此式的v、u为绝对值. ?F?(v?u)dtdt
2-14 一水平传送带将沙子从一处运送到另一处，沙子经一垂直的静止漏斗落到传送带上，传送带以恒定速率v运动着(见本题图)。忽略机件各部位的摩擦。若沙子落到传送带上的速率是dm／dt，，试问：
(1)要保持传送带以恒定速率v运动，水平总推力F多大？
(2)若整个装置是：漏斗中的沙子落进以匀v在平直光滑轨道上运动的货车里(见本题图b)，以上问题的答案改变吗？ 解:(1)在水平方向上,由动量定理得:
(m?dm)(v?dv)?mv?mdv?vdm?Fd t 两边求导得F?mdvdm ?vdtdt当要求传送带以匀速运动时,水平总推力为F?vdm(向前) dt(2)在光滑水平直轨道上,若没有沙子漏入,则只启动时用力,以后不用力,车子以匀速v前进.现在沙子进来,也要保持匀速,便需用力了.因为车子越来越重.用力公式同上.
则:F?vdm 即沙子持续进来,便要持续施力.以上问题的答案不改变 dt
2-15 一质量为m的质点在x-y平面上运动，其位矢为r =a cos?ti+bsin?tj，求质点受力的情况。
x2y2解:x?acos? t,y?bsin? t,2?2?1.椭圆. v?dxi?dyj??? asin? ti?? bsin? tj
abdtdta?dv???2acos? ti?? 2bsin? tj???2r.质点受力f?ma??m?2r恒指向原点. dt
2-16 如本题图所示，一质量为mA的木块A放在光滑的水平桌面上，A上放置质量为mB的另一木块B，A与B之间的摩擦系数为?，现施水平力推A，问推力至少为多大时才能使A、B之间发生相对运动。
?N?mBg?0解: 对B:?
f?ma??N??mg?a??mgBBBBB?rF??mBg 对A:F?fr?mAaA?F??mBg?aA?
mA 当aA?aB 时,A,B 之间发生相对运动?F??(mA?mB)g
2-17 如本题图所示，质量为m2的三角形木块，放在光滑的水平面上，另一质量为m1的立方木块放在斜面上。如果接触面的摩擦可以忽略，两物体的加速度各若干？
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?m2a2x?N2sin??m1a1x??N2sin??解:对m2:?m2a2y?N1?N2cos??m2g 对m1:?
ma?Ncos??mg21?11y??a2y?0运动学关系:
'a1y?a2y?'??a1ya1?a1?a2,'?tg???a1ya1x?a2xa1xm1?m2?N??1m?msin2?m2g?21.?(a1x?a2x)tg???m1m2g?N?cos?22?m?msin?21?次式在P.159的3-11题中有用.
m2gsin?cos?m2g?a?????1x(m1?m2)tg??m2ctg?m2?m1sin2?? ?(m?m)g(m?m)gtg?21212?a??sin???1y?(m1?m2)tg??m2ctg?m2?m1sin2??m1gsin?cos?m1g?a???2xm?msin2?(m?m)tg??mctg? 12221??a?0?2y
2-18 在桌上有一质量m1的木板。板上放一质量为m2的物体。设板与桌面间的摩擦系数为?1，物体与板面间的摩擦系数为?2，欲将木板从物体下抽出，至少要用多大的力？ 解: f2??2N2,N2?m2g,f1??1N1,N1(m1?m2)
?f2?m2a2? ?F?f1?f2?m1a2?F?(?1??2)(m1?m2)g
?a?a2?1
2-19 设斜面的倾角?是可以改变的，而底边不变。求(1)若摩擦系数为?，写出物体自斜面顶端从静止滑到底端的时间，与倾角? 的关系，(2)若斜面倾角?1=60?与?2=45?时，物体下滑的时间间隔相同，求摩擦系数?．
解:(1)f?N?,N?mgcos?, mgsin??f?ma?a?g(sin???cos?)
d12dS??at2?t?[]2
cos?2gcos?(sin???cos?)12d2[]?[]????gcos45(sin45??cos45)gcos60(sin60???cos60?)(2)
2d1211311 ?????cos60sin60?cos45sin452222?2?3?0.268????11cos260??cos245??42
2-20 本题图中各悬挂物体的质量分别为：m1=3.0kg, m2=2.0kg, m3=1.0kg．求m1下降的加速度。忽略悬挂线和滑轮的质量、轴承摩擦和阻力，线不可伸长。 解: ??m1g?T1?m1a1
T?2T2?1?m2g?T2?m2a2?'?a2?a?a1m?m3?T?m3g?m3a3 ?2 ?a1'?2(g?a1) 'm?m23?a3?a?a1新 概 念 力 学 习 题 集 第 10 页
a1'?m1(m2?m3)?4m2m33?(2?1)?4?2?11g??g?g?0.58m/s2
m1(m2?m3)?4m2m33?(2?1)?4?2?117
2-21 在本题图所示装置中，m1与m2及m2与斜面之间的摩擦系数都为?，设m1>m2，斜面的倾角?可以变动。求?至少为多大时m1、m2才开始运动。略去滑轮和线的质量及轴承的摩擦，线不可伸长。
解:f1??N1,N1?m1gcos?,f2??N2,N2?(m1?m2)gcos?
??f1?T?m1a?m1gsin3m?m2???f1?f2?tg??1?. ?m2a?T? m2gsinm?m12?a?0?
2-22 如本题图所示装置，已知质量m1、m2和m3，设所有表面都是光滑的，略去绳和滑轮质量和轴承摩擦。求施加多大水平力F才能使m3不升不降。
?m3g?T?0m??F?3(m1?m2?m3)g 解:?T?m2am2?F?(m?m?m)a123?
2-23 如本题图所示，将质量为m的小球用细线挂在倾角为?的光滑斜面上。求(1)若斜面以加速度?沿图示方向运动时，求细线的张力及小球对斜面的正压力；(2)当加速度?取何值时，小球刚可以离开斜面？
?Tsin??Ncos??mg?T?m(gsin??acos?)??
?Tcos??Nsin??ma?N?m(gcos??asin?) (2) 令N=0?a?gctg?
解:(1)?
2-24 一辆汽车驶入曲率半径为R的弯道。弯道倾斜一角度?，轮胎与路面之间的摩擦系数为?．求汽车在路面上不作侧向滑动时的最大和最小速率。 解: 车子驶慢时,就要往下滑.则有
??Ncos??fsin??mg???vmin??f??N?2v?Nsin??fcos??mmin?R? 车子驶快时,就要往上滑.则有
sin???cos?tg???kg?kg
cos???sin?1??tg???Ncos??fsin??mg???vmax??f??N?2vmax?Nsin??fcos??m?k?sin???cos?tg???kg?kg
cos???sin?1??tg?
2-25 质量为m的环套在绳上，m相对绳以加速度a’下落。求环与绳间的摩擦力。图中M、m为已知。略去绳与滑轮间的摩擦，绳不可伸长。
?mg?f?m(a'?a)Mm?解:?f?T?f?(2g?a')
M?m?Mg?T?Ma?
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2-26 升降机中水平桌上有一质量为m的物体A，它被细线所系，细线跨过滑轮与质量也为m的物体B相连。当升降机以加速度a=g/2上升时，机内的人和地面上的人将观察到A、B两物体的加速度分别是多少？(略去各种摩擦，线轻且不可伸长。)
?T?ma解:?(从机内看)?a?3/4g
mg?mg/2?T?ma??aAy?g/2??T?maAx?aAx?3/4g?从地面上的人看 ?T?mg?maBy??
a?1/2g?By?a?g/2?aAx?By?aBx?0??aBx?0 ?a??1/4g?By
2-27 如本题图所示，一根长l的细棒，可绕其端点在竖直平面内运动，棒的一端有质量为m的质点固定于其上。(1)试分析，在顶点A处质点速率取何值，才能使棒对它的作用力为0? (2) 假定m=500g, l=50.0cm，质点以均匀速度v=40cm/s运动，求它在B点时棒对它的切向和法向的作用力。
?v2?Tn?mg?ml?dv??v?gl 解:(1)?Tt?mdt??Tn?Tt?0??dv??3?N?mg?m?0N?mg?500?10?9.8?4.9Ntt???dt?22 (2)? ?v2)2?3(40?10?500?10?0.16N?Nn?m?N?mv?2ln50?10??l?
2-28 一条均匀的绳子，质量为m，长度为l，将它拴在转轴上，以角速度?旋转，试证明：
m?22(l?r2)，式中r为到转轴的距离。 略去重力时，绳中的张力分布为T(r)?2l解: 在r处的张力T等于从r到l这一段绳子作圆周运动所需的向心力,对dr这一段,所需向
m2m?22(l?r2). 心力为: dT?dm?r??rdr?l2l2
2-29 在顶角为2?的光滑圆锥面的顶点上系一劲度系数为k的轻弹簧，下坠一质量为m的物体，绕锥面的轴线旋转。试求出使物体离开锥面的角速度?和此时弹簧的伸长。 解:N=0时物体离开桌面
mg??f?k?l?l???kcos??mg? fcos??mg???kg?22???fsin??mr??m(l??l)sin??0??kl0cos??mg?
