解答： 解：依题意，设f（x）=x，则有（）=所以α=，于是f（x）=x．
αα
，即（）=（），
α
由于函数f（x）=x在定义域[0，+∞）内单调递增，所以当x1＜x2时，必有f（x1）＜f（x2）， 从而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②正确； 又因为
，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数
图象，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故＞，所以③正
确．
答案②③ 点评： 本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（Ⅰ）已知曲线C：y=xe+tanα在 x=a的值；
（Ⅱ）已知点P在曲线y=
上，角α为曲线在点P处的切线的倾斜角，求α的取值范
x
处的切线与直线ax﹣y+1=0互相垂直，求实数
围．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用；直线与圆．
分析： （Ⅰ）欲求出实数a，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．再由两直线垂直的条件，从而可得a； （Ⅱ）利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．
xx
解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e+xe， ∵曲线在x=
处的切线与直线ax﹣y+1=0互相垂直，
∴根据导数几何意义得：f′（）=（1+）?=﹣
解得：a=﹣；
（Ⅱ）解：因为y=的导数为
y′=
xx
﹣x
=，
∵e+e≥2∴e+e+2≥4， ∴y′∈[﹣1，0） 即tanα∈[﹣1，0）， ∵0≤α＜π ∴
≤α＜π．
﹣x
=2，
即α的取值范围是[，π）．
点评： 本题主要考查垂直直线的斜率关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线
方程等基础知识．属于基础题．
18．已知函数f（x）=ax+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16． （Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件． 专题： 综合题；探究型；方程思想；转化思想．
32
分析： （Ⅰ）由题设f（x）=ax+bx+c，可得f′（x）=3ax+b，又函数在点x=2处取得极值c﹣16，可得
解此方程组即可得出a，b的值；
3
（II）结合（I）判断出f（x）有极大值，利用f（x）有极大值28建立方程求出参数c的值，进而可求出函数f（x）在[﹣3，3]上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f（x）在[﹣3，3]上的最小值即可．
32
解答： 解：（Ⅰ）由题f（x）=ax+bx+c，可得f′（x）=3ax+b，又函数在点x=2处取得极值c﹣16 ∴
解得a=1，b=﹣12
（II）由（I）知f（x）=x﹣12x+c，f′（x）=3x﹣12=3（x+2）（x﹣2）
2
令f′（x）=3x﹣12=3（x+2）（x﹣2）=0，解得x1=﹣2，x2=2
当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣2，2）上为减函数；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数；
由此可知f（x）在x1=﹣2处取得极大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值f（2）=c﹣16，
由题设条件知16+c=28得，c=12
此时f（﹣3）=9+c=21，f（3）=﹣9+c=3，f（2）=﹣16+c=﹣4
3
2
，即，化简得
因此f（x）在[﹣3，3]上的最小值f（2）=﹣4 点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值及利用导数求函数的极值，解第一小题的关键是理解“函数在点x=2处取得极值c﹣16”，将其转化为x=2处的导数为0与函数值为c﹣16两个等量关系，第二小时解题的关键是根据极大值为28建立方程求出参数c的值．本题考查了转化的思想及方程的思想，计算量大，有一定难度，易因为不能正确转化导致无法下手求解及计算错误导致解题失败，做题时要严谨认真，严防出现在失误．此类题是高考的常考题，平时学习时要足够重视．
19．已知函数f（x）=lnx﹣ax﹣2x（a＜0）
（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
考点： 函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值． 专题： 计算题．
分析： （1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题． 解答： 解：