2-30 抛物线形弯管的表面光滑，可绕铅直轴以匀角速率转动。抛物线方程为y=ax2，a为常数。小环套于弯管上。求(1)弯管角速度多大，小环可在管上任意位置相对弯管静止。(2)若为圆形光滑弯管，情形如何？
新 概 念 力 学 习 题 集 第 12 页
?Ncos??mg?解:(1)?Nsin??man?m??2???2ag
?'?tg??y?2ax (2)当y=2R时,?取任何值均可.当R 2-31 在加速系中分析2—25题。 ?Mg?f?Ma?0'?f?mM(2a?a) ?'?mg?ma?f?ma 2-34 列车在北纬30?自南向北沿直线行驶，速率为90km/h，其中一车厢重50t。问哪一边铁轨将受到车轮的旁压力。该车厢作用于铁轨的旁压力等于多少？ ???解:科里奥利力fc?2mv??, 东边: ??390?10?32?2?1fc?2m?sin30?2?50?10?????91N 60?6024?60?6024?60?602 第三章 3-1 有一列火车，总质量为M，最后一节车厢质量为m．若m从匀速前进的列车中脱离出来，并走了长度为s的路程之后停下来。若机车的牵引力不变，且每节车厢所受的摩擦力正比于其重量而与速度无关。问脱开的那节车厢停止时，它距列车后端多远。 解：每节车厢所受的阻力为f??mg，牵引力F?Mf/m?M?g。进力为F?f?F?'(M?m)节车厢的前mM?mf?f。 m [方法一]：在以匀速v0前进的参照系看，落后一节车厢停止时落后的距离为 1'21F?f'2m12f2M?m't?s此节车厢多走的距离为s?at?s?at?t， 22M?mM?m22mm'时最后一节车厢与列车后端相距?s?s?s?Ms/(M?m) 3-2 一质点自球面的顶点由静止开始下滑，设球面的半径为R，球面质点之间的摩擦可以忽略，问质点离开顶点的高度h多大时开始脱离球面。 ?mgh?mv2/2?2解：N=0时质点脱离球面 ?mgcos??mv/R ?h?R/3 ?cos??(R?h)/R? 3-3 如本题图，一重物从高度为h处沿光滑轨道滑下后，在环内作圆周运动。设圆环的半径为R，若要重物转至圆环顶点刚好不脱离，高度h至少要多少？ 2??mg?mv/2?2mgR解：?2 ?h?5R/2 即高度h至少要为5R/2 ??mv/R?mg?N?mg 3-4 一物体由粗糙斜面底部以初速v0冲上去后又沿斜面滑下来，回到底部时的速度减为v0， 新 概 念 力 学 习 题 集 第 13 页 求此物体达到的最大高度。 2??mgh?fs?mv0/222?h?(v?v)/4g 解：?012??mgh?mv1?fs 3-5 如本题图，物体A和B用绳连接，A置于摩擦系数为?的水平桌面上，B在滑轮下自然下垂。设绳与滑轮的质量都可忽略，绳不可伸长。已知两物体的质量分别为mA和mB，求物体B从静止下降一个高度h后所获得的速度， 12?mBgh?(mA?mB)vB?fh2(mB??mA)gh2?vB?[] 解：?m?mf??mgABA? 3-6 用细线将一质量为m的大圆环悬挂起来。两个质量均为M的小圆环套在大圆环上，可以无摩擦地滑动。若两小圆环沿相反方向从大圆环顶部自静止下滑，求在下滑过程中，?角取什么值时大圆环刚能升起。 解：大圆环上升时，细线的拉力T=0。此时小环对大环而拟一提力N，小环受一下压力N s?mg?2Nco?113M?s1(?1?) ?N?Mgco?s?Mv2/R ??min?co?332M?s)?Mv2/2?MgR(1?co?3-7 如本题图，在劲度系数为k的弹簧下挂质量分别为m1和m2 的两个物体，开始时处于静 止。若把m1、m2之间的连线烧断，求m1的最大速度 解：设弹簧原长为y0 , m1+m2处于静止时长为y2 , m1静止时长为y1 ,剪断m2后，m1经过其平衡位置时，速度最大，记为vmax , ??k(y2?y0)?(m1?m2)g? ?k(y1?y0)?m1g?1112?k(y2?y0)2?k(y1?y0)2?m1vmax?m1g(y2?y1)22?2 3-8 劲度系数为k的弹簧一端固定在墙上，另一端系一质量为mA的物体。当把弹簧的长度压短x0后，在它旁边紧贴着放一质量为mB的物体。撤去外力后，设下面是光滑的水平面，求：(1)A、B离开时，B以多大速率运动；(2) A距起始点移动的最大距离。 解：（1） 1212kx0?(mA?mB)vB?vB?22kx0 mA?mB（2） 11'22'mAvB?kx0?x0?22mAmA'x0 ?xAmax?x0?x0?(1?)x0 mA?mBmA?mB 3-9 如本题图，用劲度系数为k的弹簧将质量为mA和mB的物体连接，放在光滑的水平面上。mA紧靠墙，在mB上施力将弹簧从原长压缩了长度x0，当外力撤去后，求：(1)弹簧和mA、mB所组成的系统的质心加速度的最大值；(2)质心速度的最大值。 解：(1)外力撤去的瞬间， m B受到向右的弹性力f?kx0, mA受到向左的弹性力和向右的来自墙体的作用力N，由于此时A静止，故f?N?kx,这样，系统(mA+mB+弹簧)受到的外力为F外?N，故有： acmax?F外/m?kx0/(mA?mB) 当mA离开墙体后， F外?0,ac?0 （2）当弹簧恢复到原长时，mA静止,mB动能最大： 1122mBv2?kx0?v2?k/mBx0 22此后系统在没有外力的作用下运动，质心最大速度vcmax服从关系式： 新 概 念 力 学 习 题 集 第 14 页 (mA?mB)vcmax?mBv2?0?mBv2 即： vcmax此时 Ep?Ek?Epmax?uv??mii?mBmA?mBkx0 mB1211mAmB2kx0?(mA?mB)vc2max?v2 222mA?mB1mAmB2cMv2 （弹簧不伸长，不缩短，故其弹性势能为零） 其中 Ek?2mA?mB 3-10 如本题图，质量为m1和m2的物体以劲度系数为k的弹簧相连，竖直地放在地面上，m1在上，m2在下。(1)至少先用多大的力F向下压m1，突然松开时m2才能离地？(2)在力F撤除后，由m1、m2和弹簧组成的系统质心加速度ac何时最大？何时为0？m2刚要离地面时ac=？ 解：（1）kl1?m1g?l1?m1g/k klF?F?m1g?lF?(F?m1g)/R 弹簧伸长l 2 时，m2方能离地（N=0）： kl2?m2g?l2?m2g/k 1212klF?kl2?m1g(lF?l2)?F?(m2?m2)g 22（2）力F撤除后，（m1+m2+弹簧）系统受外力F外?N?(m1?m2)g （以向上为正） 由 N?k(l0?x)?m2g。l为弹簧原长。 l0?x?lF,F外?(m1?m2)g?(m1?m2)acmax?acmax?g (方向向上) ?当F刚撤除时， ?? 当l0?x?l1时，F外?0?ac?0 （m1?m2)g?ac??g，这便是m2??? 当l0?x??l1，即弹簧伸长l2时，N=0，F外??刚要离地时的质心力加速度，方向向下。 3-11 如本题图，质量为M的三角形木块静止地放在光滑的水平面上，木块的斜面与地面之间的夹角为?．一质量为m的物体从高h处自静止沿斜面无摩擦地下滑到地面。分别以m、M和地面为参考系，计算在下滑的过程中M对m的支撑力N及其反作用力N’所作的功，并证明二者之和与参考系的选择无关，总是为0． 解：从p.105的2-17题可算出： 2(m?M)gsin?mMgcos?mgsin?cos?a?? N?N?a? myMx222M?msin?M?msin?M?msin?1mhcos?1 h?amyx2,sM?amxt2?2(m?M)sin?2① 以m为参照系，m不动，其位移s?0，故AN?Nscos??0。 ' AN??N?s相cos?0,AN?AN??0 ?2② 以M为参照系，M不动，其位移s?0，故AN??N?scos??0。 AN?Ns相cos?0,AN?AN??0 ?2③ 以地面为参照系，M的位移为sM，m的位移为sm?s相?sM ??????m2Mhgcos2?m2Mgh? AN??N?sMcos(??)? 2(M?m)(M?msin2?)M2?(M?m)2tg2??Mm????????AN?N?sm?N(s相?sM)?Ns相cos?N??sM??AN? 2m2Mghcos2? ?? AN?AN??0 (M?m)(M?msin2?)新 概 念 力 学 习 题 集 第 15 页 ????????????????????AN?N?sM,AN??N??sM，且 AN?AN?N?sM?N??sM?N?(sm?sM)?N?s相?0 ??????? ?AN??N?sM?s)?AN??N??s ???????????N?sm??N?(sm?s)?AN?N?s?AN??AN???AN?AN??(N?N?)?s?0 AN??sM?s,sm??sm?s。 为s。sM?)，k?相对k的位移?)、sm(sm④ 设有两参考系k、k?，M和m的位移分别为sM(sM???? 3-12 —根不可伸长的绳子跨过一定滑轮，两端各拴质量为m和M的物体(M>m)。M静止在地面上，绳子起初松弛。当m自由下落一个距离h后绳子开始被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度和此后M上升的最大高度H。 解： m下降距离h时， 12mv0?mgh?v0?2gh 2 经?t（很短）时间后，m , M同有角速度V，由动量定理，有： m:(T?mg)?t??mv?(?mv0) M:(T?mg)?t?MV 绳子被拉紧的?t时间内，T??ng,T??Mg， 故可忽略mg及Mg，?MV??mV?mv0 ∴两物体的速度为V?m2gh M?m 设m再下降H，M上升H后，m , M的终端速度为0，即有 m21122 MV?mv?mgH?MgH ?H?h 22M?m22 3-13 如本题图，质量为m的物体放在光滑的水平面上，m的两边分别与劲度系数为k1和k2的两个弹簧相连，若在右边弹簧末端施以拉力f，问：(a) 若以拉力非常缓慢地拉了—段距离l，它作功多少？(b)若拉到距离l后突然不动，拉力作功又如何？ 解：(a) ∵拉力F拉得缓慢，f?k2x2?k1x1，x1,x2从0增大，故f是变力，不是恒力。 ??x1?x2?l1k1k22??A?l ?k1x1?k2x22k?k12?1122?A?Ep弹1?Ep弹2?k1x1?k2x2?22 (b) 施力的方式比较复杂，现考虑两个极限情形：第一，如上述（a）的情形：A被分配到两弹簧上，此时A最小。第二，A只分配到k2上，这相当于拉力f?k2x2，为急 速地拉动，此时k1及m都来不及变化和运动，故Amax? 12k2l。一般地，有： 21k1k221l?A?k2l2 2k1?k22 3-14 质量为M的木块静止在光滑的水平面上。一质量为m的子弹以速率v0水平入射到木块内，并与木块一起运动。已知M=980g, m=20g, v0=800m/s。求(1)木块对子弹作用力的功；(2)子弹对木块作用力的功；(3)耗散掉的机械能。 m20?10?3v0??800?16m/s 解：mv0?(M?m)V ?V??3?980?20??10M?m（1）A木块?子弹?Ek子弹?Ek子弹?01112mV2?mV0??20?10?3(162?8002)??6397.44J 222新 概 念 力 学 习 题 集 第 16 页 （2）A子弹?木块?Ek木块?Ek0木块?（3）耗散掉的机械能： ?E?11MV2??980?10?3?162?125.44J 22112mv0?(M?m)V2??A木块?子弹?A子弹?木块?6397.44?125.44?627J2 22 3-15 如本题图，m1、m2静止在光滑的水平面上，以劲度系数为k的弹簧相连，弹簧处于自由伸展状态，一质量为m、水平速率为v0的子弹入射到m1内，弹簧最多压缩了多少？ 解：子弹打入m1内，又未穿出这一过程中，动量守恒： mv0?(m?m1)v1 然后，m1,m2,m及弹簧系统中，当m1(m)相对于质心的动能Ek大的压缩量xmax，由动量、能量守恒，得： cM?0时，弹簧有最 ?(m?m1)v1?(m?m1?m2)v0m2??x??mv0 ?111max222?(m?m1)(m?m1?m2)k?k(m?m1)v1?(m?m1?m2)vc?kxmax??222 3-16 两球有相同的质量和半径，悬挂于同一高度，静止时两球恰能接触且悬线平行。已知两球碰撞的恢复系数为e．若球A自高度h1释放，求该球碰撞弹回后能达到的高度。 解：A球与B球碰撞前一刻的速度为vA0?2gh1，碰撞后两者的速度分别为vA,vB： ?11?mvA0?mvA?mvB ??vA?(1?e)vA0?0,vB?(1?e)vA0， vB?vA 22??vA?vB??evA0111???222mgh?mvh?gth?(1?e)h1AAAAA????hB?hA???224? ? ?????t?t11122?BA?mghB?mvB?hB?gtB?hB?(1?e)2h1??????22412 ∴A球第一次碰撞后返回的高度是hA?(1?e)h1 4 3-17 在一铅直面内有一光滑的轨道，轨道左边是光滑弧线，右边是足够长的水平直线。现有质量分别为mA和mB的两个质点，B在水平轨道上静止，A在高h处自静止滑下，与B发生完全弹性碰撞，碰后A仍可返回到弧线的某一高度上，并再度滑下。求A，B至少发生两次碰撞的条件。 解：A质点与B质点第一次相碰前的速度为vA0? 由（3.63）式可得第一次碰撞后两质点速度为 vA?2gh 2mA2gh mA?mB 若要求A点返回，则要求vA?0，则mA?mB，然后A质点再滑下，与B以生第二次碰撞，即要求： vA0'??vA?vB 可解出：mB?3mA或mA?mB/3 2gh，vB? 3-18 一质量为m的粒子以速度v0飞行，与一初始时静止、质量为M的粒子作完全弹性碰撞。从m／M=0到m／M=10画出末速v与比值m／M的函数关系图。 mA?mBmA?mBm?Mr?1?v?v?v??mm?M0r?10解：由（3.63）式得： ? vM?vm?v0 2m2r?vM?v0?v0?m?Mr?1? 两粒子末速v(vm或vM)与质量比m/M?r的函数关系如右图所示(r~0?10)，vm以 新 概 念 力 学 习 题 集 第 17 页 v0为极限，vM以2v0为极限。 3-19 一质量为m1、初速为u1的粒子碰到一个静止的、质量为m2的粒子，碰撞是完全弹性的。现观察到碰撞后粒子具有等值反向的速度。求(1)比值m2／m1；(2) 质心的速度；(3)两粒子在质心系中的总动能，用m1u12/2的分数来表示；(4)在实验室参考系中m1的最终动能。 ?解：（1）? v?u1/2 ?m2?3m1 222能量守恒:m1u1/2?(m1v?m2v)/2?mivi?mu?01 （2）vc?i?11?u1 mm1?m241m1m231c22u1??m1u1 （3）Ek?2m1?m2421122 （4）Ek1?m1v?m1u1 28 3-20 在一项历史性的研究中，詹姆斯．查德威克(James Chadwidk)于1932年通过快中子与氢核、氮核的弹性碰撞得到中子质量之值。他发现，氢核(原来静止)的最大反冲速度为3.3×107m/s，而氮14核的最大反冲速度为4.7×106m/s，误差为士10%．由此你能得知中子质量和所用中子的初速度分别是什么吗？(要计及氮的测量误差。以一个氢核的质量为1原子质量单位，氮14核的质量为14原子质量单位。) 动量守恒:m1?m2v?m1v?mnv0?mnvnH?mHvHmH1解： ??v?(1?)vH 02222mn?mnv0/2?mnvnH/2?mHvH/214mH1 同理：v0?(1?)vN 2mn14vN?vH14?4.7?106?3.3?107mH?mH?10159mH （1）mn?76vH?vN3.3?10?4.7?1011 （2）v0?(1?)?3.3?107?3.07?107m/s 21.159 误差分析： ?lnmn?ln14v?vHvH?vN?mn14?vN?vN?lnmH???mn14vN?vHvH?vN6 而?vN?vN?10%?0.47?10m/s ?mn14?0.47?1060.47?106????21.72% 6776mn14?4.7?10?3.3?103.3?10?4.7?10mH ?mn?mn?21.72%?0.252 又lnv0?ln 即 ?vmm11vH?ln(1?H)?0???H??mn 2mnv0mn?mHmn?v01??0.252?10.07%?0.31?107m/s v01.159?17 最后得 ·mn?(10159?0.252)mH ·v0?(3.07?0.31)?10m/s 3-21 在(原理)一书中牛顿提到，在一组碰撞实验中他发现，某种材料的两个物体分离时的相对速度为它们趋近时的5/9．假设一原先不动的物体质量为m0，另一物体质量为2m0，以初 新 概 念 力 学 习 题 集 第 18 页 速v0与前者相撞。求两物体的末速。 解：设v1?v2，则??v1?v2?50?v0/9?5v0/9?2m0v0?2m0v2?m0v1注意：若设v2?v1?5v0/9,则v1?8v0/27,v2?23v0/27?v1，不符合物理事实，故 ?v1?2813v0,v2?v0 2727舍去。 3-22 一质量为m0，以速率v0运动的粒子，碰到一质量为2m0静止的粒子。结果，质量为m0的粒子偏转了45?并具有末速v0/2。求质量为2m0的粒子偏转后的速率和方向。动能守恒吗？ 解：由动量守恒得： 1?v0??v?v05?22?0.368v0m0v0?m0cos?2m0vcos???4??24?? ?v2????tg?1?m0sin?2mvsin??0?28.68?00??24?4?2?v115?2221122v0?0.52?m0v0?m0v0 末态动能Ek?m00?2m02421622故动能不守恒！ 3-23 在一次交通事故中(这是以一个真实的案情为依据的)，一质量为以2000kg、向南行驶的汽车在一交叉路中心撞上一质量为6000kg、向西行驶的卡车。两辆车连接在一起沿着差不多是正西南的方向滑离公路。一目击者断言，卡车进入交叉点时的速库为80km/h．(1)你相信目击者的判断吗？(2)不管你是否相信他，总初始动能的几分之几由于这碰撞而转换成了其它形式的能量？ 解：（1）由动量守恒，有P总?(m汽?m卡)v总? 而：P汽?P卡?m汽v汽?m卡v卡 22P卡?2m卡v卡 m卡?6v?v??汽m卡2?80?240km/h?3v卡?汽 ?? m卡63?v?2v?2?80?602km/h?2v卡总卡?m?m2?64汽卡? 一般的小汽车最高时速为120公里，此处v汽?120km/h，故目击者的判断不可信。 111222222 （2）E初k?m汽v汽?m卡v卡??2?240?6?80?t?km/h 2221422222 ?7.68?10t?km/h??2?3?6?v卡?12v卡 21122422 E末k??m汽?m卡?v总???2?6??60?2?2.88?10t?km/h 221922 ??2?6?? ?2v卡?4.5v卡216?EkE初k?E末k7.68?2.88512?4.5???0.625?? ?x? E初kE初k7.68812 即总初始动能的5/8由于碰撞而转换成了其他形式的能量。 3-24 两船在静水中依惯性相向匀速而行，速率皆为6.0m/s．当它们相遇时，将甲船上的货物搬到乙船上。以后，甲船速度不变，乙船沿原方向继续前进，但速率变为4.0m/s，设甲船空载时的质量为500kg，货物的质量为60kg，求乙船质量。在搬运货物的前后，两船和货物 新 概 念 力 学 习 题 集 第 19 页 的总动能有没有变化？ 解：由2-6题求得m乙?300kg 记m甲?500kg,m货?60kg时， v0?6m/s,v乙?4m/s 111222则 Ek初??m甲?m乙?m货?v0 Ek末?m甲v0??m乙?m货?v乙 222由于v0?v乙，故Ek初?Ek末，即搬运货物前后，两船和公斤的总动能有变化（减少了）。 3-25 一质量为m的物体，开始时静止在一无摩擦的水平面上，受到一连串粒子的轰击。每个粒子的质量为?m(< v1?v2?v3?v4?2?m2?mv0?a?v0,a??m??mm??m2?mv0?(m??m)v1?a??1?b??v0m??m2?mv0??m??m?v2?a?1?b??b?2v0m??m??? 2?mv0??m??m?v3?a?1?b??b?2?b?3v0m??m?????vn?2?mv0??m??m?vn?1?a?1?b??b?2?b?3???b?n?1v0?1?b?nv0?1?elnb??nv0m??m??????m??m??2????????ln?1?m??ln?1?m???m?m??m??a m??mm?m?mmm??2??vn??1?e?na?v0，其中a?m （1） m?na?1?na,1?e?na?na?vn?nav0?nv1，由于?m??m,a??a， 讨论：?an??1,e b??1，严格结果vn?nav0，故此时近似式（1）有效。 由于lnb??ln?0,vn?v0，但严格结果nav0??，故此时近似式（1）无效。 ?an??,e 3-26 水平地面上停放着一辆小车，车上站着10个质量相同的人，每人都以相同的方式、消耗同样的体力从车后沿水平方向跳出。设车的质量远大于10个人的质量，以及所有人所消耗的体力全部转化为车与人的动能，在整个过程中可略去一切阻力。为了使小车得到最大的动能，车上的人应一个一个地往后跳，还是10个人一起跳？ 解：设每人贡献的能量为E，小车的质量为M，把N个人看成一个质点组，则其动能为： N12cM Ek人?Nmvc人?Ek人(konig定理) 其中：vc人??mvi2i?11122 又： NE?MV车?Ek人,Ek车?MV车 22?na?m??mviiiNm MV车??mvi?1Ni?0，v车为几个人全部跳离车子后的速度。 解上述诸式，便得车子动能Ek车为： Ek车?Nm?NE?EkcM人? M?Nm新 概 念 力 学 习 题 集 第 20 页 当几个人一起跳车时，各vi一样，且vi?vc,vicM?0，故EkcM人?0，此时 ?E?k车一起N2mE ?M?Nm当几个人一个一个跳车时，各vi不一样，且vc??vNi?vi,i为某个人的序号， vicM?vi?vc?0，故 ?Ek车?一个一个??Ek车?一起 ∴10个人一起跳时，车子获得最大的动能。 3-27 求圆心角为2?的一段均匀圆弧的质心。 m,x?Rcos? 2?R111?mRsin? xc??xdm??x?dl??Rcos?? Rd????mmm2?R? 特例：?????xc?0,圆周质心在圆心上. ?2R????xc?(半圆弧的质心) 2????0?xc?R,一个点的质心在质点上.解：显然yc?0,?? 3-28 求均匀半球体的质心。 解：显然xc?0,zc?0，?? ycm,y?Rcos?,dy??Rsin?d? 22?R/3ydm???m1R30323????y?Rsin??dy?R?sin?co?sd??R ?m?02?28 3-29 如本题图，半径为R的大圆环固定地挂于顶点A，质量为m的小环套于其上，通过一劲度系数为k、自然长度为l(l<2R)的弹簧系于A点。分析在不同的参数下这装置平衡点的稳定性，并作出相应的势能曲线。 解：总势能Ep?Ep重?Ep弹，选右图中的?角为变量，则 11222k?2Rco?s?l??2mgRsin??k?2Rco?s?l??0 22dEpdv1dEp?0的点即为切向力F??m???0的点): 找平衡点(d?dt2Rd?dEpdEp?2Rsin??kl?2?mg?kR?cos?? 令?0 d?d?klkl ?sin??0或cos?? 即?1?0,???cos?12?kR?mg?2?kR?mg? Ep?mgR(1?cos2?)?研究稳定性： d2Epd?22?2Rco?s?kl?2?mg?kR?co?s??4R?mg?kR?sin? ① 对于?1?0,Ep?0??4R?mg????1?kl?kR? 2???·当mg?kR?kl/2?0,即mg?kR?kl/2时,Ep?0??0,?1?0为稳定平衡点。 ·当mg?kR?kl/2?0,即mg?kr?kl/2时,Ep?0??0, 新 概 念 力 学 习 题 集 第 21 页 2 Ep????2klRcos??1?cos???sin??c ??? ∴在?1?0附近，势能曲线上凹，这时，?1?0也为一稳定平衡点。 ·当mg?kR?kl2?0,即mg?kR?kl2时,Ep?0??0，?1?0为不稳定平衡点。 ?kl?,Ep?????4R?kR?mg?sin2?? 2?kR?mg?? ·当kR?mg?0时Ep?????0，因要求cos???1?mg?kR?kl2，此时??为 ② 对于???cos?1两个稳定平衡点。 mg?kR?kl2时,co?s??1????0，不属此解。 mg?kR?kl2?co?s??1，不合理，应舍去。 ·当kR?mg?0时,Ep?????0,但cos????，不合理，舍去。 ·当kR?mg?0时,Ep?????0,但cos??为负值，?????2，不合理，舍去。 总结之： （a）当mg?kR?kl2时，Ep有两个稳定平衡点????，有一个不稳定平衡点??1?0?。 （b）当mg?kR?kl2时，Ep只有一个稳定平衡点??1?0?。 相应的势能曲线见下图(a)、(b)。 ??第四章 4-1 如本题图，一质量为m的质点自由降落，在某时刻具有速度v．此时它相对于A、B、C三参考点的距离分别为d1、d2、d3。求：(1)质点对三个点的角动量；(2)作用在质点上的重力对三个点的力矩。 ???JA?md1?v,JA?mvd1,方向向纸里。????解：（1）J?md?v ,J?mvdsin(??)?md2vcos??mvd1方向向里，B2B22???JC?md3?v?0.??????（2）MA?d1?mg,MA?mgd1，方向向里；MB?d2?mg， ???MB?md2gsin(??)?md2gcos??mgd1；MC?d3?mg?0 2? 4-2 一质量为m的粒子位于(x，y)处，速度为v=vx i+ vy j，并受到一个沿-x方向的力f．求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。 ???解： J?mr?v?mxy0vxvy0???ijk?????m(xvy?yvx)k M?r?f?xy0?f00???ijk??yfk 4-3 电子的质量为9.1×10-31kg，在半径为5.3×10-11m的圆周上绕氢核作匀速率运动。已知电子的角动量为h/2?，(h为普朗克常量，等于6.63×10-34J?s)，求其角速度。 ???h解：J?mr?v, J?mvr, v?r?, J? 2?新 概 念 力 学 习 题 集 第 22 页 1h6.63?10?3416????4.13?10md/s 2?312?22mr2?9.1?10?5.3?10?2? 4-4 如本题图，圆锥摆的中央支柱是一个中空的管子，系摆锤的线穿过它，我们可将它逐渐拉短。设摆长为l1时摆锤的线速度为v1，将摆长拉到l2时，摆锤的速度v2为多少？圆锥的顶角有什么变化？ ??解：质点的合力F沿?r方向，为有心力（即向心力），故质点对支柱的角动量守恒（不是 ??对顶点守恒），即J1?J2?mr1v1即：r1v1?r2v2?恒量 r?v2?1v1,由于r1?r2,故v2?r1，又r1?l1sin?1,r2?l2sin?2,?r2?T2cos?2?mg23l1sin?1vv13?222v2?v1,从??tg????v2 v22l2sin?2gr2gr1v1恒量?T2sin?2?mr2?3?tg?2~v2?v2增大，故以?2亦增大，即?2??1 4-5 如本题图，在一半径为R、质量为m的水平转台上有一质量是它一半的玩具汽车。起初小汽车在转台边缘，转台以角速度?绕中心轴旋转。汽车相对转台沿径向向里开，当它走到R/2处时，转台的角速度变为多少，动能改变多少？能量从哪里来？ 4-6 在上题中若转台起初不动，玩具汽车沿边缘开动，当其相对于转台的速度达到v时，转台怎样转动？ m1汽车对地速度为V车?v?V合?v?R?，J车?RV车?mR(v?R?)22解：J?I??1mR2?,角动量（对圆心）守恒：J?J?0 台车台2v???(这是转台反方向旋转地角速度)2R 4-7 两质点的质量分别为m1、m2(m1> m2)，拴在一根不可伸长的绳子的两端，以角速度?在光滑水平桌面上旋转。它们之中哪个对质心的角动量大？角动量之比为多少？ 解：l1?m2m2l, l2?l m1?m2m1?m222211m2m1m2m1222Jc1?m1l1v1?ml??l? J?mlv?ml??l? c22222222(m1?m2)(m1?m2)Jm?m1?m2,Jc2?Jc1,即m2对质心的角动量更大 c2?1 Jc1m2 4-8 在上题中，若起初按住m2不动，让m1绕着它以角速度?旋转。然后突然将m2放开，求以后此系统质心的运动，绕质心的角动量和绳中的张力。设绳长为l。 解：放开m2后，质心的合力为零，故其以匀速vc??l2?线运动 Jc?Jc1?Jc2?m1l?沿切线方向做匀速直 m1?m2m1?m22l?? m1?m2m1m22m12l2??2J?Jc?mrc?vc?m1lv0?m1l??l???(m1?m2)?????? 2m1?m2(m1?m2)新 概 念 力 学 习 题 集 第 23 页 ?系统绕质心的总角动量为Jc?m1m22l???l2?.?为折合质量m1?m2 v12m1m2T1?m1?m1l1?2?l?2l1m1?m22v2m?m2T2?m1?m2l2?2?1l?2?T1??l?2(T1?T2)l2m1?m2 4-9 两个滑冰运动员，体重都是60kg，他们以6.5m/s的速率垂直地冲向一根10m长细杆的两端，并同时抓住它，如本题图所示。若将每个运动员看成一个质点，细扦的质量可以忽略不计。(1)求他们抓住细杆前后相对于其中点的角动量；(2)他们每人都用力往自己一边收细杆，当他们之间距离为5.0m时，各自的速率是多少？(3)求此时细杆中的张力；(4)计算每个运动员在减少他们之间举例的过程中所作的功，并证明这功恰好等于他们动能的变化。 解：(1) J1?J2?mrv0?60?5?6.5?1950kgm2/s2J?J1?J2?2?1950?3900kgm/s?J前?J后（角动量守恒）?(2) 每人用力沿r方向，杆对人给予向心力，故角动量守恒 r5??J1?J2?2mr10v0?J1?J2?2mr5v??v??10v0??6.5?13m/s r52.5 v?2132?60??4056N (3) T??mr52.5r10rv?22v0 s?r10?r,ds??dr T?m?m103v0 ?2mr10v0?2mrv?v?rrr?每个运动员所做的功为2vr11122A??Tds??m0310(?dr)?mr10v0(2?2)r10r102rr5r10r5r5221r11122?m102v0?mv0?mv?2?mv2??Ek2r5222?1?60?(132?6.52)?3802.5J22 4-10 在光滑的水平桌面上，用一根长为l的绳子把一质量为m的质点联结到一固定点O、起初，绳子是松弛的，质点以恒定速率v0沿一直线运动。质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到l时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。(1)求此质点的最终动能与初始动能之比。能量到哪里去了？(2)当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动，绳断后质点对O的角动量如何变化？ (1)Ek0?1b11122bmv0,v?v0sin??v0 Ek?mv2?mEk0?mv0()2 2l222lEkb21b2?2 ???1 其他能量Ek?Ek0?mv0(1?2)变为绳子的弹性势能，Ekol22l 解：再转化为绳子中分子的内能(2)绳子断后，质点将按速度v?v0b沿切线方向飞出，做匀速直线运动lJ?mrvsin??mvl?mv0b质点对0点的角动量不变。 4-11 图中O为有心力场的力心，排斥力与距离平方成反比：f=k/r2(k为一常量)。(1)求此力 新 概 念 力 学 习 题 集 第 24 页 场的势能；(2)一质量为m的粒子以速度v0、瞄准距离b从远处入射，求它能达到的最近距离和此时刻的速度。 解：(1)U(y)0?U(?)???rfcos?ds??f(r)dr??r??rkk dr?rr2选r??处为U的零点?U(r)?kr(2)因是有心力，故粒子对0点的角动量守恒J0?mrv0sin(??)?mrv0cos??mv0b?mvR (1)2112k2能量守恒给出 mv?mv? (2) 0 22R?v?k2?m2v0b2?kmv0bmv0b2k?mv0b?k224224??mv0bk?k2?m2v0b2k2?m2v0b2?kmv02443R?? 4-12 在上题中将排斥力换为吸引力，情况如何？ 4-13 如果由于月球的潮汐作用，地球的自转从现在的每24小时一圈变成每48小时一圈，试估计地球与月球之间的距离将增为多少？已知地球的质量为M地?6×1024kg，地球半径为R地=6400km，月球质量为M月?7×1022kg，地月距离为l= 3.8×105km，将月球视为质点。 解：选地心O为参考点，地球的自转角动量为J地?IC?, 月球对0点的角动量为 J月?m月v月l, 因地-月之间的引力为有心力。故地月系统对0点的角动量守恒，（其质心在 ??地球内，故可认为地心不动）： J地?J月?J地?J月 ?l??Ic??M月v月l?Ic???M月v月??Ic?2M?R?2,l?3..8?108m,G?6.67?10?11m3kg/s2?5? 2则??2M?M月v月M?M月v月?M月,G?M月?G?22?ll?ll??2?2?2?2?????,????T24?3600T?48?3600?22R??l??[l?5MA8M?(????)]2G26.42?10126?10242?12 ?[3.8?10???(1?)] ?1157?102224?360026.67?10 ?4.86?108m?4.86?105km 即地月之间距离增大了0.28倍 4-14 一根质量可忽略的细杆，长度为l，两端各联结一个质量为m的质点，静止地放在光滑的水平桌面上。另一相同质量的质点以速度v0沿45?角与其中一个质点作弹性碰撞，如本题图所示。求碰后杆的角速度。 解： 4-15 质量为M的匀质正方形薄板，边长为L，可自由地绕一铅垂边旋转。一质量为m、速度为v的小球垂直于板面撞在它的对边上。设碰撞是完全弹性的，问碰撞后板和小球将怎样 新 概 念 力 学 习 题 集 第 25 页 运动。 解：把小球和薄板看成一个质点组，对转轴的角动量守恒，设为小球碰撞后的速度，为薄板的角速度，则有： ??mvL?mvL?I??123m?M6vm?1212v,???,v??L? ?mv?mv??I?(动量守恒)?v??223m?ML3m?M?21?I?ML2?3??M?3m,v??0,小球向前运动讨论：?M?3m,v??0,小球不动 ?M?3m,v??0,小球反弹回来三种情况下，薄板匀绕轴向前转动，此题中系统的动量不守恒，因为轴对薄板有做用力 4-16 由三根长l、质量为m的均匀细杆组成一个三角架，求它对通过其中一个顶点且与架平面垂直的轴的转动惯量。 解：OC,OB棒对OZ轴的转动惯量为Ic?IB?IBC??(oA?y)?dy?OA?m???三角架过OZ轴的转动惯量为I?IB?IC?IBC?l2?l2222l2?l21mlBC棒对轴的转动惯量为 3l2152m2ydy?(l?)m?ml2?ml2l4126 1253ml?2?ml2?ml2362 4-17 六小球各重60kg，用长1cm的六根细杆联成正六边形，若杆的质量可忽略，求下述情况的转动惯量。 (1)转轴通过中心与平面垂直；(2)转轴与对角线重合；(3)转轴通过一顶点与平面垂直。 (1).I?6ml2?6?60?10?3?10?4?3.6?10?5kgm2解：(2)I?4m(32l)?3ml2?1.8?10?5kgm2 239(3)I?2ml2?2m(l2?l2)?m(2l)2?12ml2?7.2?10?5kgm244 4-18 如本题图，钟摆可绕O轴转动。设细杆长l，质量为m，圆盘半径为R，质量为M．求 (1) 对O轴的转动惯量；(2)质心G的位置和对它的转动惯量。 解：(1)I?(2)l1?121ml?MR2?M(l?R)2 32?R)lml/2?M(l?R)ml?2m(l?R)?l2??2m?M2(M?m)11mMl?ml2?MR2?(R?)2122M?m2l[m?M(l?R)]2112?ml2?MR2?32m?Mmlml(?R),l2?(M?m2M?m2MR?ml/2rc?l?(l1?R)?l??M?m1122Ic?ml2?ml2?MR2?Ml11222或Ic?I?(M?m)rc1(上两式的IC是相等的，例如，取一特征值来验证：M?2m,R?l?Ic?0.45ml2) 5新 概 念 力 学 习 题 集 第 26 页 习题4-18 习题4-19 4-19 在质量为M、半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，孔心在半径的中点。求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。 ?112R22MR?I余?2(mr?m)?1r2r4?2242?I余?MR(1?2?24) 解：?2RRMr22?m??rr?M()?R?R2? 4-20 一电机在达到20r/s的转速时关闭电源，若令它仅在摩擦力矩的作用下减速，需时240s才停下来。若加上阻滞力500N?m，则在40s内即可停止。试计算该电机的转动惯量。 解：设摩擦力矩的大小为M摩，?0?20周/S?40?rad/s,t1?240s,t2?40s ??M摩t1?I(0??0)500t2500?40?M???100Nm?摩?(M摩?500)t2?I(0??0)t1?t2240?40 ? M摩t1100?240I???191kgm2?040? 4-21 一磨轮直径0.10m，质量25kg，以50r/s的转速转动。用工具以200N的正压力作用在轮边上，使它在10s内停止。求工具与磨轮之间的摩擦系数。 ??Mr(t?0)?Ic(0??0)?12?mR?025?0.05?100??Ic?mR?????0.098 解：?22Nt2?200?10??0?50?2??100?rad/s???Mr?frR,fr??N?,N??200N 4-22 飞轮质量1000g，直径1.0m，转速100r/min。现要求在5.0s内制动，求制动力F．假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数?=0.50，飞轮质量全部分布在外缘上，尺寸如本题图所示。 ??M(t?0)?ILc(0??0)?M??N?R,r?0.5m,??0.5,t?5s10?1?0.5??mR?0?3?2.09N?N????Ic?mR2,m?1kg?t0.5?5解：? ???100?2??10?md/s0?603?0.5?2.09对O?点的力矩平衡：N??F?1.25?F??0.836N.1.25 4-23 发电机的轮A由蒸汽机的轮B通过皮带带动。两轮半径RA=30cm，RB=75cm．当蒸汽机开动后，其角加速度?B=0.8?rad/s2，设轮与皮带之间没有滑动。求：(1)经过多少秒后发电机的转速达到vA=600r/min？(2)当蒸汽机停止工作后—分钟内发电机转速减到300r/min，求其角加速度。 (1)两轮在切点（C，0）的线向速度一样?v??BRB??ARA解： ? RA?A3020?600?2???20?rad/s?t?????10s??A?nA?2??60RB?B700.8?????B??Bt.(?B0?0)新 概 念 力 学 习 题 集 第 27 页 1(2)?A0?600转/分?20?rad/s,?A?300转/分??A0?10?rad/s2???A010??20?1?A?A????rad/s2??0.17?rad/s2t?606 RA30RA30?B0??A0??20??8?rrad/s,?B??A0??10??4?rrad/sRB75RB75?B??B??B0t??4??8?1???rrad/s2??0.067?rrad/sw26015 习题4-23 习题4-24 4-24 电动机通过皮带驱动一厚度均匀的轮子，该轮质量为10kg，半径为10cm．设电动机上的驱动轮半径为2cm，能传送5N?m的转矩而不打滑。(1)把大轮加速到100r/min需要多长时间？(2)若皮带与轮子之间的摩擦系数为0.3，轮子两旁皮带中的张力各多少？(设皮带与轮子的接触面为半个圆周) 解：（1）??100?2?10??rad/s 603?Mt?Ic(??0)110?2?10?0.1??I?1?23?0.105s ?t?c?2?Ic?mR2M5???m?10kg,R?0.1m?T1?T2?TM5(2)? T1?T2?T???83.3N 2?R2?0.3?0.1??(T1?T2)R?M 4-25 在阶梯状的圆柱形滑轮上朝相反的方向绕上两根轻绳，绳端各挂物体m1和m2，已知滑轮的转动惯量为IC，绳不打滑，求两边物体的加速度和绳中张力。 ?m1g?T1?m1G1?T?mg?mG(m1R?m2r)R(m1R?m2r)r?2222?a?g a?a?g?1212222T1R?T2r?Ic?Ic?m1R?m2rIc?m1R?m2r解：? ?a?R?,a?r?2?1I?m2r(r?R)Ic?m1r(r?R)T1?cmg T?m2g12Ic?m1R2?m2r2Ic?m1R2?m2r2 4-26 一细棒两端装有质量相同的质点A和B，可绕水平轴O自由摆动，已知参量见图。求小幅摆动的周期和等值摆长。 rc?l2?l2?l2l2?l12222?,m??2m I?ml1?m2l2?m(l1?l2)2222l?l2I解：小幅摆动的周期T?2??2?1m?grcg(l2?l1)l?l22lI等值摆长l0??1?l1?l2?1?l1?l2m?r0l2?l1l2?l1222 4-27 如本题图，复摆周期原为T1=0.500s，在O轴下l=10cm处(联线过质心C)加质量m=50.0g后，周期变为T2=0.600s，求复摆对O轴原来的转动惯量。 新 概 念 力 学 习 题 集 第 28 页 ??I?I??I?ml2T?2??1?Mgrcm(l?rc) ?ml??解：? ??rc??m?Mm?MI??T?2???Mrc?ml?2??(M?m)grr?r??r?c?ccc?m?M??I?T1222T2?T1ml(l?T224?2g) 0.520.62?3?2?2??50?10?10?10?(10?10??9.8)?1.21?10?4kgm2?1.21?103g?cm22220.6?0.54?习题4-25 习题4-26 习题4-27 4-28 1.00m的长杆悬于一端，摆动周期为T0，在离悬点为h的地方加一同等质量后，周期变为T．(1)求h=0.50m和1.00m时的周期比T/T0；(2)是否存在某一h值，使T/T0=1？ 解：l?1m,rc?11I2ll, I?ml2 T0?2??2? 23mgrc3gT?2?I?2mgrc?,I??I?mh2?12ml?mh231h?lh?rch?rc?2?l?2h?? rc?rc?222412ml?mh2l?3h2T3?T?2??2? ?l?2h3(l?2h)gT02mg4T1?3?0.52(1)h?0.5m时，??0.935?T01?2?1?0.5T1?3?1?1.155? h?1m时，?T01?2?1?1(2)当4378 l?3h2l?2lh T22?1时，?l2?3h2?l2?2lh?h1?0,或h2?l??1?0.667mT033即存在一h值（0.667m），使T/T0?1 4-29 半径为r的小球沿斜面滚入半径为R的竖直环形轨道里。求小球到最高点时至少需要具备多大的速度才不致脱轨。若小球在轨道上只滚不滑，需要在斜面上多高处自由释放，它才能获得此速度？ 解： N?Mv高2R?r?mg?0?v高?g(R?r) 11?22mgh?mg(2R?r)?mv?I?c高?1?22?h?(27R?17r) ?210?I?mr2,v?r??g(R?r)c高?5? 4-30 如本题图所示为麦克斯韦滚摆，已知转盘质量为m，对盘轴的转动惯量为IC，盘轴直径为2r，求下降时的加速度和每根绳的张力。 新 概 念 力 学 习 题 集 第 29 页 ?mg?2T?macIcmr2??ac?g T?mg 解：?ac?r?22Ic?mr2(Ic?mr)?2T?r?I?c? 4-31 一质量为m、半径为R的圆筒垂直于行驶方向横躺在载重汽车的粗糙地板上，其间摩擦系数为?．若汽车以匀加速度a起动，问：(1)a满足什么条件时圆筒作无滑滚动？(2)此时圆筒质心的加速度和角加速度为何？ 解：（1）以地面为参照系 ?f?m(a?ac),?Rf?I?1a?c?f?ma??N??mg?a?2?g或???222g?Ic?mR?a?R??c ac是圆筒相对车的加速度(2)ac?a11a?a,圆筒质心对地面的加速度ac?a?ac?a ??c?22R2R 4-32 如本题图，质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均停止转动。设两轮的间距为L，与地面间的摩擦系数为?，汽车质心离地面的高度为h，与前轮轴的水平距离为l．求前后轮对地面的压力。 ?N1?N2?mgL?l??h?N?mg?Nl?N(L?l)?(f?f)l1??1?2122L???解：f??N 1?1?N?l??hmg2??L?f??N2?2N1,N2亦即前后轮对地面的压力。 4-33 足球质量为m，半径为R，在地面上作无滑滚动，球心速度为v0．球与光滑墙壁作完全弹性碰撞后怎样运动？ 设足球原来转速为?0，v0?R?0.对A点的角速度动量守恒，故碰后足球??解：的角速度仍为?，因墙的质量》m，故碰后球的质心为v??v.设此时为 00t?0,vp0?v0?R?0?2v0足球一边向前滑动，一边倒着转动。f???mgdvc???mg?ma?m?vc?v0??gtc???dt???3?g ???0?t???mgR?Id??2mR2d??2R?c?dt3dt?新 概 念 力 学 习 题 集 第 30 页 2v0，当t?t1时，球还时倒转；t?t1时，??0，3?g21vc?v0?v0,vp?R??vc?v0,球不转，只是滑动，t?t1s时，??0，在摩擦力矩作用下33，足球按顺时转动。讨论（1）记t1?4v3?g（2）vp?0,即R(?0?t2)?(v0??gt2)?0,亦即t2?0时，球只滚不滑，此时，2R5?gv11vc?v0??gt2?v0,???0???0?0,若不计滚动摩擦，此后vc,?保持不变。5R5v1（3）令t3?0,此时,vc?0,????0,这种情况不会出现，这是因为t3?t2,在t?t3?g2 前后，足球已是纯滚动了。 4-34 若在上题中滚动着撞墙的球是个非弹性球，墙面粗糙，碰撞后球会怎样运动？它会向上滚吗？能滚多高？ 解：设球心原来速度为v0（向右），质量为m，墙体质量为m?，球碰撞后速度为 ??m?em??vc?v0(v0?R?0)m?m? ??m?当e?时，vc?0,球会向右运动（一边滑动，一边倒着转动），分析m?方法类似上题（4?33）??m?当e?时，vc?0,球不会返回，它会在摩擦力f的力矩作用下向上滚动，m?设滚上的高度为hc,mghc?v1121222Ic?0?mR2?0?mv0?hc?022333g2 球碰后对A点的角动量守恒，故角速度仍为?0 4-35 一半径为r、质量为m的匀质小球，在铅直面内半径为R的半圆轨道上自静止无滑滚下。求小球到达最低点处质心的速率、角速度，以及它作用于导轨的正压力。 11?22mg(R?r)?mv?I?c低低?22?221010??v底?g(R?r),或v低?gh?Ic?mr577??v低?r?低??解：??110g(R?r),或??110gR 由N?mg?mv低?N?17mg 低低r7r7R?r717小球作用于最低点的轨迹的正`压力为N???N?mg7 4-36 一圆球静止地放在粗糙的水平板上，用力抽出此板，球会怎样运动？ 解：设平板的加速度为a，球心相对于平板的加速度为ac先考虑只滚不滑的情况 2新 概 念 力 学 习 题 集 第 31 页 ?f?m(a?ac),ac?R?52ma2a??a?a,f???mg????2c777gRf?Ic??mR2??5?在此条件下，用力将平板抽出时，球一边向前运动（对地的加速度为??a?ac?ac 22aa）,一边绕质心倒着转动，若??,则球只会滑动，没有滚动。77g 4-37 (1)沿水平方向击台球时，应在球心上方多高处击球才能保证球开始无滑滚动? (2)若台球与桌面间的摩擦系数为?，试分析朝着中心击球的后果。 ?F?f?mac?Fh?fR?I?c?15hR7?mg?（1）?f?F(2?)??mg,解法：h?(2?) 解：?227R5F?Ic?5mR???ac?R?这是在球心上高为h处击球，又使球是无滑动的条件。考虑到?可以很小，若在h?击球，肯定能保证台球一开始就做无滑滚动。 2F2F当h?0,无滑动的要求给出f???mg???77mg (2) 当f??mg时，台球只有滑动，没有滚动，此时a?F??mg cm2F2F或??时，f???mg,则先出现的是滑动。7mg7 4-38 一滑雪者站在30?的雪坡上享受着山中的新鲜空气，突然看到一个巨大的雪球在100m外向他滚来并已具有25m/s的速度。他立即以10m/s的初速下滑。设他下滑的加速度已达到最大的可能性，即gsin30?=g/2，他能逃脱吗？ 解：设人滑出s米后的速度为v人， 2R处5v人?v0人?2as?100?gs(a?雪球到达A点的速度为v雪：22111g) (1) s?v0人t?at2?10t?gt2 (2)2241111?2222?mg(s?_100)sin30?mv?I??mv?I?cc0雪0雪雪雪?2222 ? ??I?2mR2,v?R?,v?R?c0雪0雪雪雪?5?5222?v雪?1325?gs(3) 如果雪球碰上滑雪者，则v雪?v人?s?437.5m 7带入（2）式得t?11.48s?12秒钟后，雪球会碰到滑雪者，人不能逃脱。 4-39 如本题图，一高为b、长为a的匀质木箱，放在倾角为?的斜面上，两者之间的摩擦系数为?．逐渐加大?，木箱何时倾倒，或下滑？ 解：当木箱刚好可以翻倒时，N=0， f=0,但对0点的力矩 新 概 念 力 学 习 题 集 第 32 页 baa?mgcos???0???arctg??1 (1)22b ?mgsin???N?ma?若木箱不能翻倒只能滑动，此时有?N?mgcos??0???arctg???2 (2)?a?0?现在讨论翻倒或滑动的次序。bb?当??时，?1??2，则?在到达?1?arctg时发生翻倒。aa bb?当??时，?1??2，则?在到达?2?arctg时发生滑动。aabb?当??时，?1??2，则?在到达?1??2?arctg??arctg时滑动和翻倒同时发生。aa 习题4-39 习题4-40 习题4-41 4-40 本题图中墙壁和水平栏杆都是光滑的，细杆斜靠在其间。在什么角度?下细杆才能平衡？ 解；N2?sin??N1 N2cos??mg mgsin??l?N?BE?mg(?AB)cos?1?2?d?Rsin?l??3BE?ABsin?,AB??cos??Rsin??d(0???) ?cos?22??l?2?AB?在此条件下，细杆能平衡 4-41 倾角为?的斜面上放置一个质量为m1、半径为R的圆柱体。有一细绳绕在此圆柱体的边缘上，并跨过滑轮与质量为m2的重物相连，如本题图所示。圆柱体与斜面的摩擦系数为?，?角满足什么条件时，m1和m2能够平衡？在什么情况下圆柱会下滚? 2m2?T?m2g?0?sin???fR?TR?0?m1????或tg?2??N?mgcos??0m1??cos??2???m1??f??N解：这时，m1与m2平衡。 当圆拄下滚时，（f??N）?T?m2g?m2a2?a?R??v?c,v?c?acR?2?2(m1sin??2m2)2m2?g?0?sin??(只滚不滑)?m1gsin??T?f?m1ac?ac?3m?8mm121?12?(f?T)R?mR?1?2? 4-42 题图中示意地表明轮船上悬吊救生艇的装置。救生艇重960kg，为两根吊杆分担。吊杆穿过A环，下端为半球形，放在止推轴承B内。求吊杆在A、B处所受的力。 新 概 念 力 学 习 题 集 第 33 页 ?NBcos??NA?Nsin??mgl2.4?B?NA?1mg??960?9.8?12544N?Nl?mgll1.812?A2解：? l?2.4m,l?1.8m,m?960kg2?1NB?l1?l2l222mg?2.42?1.82?960?9.8?15680N?NA1.84-43 两条质量为m、长度为l的细棒，用一无摩擦的铰链连结成人字形，支撑于一光滑的平面上。开始时，两棒与地面的夹角为30?，问细棒滑倒时，铰链碰地的速度多大。 ll1211??2mgsin30?mgcos??v?I? v?l?sin?ccc??22222?112I?ml v?v?l?sin??vc?l?sin? 解：?c上链?122?当铰链落地时，???2，?v链?3gl2 4-44 设思考题4-20中轮子的质量为m，绕质心的转动惯量为IC，角速度为?，质心到轴端系绳处的距离为l．求轮子进动的角速度?和绳子与铅垂线所成的角度?． 解：在重力矩mgl（对0?点）的作用下，轮子及轴绕直线00?旋转，称为进动，其角速度为 ?Tcos??mgMmgl??? 又? 2Ic?Ic??m(l?Lsin?)??Tsin?Ic?2?绳子与铅垂线所成的夹角?由下述超越方程给出：Lsin??l?22tg?mgl 2 第六章 6-1 一物体沿x轴作简谐振动，振幅为12.0cm，周期为2.0s，在t=0时物体位于6.0cm处且向正x方向运动。求(1)初相位；(2)t=0.5s时，物体的位置、速度和加速度；(3)在x=-0.6cm处且向负x方向运动时，物体的速度和加速度。 解：（1）?(t??) x(t)?Acos(?t??0) A?12cm T?2s ??2?/T??.rads?x(t)?12cos0 当t?0时， x(0)?6?cos??01?5?? 或? , ??2???023335??)或x(t)?12sin(? t?) 36..5?5?) a(t)?v(t)??12?2cos(?t?) （2） v(t)?x(t)??12?sin(?t?33?5? t?0.5时，x(0.5)?12cos(?)?63?10.4cm 23?5? v(0.5)??12?sin(?)??6???18.8cm s23?5?2 a(0.5)??12?cos(?)??63?2??102.6cm2 s23x(t)?12cos?( t?新 概 念 力 学 习 题 集 第 34 页 5?5?12?)?cos(?t?)???cos(2??)?t?1s 33235? ? v(1)??12?sin(??)??63???32.6cm s35? a(1)??12?2cos(??)?6?2?59.2cm2 s3(3) ?6?12cos(?t? 6-2 一简谐振动为x=cos(?t+?)，试作出初相位?分别为0、?/3、?/2、-?/3时的x-t图。 解：当??0时,x?cos?t 1)?cos?t' t?t'? 333??1 当??时, x?cos(?t?)?cos?t' t?t'?或x??sin?t 222??1 当???时, x?cos(?t?)?cos?t' t?t'? 333 当??时, x?cos(?t? 6-3 三个频率和振幅都相同的简谐振动s1(t)、s2(t)、s3(t)，设s1(t)的图形如本题图所示，已知s2(t)与s1(t)的相位差?2-?1=2?/3，s3(t)与s1(t)的相位差?3-?1=-2?/3，试在图中作出s2(t)和s3(t)的图形。 解： S1(t)?Acos( S2(t) S3(t)??2?2?t??1)?Acost TT2?2?2?2?T?Acos(t??2)?Acos(t?)?Acost' t?t'? TT3T32?2?2?2?T?Acos(t??3)?Acos(t?)?Acost', t?t'? TT3T3 6-4 一个质量为0.25g的质点作简谐振动，其表达式为s=sin(5t-?/2)，式中s的单位为cm，t的单位为s．求(1)振幅和周期；(2)质点在t=0时所受的作用力；(3)振动的能量。 解: m?0.25g s?6sin(5t??) ??5.rad s2..2（1） A?6.0cm T?2??2??1.26s ?5（2） (3) s??150sin(5t?2) s(0)??150sin(?2)?150cmsE?..?..? f?ms(0)?0.25?150?37.5dyn 11m?2A2??0.25?52?62?112.5erg 22 6-5 如本题图，把液体灌人U形管内，液柱的振荡是简谐运动吗？周期多少？ 解:设进入U形管的液体质量为m,比重为?,管的截面积为s,液体总长L总?2L?2h?l ..?(PB?PA)s??sla, a??y?? 运动方程为?{PA?[PO??g(L?h?y)]}s??s(L?h?y)a ?LP??g(L?h?y)s?Ps??s(L?h?y)aOB?? ??s(2L?2h?l)a??sL总a?ma??my?2?gay 或 y?....2?gsy?o???m2?gs?m2g L总新 概 念 力 学 习 题 集 第 35 页 ?液体的振荡是简谐振动, 周期为 T?2???2?L总2L总m2L?2h?l?2????2? 2?gs2gg2g 6-6 如本题图，劲度系数为k1和k2的两个弹簧与质量为m的物体组成一个振动系统。求系统振动的固有角频率。 解: Ep弹dEp弹111''222?k1x?k2x?(k1?k2)x U0?dx222?k1?k2 x?0 ? T?2?mm2??2?????''k1?k2?U0k1?k2 m 6-7 一竖直弹簧下挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后撒手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置在初始位置下方10.0cm用处。求(1)振动频率；(2)物体在初始位置下方8.0cm处的速率大小；(3)若将一个300g的砝码系在该物体上，系统振动频率就变为原来频率的一半，则原物体的质量为多少? (4)原物体与砝码系在一起时，其新的平衡位置在何处? ....mgk解： mg?kx0 x0? mx?mg?k(x0?x)??kx 即x?x?0 km??x0?Acos?0???0??k? ?? x?Acos(?t??0) ?x(t?0) ? ???0???Asin?A??5cmm?0x0??v(t?0)?147 （1）k??2?g ???g?9.8?100?14rad或 v????2.23Hz s2?2??m555 （2）x?8?5?5cos(14t??)?cos(14t??)?0.6 2 sin(14t??)??1?cos(14t??)??0.8 v(x?3cm)???Asin(14t??)??14?5?(?0.8)?56cm s （3）?n?300g ?'? （4） k1k1??m??m?100g m??m2m3x0'?m??m4mgg??4x0?4?5?20cm kk 6-8 如本题图，一单摆的摆长l=100cm，摆球质量m=10.0g，开始时处在平衡位置。(1)若给小球一个向右的水平冲量F?t=10.0g?cm/s，以刚打击后为t=0时刻，求振动的初相位及振幅；(2)若F?t是向左的，则初相位为多少? 解：（1）I?F?t?m(v0?0)?v0?设 ???0cos?(t??0), ??F?t10.0??1cm sm10g ?''???0?sin(?t??0), v?l?'??l?0?sin(?t??0) l?3????0?????0??0cos?0?2?? 由? ?2v010?3v?v??l??sin?000???0???3.19?10rad?l??1?9.8?? （2）若F?t向左，则初相位为?0? ?2 新 概 念 力 学 习 题 集 第 36 页 6-9 在劲度系数为k的弹簧下悬挂一盘，一质量为m的重物自高度h处落到盘中作完全非弹性碰撞。已知盘子原来静止，质量为M．求盘子振动的振幅和初相位(以碰后为t=0时刻)。 解：考虑最简单的情形，重物原先不被托盘夹住，它从高h处落到盘底时的速度为 vmo?2gh，与托盘发生完全弹性碰撞后的速度为vM?mo?mvmoM?m?m2gh，方 M?m向向下；又：以 xMo?MgmgM?m, xmo?, xM?mo?g kkk..xM?mo 处为坐标原点，方向向下为正。则 (M?m)x?(M?m)g?k(x? ? m及M作简谐振动，圆频率??xM?mo)??kx k, x?Acos(?t??0) M?m?x(t?0)??xmo?Acos?0mg2kh? ?. ?振幅A?1?k(M?m)g???A?sin?0??x(t?0)vM?mo2hk 初相位?0?arctg，在第三象限取值。 (M?m)g 6-10 若单摆的振幅为?0，试证明悬线所受的最大拉力等于mg(1+?02)。 6-10 ?t??0) 则 ????0?sin(?t??0) ??解： 设???0?cos(.g l.2v2s?m?ml? T?mgco?lT?mgcos??ml?02?2sin2(?t??0)?mgcos??ml?02? gsin2(?t??0)l3 ?mg[cos???02??2]?mg(1??02??2)2 6-11 如本题图，把一个周期为T的单摆挂在小车里，车从斜面上无摩擦地滑下，单摆的周期如何改变? 解： mat?ml??ft??mgcos?sin???mgcos?? ..T0gcos?gcos?2?ll ??0 ?? T??2???T0, T0?2?ll?gcos?gcos? 周期变大 6-12 如本题图，将一个匀质圆环用三根等长的细绳对称地吊在一个水平等边三角形的顶点上，绳皆铅直。将环稍微扭动，此扭摆的运动是简谐的吗？其周期为多少？ ???..1mgsin??mg? 3....gg 则：ml???Ft??mg??????0 ?? ll解： [受力分析法] 体系受力（切向力）Ft?3? 故物理的运动是简谐的 周期为T?2???2?l g新 概 念 力 学 习 题 集 第 37 页 11mgl(1?cos?)??2 32mgl令 U?'?mgl?0???0, U?''?mgl?0 ?? 则U有极小值也是最小值，故体系是在??0处是平衡位置，且是稳定的从而 d2U?mglmgml''? T ?2??2? ???U0''gU0ldx2l2 [势能法] Ep?U?3? 6-13 如本题图，质量为M的平板两端用劲度系数均为◇的相同的弹簧连到侧壁上，下垫有一对质量各为m的相同圆柱。将此系统加以左右扰动后，圆柱上下都只滚不滑。这系统作简谐振动吗? 周期是多少? 解： [受力分析法] ?f上?f下?mac?1..ac?r??x?33..11..?2对圆柱：? ?f上?mr??mx, f下??mr???mx (f上?f下）r?Ic?4848?12?I?mrc?2?....3..3对平板：Mx??2kx?2f上??2kx?mx?(M?m)x?2kx?0 44故系统作简谐振动?? [能量分析法] 系统势能Ep?2k 周期是T?2??2??M?3m/4M?3m/4 2k12121kx?kx?(2k)x2 即相当于劲度系数为2k?k'的谐振子 222?.21113Ep?Mx?2(mvc2?Ic?2).2?13?动能相当于谐振子质量为M?m?m' 222?(M?m)x?41.24?vc?r??x?2? ?? ?k'?m'2k2?M?3m/4 T??2? M?3m/4?2k 6-14 本题图中两个相同圆柱体的轴在同一水平面上，且相距2l，，两圆柱体以相同的恒定角速率按图中的转向很快地转动。在圆柱体上放一匀质木板，木板与圆柱体之间的滑动摩擦系数为?，设?为常数。把处在平衡位置的木板略加触动，(1)试证明木板的运动是简谐振动，并确定其固有角频率；(2)若两圆柱体的转动方向都反向，木板是否仍作简谐振动？ 解：（1） 对o1点，Mg(l?x)?2lN2 对o2点，Mg(l?x)?2lN1 ?N1?l?xl?xMg N2?Mg 2l2l..l?xl?x? ?)Mg??Mgx2l2ll..?g?g 即x? x?0 故木板作简谐运动，其固有角频率为 ??ll....??g （2） 两圆柱转动返回时，有 Mx?f2?f1?Mgx 即 x?x?0 ll 木板的运动方程为 Mx?f1?f2??(N1?N2)??( 木板不作简谐振动，而是向右（或向左）滑出。 新 概 念 力 学 习 题 集 第 38 页 6-15 竖直悬挂的弹簧振子，若弹簧本身质量不可忽略，试推导其周期公式： T?2?M?m/3，式中m为弹簧的质量，k为其劲度系数，M为系于其上物体的质量(假k定弹簧的伸长量由上到下与长度成正比地增加)。 解： 弹簧的运动比较复杂，较严格的分析可参见： （1） 罗蔚茵，《力学简明教程》，广州，中山大学出版社，1985，340~346 （2） 钱伯初，美国研究生考题分析（三）——近似处理，大学物理，1983年第3期，第 28页，例1。 本题以文献[2]的近似方法来处理：设弹簧上各点随物体M作同相位振动。M的位移为x （似右图中的平衡位置为原点向下为正）。速度为x ，则弹簧+物体这一系统的势能为： U(x).2112?kx 物体的动能为 Ek物?Mx 22.. 假定弹簧的质量均匀地连续分布，它上面各点的速度均匀地从O点变到x，对弹簧上的y点，其速度即为 v(y)..y?x （设某时刻x一定，与y无关） l0?l0'?x则v(y)平方的平均值为 v2(y)l0?l0'?x1x2?vdy?l0?l0'?x?0(l0?l0'?x)3.2?l0?l0'?x01.2ydy?x 32 ?弹簧的动能Ek弹簧121.2?mv(y)?mx 26 6-16 三个质量为m的质点和三个劲度系数为k的弹簧串联在一起，紧套在光滑的水平圆周上(见本题图)。求此系统简正模(即简正频率和运动方式)。 解： ?d2s1?m2??2ks1?ks2?ks311??a1????2???dt2??r?1?ds2??21??a2??0 ??m2?ks1?2ks2?ks3 si?aicsin(?t??),??m?1?a??dt1??2?2???3??mds3?ks?ks?2ks123?dt2???2 由： 111??(??3)2?0??1?0,?2??3?11??21??23k m 讨论：（1）?1?0?a1?a2?a3 体系各质点给圆心作纯转动 3k?? 要求 AnAp??np n,p?2,3 A(a1,a2,a3)可解得： m1?对?: a?0,a?-a??2123??2 （Ⅰ）??对?3: a1??2,a2?a3??1a1?32??21111对?： a?sin?,a?cos??sin?,a??cos??sin??2123?32626（Ⅱ）? 21111?对?: a?cos?,a2?sin??cos?,a3??sin??cos?31?32626? （2）?2??3?新 概 念 力 学 习 题 集 第 39 页 2?5?5?11? ,,,3636?a1??0.58?a1?0.58???当???时，（Ⅱ）组的值为 对?3:?a2?0.79 对?3??a2?0.21 4?a??0.79?a??0.21?3?3? a1?a2?a3?0 故此时?2,?3的简正模类似：两质点（1 3）?2或(1 2)?3作相对扭动。质点类似图1中的(b)。但此处的三个质点均不同步。当?值取其它值时亦类似。例 ?2?5?35如变为质点(2 3)?1作相对扭动。当?取值?0,,,,?,?,?,2?时，才类似 23623 ?在2，4象限取值，但??图1的模式。 图1与图2的区别是：图1中总有一对质点的运动是同步的，而图2中的三个质点运动永不同步 6-17 阻尼振动起始振幅为3.0cm，经过10s后振幅变为1.0cm．经过多长时间振幅将变为0.30cm？ 解：A(t)?Ae??t?1311310ln10? ??ln?ln3 t?ln??21s 10110ln3/100.3ln3???1lnA1A t?ln A(t)?A(t) 6-18 一音叉的频率为440Hz，从测试仪器测出声强在4.0s内减少到1/5，求音叉的Q值(Q =1/2?，?——阻尼度) 122?c?A 0ss2IA21?2?(t'?t)??t??t'?e?2??t 设Aa?Ae, Ab?Ae, t'?t?4s??t 由：b??(b)?eIa5Aa?1880?ln51 ????0??6.87?103 ?ln5 Q?2?2?2?ln5/82?t8解： ?0???2?v?2??440?880?rad 声强 I? 6-19 一个弹簧振子的质量为5.0kg，振动频率为0.50Hz，已知振幅的对数减缩为0.02，求弹簧的劲度系数k和阻尼因数?． 解： m?5.0kg v0?0.5Hz ?0?2?v0??? ?k?m?2k m （劲度系数） ?5?2?49.3kg ??0.02??T T?2?2?? 22?r?0??s2?49.3Nm ????0???4?22???0.020.02?4?22?0.01/s （阻尼系数） 6-20 弹簧振子的固有频率为2.0Hz，现施以振幅为100dyn谐变力，使发生共振。已知共振时的振幅为5.0cm，求阻力系数?和阻力的幅度。 解： v0?2Hz, ?0?2?v0?4?, F?100dyn, ??2m? 作一近似：设阻尼很小，则 ?02??2??0由Amax?F2m??0??22?F??0 新 概 念 力 学 习 题 集 第 40 页 F10051kg ??1.59g?g?s?s200?sAmax5?4?FF 阻力的幅度F0??vmax?????F?100dyn?10?3N 2m?? ? 阻力系数 ?? 6-21 设有两个同方向同频率的简谐振动x1=Acos(?t+?/4)，x2=3Acos(?t+3?/4)。求合成振动的振幅和初相位。 解：x1?Acos(?t??4) x2?3Acos?(t?A2?(3A)2?2A 3??(t??) ) x?x1?x2?/Acos4 和振动的振幅/A? ??arcsin3A3??7?arcsin? ?和振动的初相位???????1050 2A23412?x?Asin?t?x?Acos?t （2）? ?y?Asin?t?y?Bcos?t 6-22 说明下面两种情形下的垂直振动合成各代表什么运动，并画出轨迹图来。两者有什么区别 (1) ?x2y2解:(1)2?2?1.为一正椭圆. AB??x?Acos?(t?)?? ?即0?????.为顺时针方向旋转的椭圆 ???????2yx2?st?y?Bco??x?Acos?tx2y2?? (2)??,2?2?1,????y??x??,??????0. 2By?Bcos(?t?)A?2? 为逆时针方向旋转的正椭圆 ?t?0, 30?, 45?, 60?, 90?(1) x ?0, ?t?0, 30?, 45?, 60?, 90?2AA,,0223B, B2 A, 23By ?B,,22A3A3A,,A (2) x ?0, , 2222B1B2B, B, 0y ?0,,, 2222 6-23 两支C调音叉，其一是标准的256Hz，另一是待校正的。同时轻敲这两支音叉，在20s内听到10拍。问待校音叉的频率是多少。 解：v标?256Hz,?标?2?v标?512?rad/s,t?20s,n?10拍. T拍?t202?2???2s?? n10?较??标?标??较(1) 设?较??标,则?较??标??较??标?? ?较?256.5Hz ??较????标?513?. v较?2?(2) 设?较??标,则?标??较??标??较?? ??较??较???511?. v较? ?较?255.5Hz 2?新 概 念 力 学 习 题 集 第 41 页 6-24 本题图为相互垂直振动合成的李萨如图形。已知横方向振动的角频率为?，求纵方向振动的角频率。 N横?纵?纵N横????纵?? 解： ?横?NN纵纵4633(a) ?纵???2? (b) ?纵???? (c) ?纵?? 2422463(d) ?纵?? (e) ?纵???3? (f) ?纵???3? 321 6-25 已知平面简谐波在t=0时刻的波形如本题图所示，波朝正x方向传播。 (1)试分别画出t=T/4、T/2、3T/4三时刻的u-x曲线； (2)分别画出x=0、x1、x2、x3四处的u-t曲线。 ?tx?????] T??2?T?2?x2?x? 1) u?x,t?0??ASin 2) u?x,t????ACos 4????T?2?x3T?2?x?? 3) u?x,t????ASin 4) u?x,t???ACos 2??4??????2?t2?t? (2) 1) u?0,t???ASin,x?x1 ,x?0 2) u?x?,t??ACos4TT????2?t3??2?t?? 3) u?x?,t??Sin,x?x2 4) u?x?,t???ACos,x?x3 2?4T????6-25. (1) u(x,t)?Acos[2?? 6-26 本题图为t=0时刻平面简谐波的波形，波朝负x方向传播，波速为v=330m/s。试写出波函数u(x,t)的表达式。 解：u?x,t??ACos[2?(tx?)??0] ??2?0.1?0.2m, A=0.001m T=0.2/330=0.0006s T???2?2?v2??3302?2????3300?rad/s k???10?/m T?0.2?0.2??x?x???????0???ASi?n2???ACo?s2???????/2 ???????2?x u?x,t?0??ACo?s2? 故波函数的表达式为 u?x,t??000C1o[s2?(xx???)?]=0.001Cos(3300?t?10?x?) 0.00060.222 ??0.001Sin(3300?t?10?x)?0.001Sin(3300?t?10?x??) 6-27 设有一维简谐波u(x,t)?2.0?cos2??x??t??，式中x、u的单位为cm，t的单 ?0.01030?位为s．求振幅、波长、频率、波速，以及x=10cm处振动的初相位。 解：u?x,t??2.0Cos[2??x??t?tx???]?ACos[2??????0] ?0.0130??T??新 概 念 力 学 习 题 集 第 42 页 对比之，得 振幅：A=2.0cm 波长：??30cm 频率： v? 波速：c?v??100?30?3000cm/s 当x=10cm时，u?x?10cm,x??2.0Cos?11??100Hz T0.012?4??2?t2??' ?或?,此时的初相位为?0??0.01333?? 6-28 写出振幅为A、频率为v、波速为c、朝正x方向传播的一维简谐波的表达式。 解：??2?v?u?x,t??ACos[??t???x?x??]?ACos[2?v(t?)??0] ?0c?c6-29 频率在20至20×103Hz的弹性波能触发人耳的听觉。设空气里的声速为330m/s，求这 两个频率声波的波长。 解：?1?c330c330?2??16.5m ?2???1.65?10?1.65cm 3v120v220?10 6-30 人眼所能见到的光(可见光)的波长范围是400nm(紫光)到760nm(红光)，求可见光的频率范围(光速c=3×108m/s)。 3?108??7.5?1014Hz 解：对紫光:v1??10?14000?10c3?10814??3.95?10Hz 对红光:v2??10?27600?10c ∴可见光的频率范围为:7.5?10~3.95?10Hz 6-31 一无限长弹簧振子链，所有弹簧的劲度系数皆为k，自然长度为a/2，振子质量m和m′相间。试证明：此链有两支频谱，即对应每个波数k有两个角频率?1(k)和?2(k)，在m>>m’ 1414?1(k)?的情况下有： 2kkasin ( 声频支)m22k ( 光频支)m'~~m、m′的振动同相位，对于高频的光频支，A'??m'A/m，即m、m′的振动反相位，且 ，对于低频的声频支，A'?A，即 ~~?2(k)?与m′相比，m几乎不动。 d2un''''?k(u?u)?k(u?u)?k(u?2u?u解:mn?1) (1) u?1nnu?1u?1n2dtd2un?1''?k(u?u mn?1)?k(un?1?uu)?k(uu?2?2un?1?un) (2) u?2dt2'~j(?t?kxn)~j(?t?2ka)~~ 设 un?u(xn,t)?Ae (3) ?Ae~un?1~'j(?t?kxn?1)~'j(?t?~?u(xn?1,t)?Ae?Ae2nn?1ka)2 (4) 令 ?0?k'2k,?0?',(3)、(4)式代入(1)、(2)得: mm新 概 念 力 学 习 题 集 第 43 页 ka~'ka?22~2222(??2?)A?2?cosA?0 (5)??2? 2?cos0000??22??0??kaka~~'22'2?2?'2cosA?(?2?2?2)A'?0 (6)2?cos ??2?0000?22?111122k22ha22?1(k)?{k(?')?[(?')k?4cos]}mmmm2mm'212111111k2ha?2(k)?{k(?')?[(?')2k2?4cos]}2'mmmm2mm 1(7)(8) 11114m'ka2?1(k)?k[??(?)1?cos2]mm'm'mm211111112m'ka2讨论:当m>>m’时(??) ?k[??(?)(1?cos)]2m'mmm'm'mm21 (9) 22ka ?k(?cos2)2?mm212kkasin(声频率)m211112m'ka?(?)(1?cos2)]2? ?2(k)?k[?mm'm'mm2将(9)式代入(5)(4)式, 得A'?Acos12k(光频率) (10) m'ka,即m、m’的振动同相位, 将(10)式代入(5)(6)式(将222kam'~ka~2?2?k(?cos2)得A??A'cos.即m,m’的振动反相位,与m’相比,m几乎不 m'm2m2~~动(A?0,A'?0) ~~ 6-32 本题图中O处为波源，向左右两边发射振幅为A、角频率?的简谐波，波速为c．BB’为反射面，它到O的距离为5?/4。试在有无半波相位突变的两种情况下，讨论O点两边合成波的性质。 解:d?5?d5?/45?(t??0). . ??2????? ???c u(x?0,t)?Acos4cc2xcx)??0].(以O点为x轴原点). c u?(x,t)?Acos?[(t?)??0] u?(x,t)?Acos?[(t?(1) 无半波相位突变.u'??Acos[?(t?)??0?2??xcdx]?Acos[?(t?)??0??] ccx.是驻波 t (a)O点左边:u?u'??u???2Asin(?t??0)sin?1??3?5?波腹位置:?x?2?x??(n?1)?,n=0,1,2…?x??(n?),即x??,?,?? 22444c?2波节位置:?xxn??,即x?0,?,??. ?2???n?,x?0,1,2??x??c?22新 概 念 力 学 习 题 集 第 44 页 x?)??0]cos(b)O点右边:u?u'??u???2Asin[?(t?c2(2) 有半波相位突变.u'??Acos[?(t?)??0?2?=0 不动. xcdx??]?Acos[?(t?)??0]?u? ccx.是驻波. c (a) O点左边:u?u'??u??2Acos(?t??0)cos?波腹位置:?xxn???2???n?.x??,n?0,1,2?即x?0,?,??? c?22xx1?1??3?5? ?2???(n?),x??(n?),n?0,1,2?即x??,?,?c?2222444x)??0].是一振幅加倍的行波.如设?0?0即c波节位置:? (b)O点右边:u?u'??u??2Acos[?(t?xu?2cos[?(t?)] c 6-33 本题图中所示为某一瞬时入射波的波形，在固定端全反射。试画出此时刻反射波的波形。 解:反射波(向左)在固定端有180°的相位跃变(设振幅无损失).故其波形如右图所示. 6-34 入射简谐波的表达式为u(x,t)?Acos?2?????tx???????，在x=0处的自由端反射，T??4??设振幅无损失，求反射波的表达式。 解:u??u(x,t)?Acos[2?(tx??)?] 因在x=0处的自由端没有相位跃变,故只须将T?4tx?u?的换为-x即可: u反(x,t)?Acos[2?(?)?] T?4?tx???，在x=0处发生反射，反射点为一自由端。求?T?? 6-35 设入射波为u(x,t)?Acos2??(1)反射波的表达式；(2)合成的驻波的表达式，并说明哪里是波腹，哪里是波节。 解:以O点为原点,向右为x轴正向,则 txtxu甲?Acos[2?(?)??甲] u乙?Acos2?[(?)??乙] T?T?v=100Hz,c=200m/s. ??c200??2mAB=20m=10λ v100u甲(x?0,t?0)?A?cos?甲?0 新 概 念 力 学 习 题 集 第 45 页 u乙(x?20,t?0)?Acos(2??u?u甲?u乙?Acos[2?(10????乙)?Acos?乙??A?cos?乙??1,?乙?? txtx?)]?Acos[2?(?)??]T?T? 是驻波. txt ?2Asin2?sin?2Asin2?sin?xT?TAB上不动点即为波节nx?n?,?x?0,1,2,? 即x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20共21个点. 6-36 在同一直线上相向传播的两列同频同幅的波，甲波在A点是波峰时乙波在B点是波谷，A、B两点相距20.0m．已知两波的频率为100Hz，波速为200m/s，求AB联线上静止不动点的位置。 解:??gk?rk3?,c??k?grk ?k?dw1? 群速: vg?dk2dc1?dk211g/k?rk/?(?(g?3rk2?)??g?3rk22?gk??rk 23 令 g/k?rk/?gr?)?0?k?2?k?gr 此时,vg?12g?2gk?2gk?2g?(g?3g)???2?? ???c 32??k?kgk?rk/?kg?gkk? ∴相速在vg=c时有极小值,也是最小值. (cmin?vg|?gr?2(rg?)). 14 6-37 利用表面张力波的色散关系(6.95)式求其群速，并证明相速等于群速时相速最小。 解:(1) 2??x???6,?x?AB?2cm? 波长??12?x?12?2?24cm 波速 c?v??10?24?240cm/s (2)A、B处的波长变为?''???vsT?24?40/10?20cm. B点比A点的相位落后:???2??x2??2??? ?'205 6-38 (1)沿一平面简谐波传播的方向看去，相距2cm的A、B两点中B点相位落后?/6．已知振源的频率为10Hz，求波长与波速。(2)若波源以40cmm/s的速度向着A运动，B点的相位将比A点落后多少? 6-39 两个观察者A和B携带频率均为1000Hz的声源。如果A静止，B以10m/s的速率向A运动，A和B听到的拍频是多少？设声速为340m/s． 新 概 念 力 学 习 题 集 第 46 页 解: v0=1000Hz,c=340m/s. (1) A为观察者:vA=v0=1000Hz.vB?A?c34034v0??1000?v0 c?vs340?1033A听到的拍频为?vA?vB?A?vA?(34?1)?1000?30.3Hz 33或 ??A?2??vA?60.6?rad/s (2) B为观察者:vB=v0=1000Hz.vA?B?c?vD340?1035v0?v0?v0 c34034 B听到的拍频为?vB?vA?B?vB?(35?1)?1000?29.4Hz 34 或??B?2??vB?58.8?rad/s 6-40 一音叉以2.5m/s的速率接近墙壁，观察者在音叉后面听到拍音的频率为3Hz，求音叉振动的频率。已知声速340m/s． 解:v待求,c=340m/s,vs=2.5m/s.v'?ccv,v\?v. c?vsc?vsv\?v'? 2cvvcvcv??2s2??v拍?3c?vsc?vsc?vsc?v340?2.5?v拍??3?204Hz2cvs2?340?2.522s22 ?v? 6-41 装于海底的超声波探测器发出一束频率为3000Hz的超声波，被迎面驶来的潜水艇反射回来。反射波与原来的波合成后，得到频率为以240的拍。求潜水艇的速率。设超声波在海水中的传播速度为1500m/s. 解:v=30000Hz,c=1500m/s,Δv拍=241Hz.v'?c?vcc?vv,v\?v'?v vc?vc?vv\?v??v拍241c?v2vc??1500?6m/s v?v?v??v拍?v?2v??v拍2?30000?241c?vc?v这就是潜水艇的速率. 6-42 求速度为声速的1.5倍的飞行物艏波的马赫角。 解:马赫锥半顶角??arcsin cc?arcsin?41.8? vs1.5c新 概 念 力 学 习 题 集 第 47 页 第七章 万有引力 5 7-1 试由月球绕地球运行的周期(T = 27.3天)和轨道半径(r = 3.85×10km)来确定地球的 质量ME。设轨道为圆形。 这样计算的结果与标准数据比较似乎偏大了一些，为什么？ 4?23解：M?r?6,06?1024 2GT 7-2 在伴星的质量与主星相比不可忽略的条件下，利用圆轨道推导严格的开普勒常量的公式。 r3G解：K?2?(M?m) 2T4? 7-3 我们考虑过月球绕地球的轨道问题，把地心看作一固定点而围绕着它运动。然而实际上 地球和月球是绕着它们的共同质心转动的。如果月球的质量与地球相比可以忽略，一个月要多长？已知地球的质量是月球的81倍。 解：T'?TM?m81m?m?27.3?27.5 M81m 7-4 众所周知，四个内层行星和五个外层行星之间的空隙由小行星带占据,而不是第十个行 星占据。这小行星带延伸范围的轨道半径约为从2.5 AU到3.0 AU．试计算相应的周期范围，用地球年的倍数表示。 解：a1 = 2.5 AU : T1?(a1/a)3/2T?3.95y ; a2 = 3.0AU : T2?(a2/a)3/2T?5.18y . 7-5 已知引力常量G、地球年的长短以及太阳的直径对地球的张角约为0.55°的事实，试计 算太阳的平均密度。 解：??24?33kg/m . ?1.29?1023GT? 7-6 证明在接近一星球表面的圆形轨道中运动的一个粒子的周期只与引力常量G和星球的平 均密度有关。对于平均密度等于水的密度的星球(木星差不多与此情况相应)，推算此周期之值。 4?23r,r?R,及解：由T?GM2M???4?3R, 得 T?33?1?. G?? 4 7-7 已知火星的平均直径为6900 km，地球的平均直径为1.3×10 km， 火星质量约为地球 质量的0.11倍。试求： (1) 火星的平均密度ρM与地球密度ρ (2) 火星表面的g值。 E之比； 2?MMMdE3MMdE???0.74; (2) gM?gE?0.207gE?2.03m/s2 . 解：(1) 32?EMEdMMEdM 7-8 计划放一个处于圆形轨道、 周期为2小时的地球卫星。 (1) 这个卫星必须离地表面多高？ (2) 如果它的轨道处于地球的赤道平面内，而且与地球的转动方向相同，在赤道海平面 的一给定地方能够连续看到这颗卫星的时间有多长？ 新 概 念 力 学 习 题 集 第 48 页 解：(1) h?r?R?3GMT26?R?1.69?104?2m ; (2) t?2arccos(R/r)?2.63?102s. ??7-9 要把一个卫星置于地球的同步圆形轨道上，卫星的动力供应预期能维持10年，如果在 卫星的生存期内向东或向西的最大容许漂移为10°，它的轨道半径的误差限度是多少？ 解：同步卫星圆形轨道的半径 r?3GM?210?4.23?107m , 容许的半径误差为 2r??2?4.23?107?r????3?310?365?24?60?60?214m . 2?24?60?60 7-10 为了研究木星的大气低层中的著名“大红斑”，把一个卫星放置在绕木星的同步圆形轨 道上，这卫星将在木星表面上方多高的地方？ 木星自转的周期为9.6小时，它的质量MJ 约为地球质量的320倍，半径RJ 约为地球半径的11倍。 解：h?r?R木?3GM木T4?2?R木?8.77?107m . 7-11 一质量为M的行星同一个质量为M/10的卫星由互相间的引力吸引使它们保持在一起， 并绕着它们的不动质心在一圆形轨道上转，它们的中心之间的距离是D， (1) 这一轨道运动的周期有多长？ (2) 在总的动能中，卫星所占比例有多少？忽略行星和卫星绕它们自轴的任何自转。 解 ： 2(1) 2T?2?Dr2C10D?2?DGM11GM; (2) mv2/2v210??. 222211Mv1/2?mv2/210v1?v2 7-12 哈雷彗星绕日运动的周期为76年，试估算它的远日点到太阳的距离。 GMST21/31414r?2a?5.38?10（）?2.69?10解：轨道椭圆长轴 a? m , 远日点 m . ?24? 7-13 在卡文迪许实验中(见图7-10)，设M 与 m的中心都在同一圆周上，两个大球分别处 于同一直径的两端，各与近处小球的球心距离为 r = 10.0 cm， 轻杆长l = 50.0 cm， -3 M = 10.0 kg， m = 10.0 g，悬杆的角偏转θ= 3.96×10rad， 悬丝的扭转常量D = 8.34 -8 22 ×10kg·m/s , 求G . Dr2??6.61?10?11m3/kg.s2 . 解：G?Mml 7-14 在可缩回的圆珠笔中弹簧的松弛长度为3 cm，弹簧的劲度系数大概是0.05 N/m． 设 想有两个各为10.000 kg的铅球，放在无摩擦的面上，使得一个这样的弹簧在非压缩状态下嵌入它们的最近两点之间。 3 (1) 这两个球的引力吸引将使弹簧压缩多少？铅的密度约11000 kg/m . (2) 使这个系统在水平面内转动，在什么转动频率下这两个铅球不再压缩弹簧？ 新 概 念 力 学 习 题 集 第 49 页 解：(1) x?GM/k[l0?2( (2) ??23M1/32)]?5.90?10?6m ; 4??GM/(R?l0/2)(2R?l0)?6.23?10?4rad/s . 7-15 将地球内部结构简化为地幔和地核两部分，它们分别具有密度ρM和ρC，二者之间的 24 界面在地表下2900 km深处。试利用总质量M E = 6.0×10kg和转动惯量I E = 0.33 M 2 E R E 的数据求 ρM和ρC. 解：?M?(?0.33RE?rc)ME/4?RE3(RE2?rc2)?4.17?103kg/m3 , 344?c?[ME??(RE3?rc3)?M]/?rc3?12.7?103 kg/m3 . 334?G?CrC?12.3m/s2 352 7-16 利用上题的模型和数据来计算，地球内部何处的重力加速度最大。 解：地幔和地核交界处，重力加速度最大：gc? 7-17 一个不转动的球状行星，没有大气层，质量为M ，半径为R . 从它的表面上发射一质 量为m的粒子，速率等于逃逸速率的3/4．根据总能量和角动量守恒，计算粒子 (a)沿径向发射 (b)沿切向发射所达到的最远距离(从行星的中心算起)。 解：(a) 逃逸速度 v2? (b) ?2GM/R, 按能量守恒，可求得离球心的最大距离为 r = 16 R /7 ; 332GMGMv2???v1, 即此速度大于第一宇宙速度，粒子此情况下已44RR成为卫星，但可求得其离球心的最大距离为 r = 9R / 7 . 7-18 设想有一不转动的球状行星，质量为M，半径为R ，没有大气层。 从这行星的表面 发射一卫星，速率为v0，方向与当地的竖直线成 30°角。 在随后的轨道中，这卫星所达到的离行星中心的最大距离为5R/2. 用能量和角动量守恒原理证明 v0 = 1/2 (5GM/4R). 解：由角动量守恒和能量守恒定律可证 . 7-19 一质量为m的卫星绕着地球(质量为M )在一半径为r的理想圆轨道上运行。 卫星因 爆炸而分裂为相等的两块， 每块的质量为m/2. 刚爆炸后的两碎块的径向速度分量等于v0/2， 其中v0是卫星于爆炸前的轨道速率； 在卫星参考系中两碎块在爆炸的瞬间表现为沿着卫星到地心的连接线分离。 (1) 用G、M、m和r表示出每一碎块的能量和角动量(以地心系为参考系)。 (2) 画一草图说明原来的圆轨道和两碎块的轨道。 作图时，利用卫星椭圆轨道的长轴 与总能量成反比这一事实。 1mMm/23mM解：(1) v12?v22?v02?(v0/2)2?5v02/4;E1?E2??v12?G; ??G22r16r L1?L2?(m/2)v0r?(m/2)GMr. (2) 两碎块均为以圆心为焦点的镜象对称椭圆; 其长半轴为 a??GM(m/2)4?r, 2E13新 概 念 力 学 习 题 集 第 50 页 偏心率为 ??1?2E1L12G2M2(m/2)3?12, 短半轴为b?a2(1??2)?3r. 23 7-20 彗星在近日点的速率比在沿圆形轨道上运行的行星约大几倍？［提示：彗星的轨道非常狭长］ 解：圆轨道上行星的速度为 v0?GM; 彗星在近日点的速度接近逃逸速度, 即 rv近?v逃?2GM ; 故 v近：v0?2. r 7-21 假设SL9彗星与木星的密度一样，试计算它被撕碎的洛希极限在木星表面上空多少千米。 解：按洛希公式，rC?2.45539R(?/?')1/3?2.45539R木; 即撕裂发生在木星上空高 h?rC?R木?(2.45539?1)?7.154?107?1.041?108m = 1.041×105 km 处 . 7-22 试根据图7-61估算SL9彗星碎片与木星相撞时的相对速度。 解：相对速度近似等于木星的逃逸速度，即 V?v木逃? 2GM木R木?2G(320M地)320?v地逃?11.2?5.4?60km/s . (11R地)11第八章 相对论 8-1 一艘空间飞船以0.99c的速率飞经地球上空1000 m高度，向地上的观察者 发出持续2×10-6 s的激光脉冲. 当飞船正好在观察者头顶上垂直于视线飞行时，观察者测得脉冲讯号的持续时间为多少？ 在每一脉冲期间相对于地球飞了多远？ 解：?t??? 8-2 1952年杜宾等人报导，把 π+ 介子加速到相对于实验室的速度为(1- 5)× 10-5 c时，它在自身静止的参考系内的平均寿命为2.5×10-8 s ，它在实验室参考系内的平均寿命为多少？通过的平均距离为多少？ 解：?t?????2.5?10?5s , l = 7.5×103 m. 1?v2/c2?14?10?6s , ?l?v?t?4200m.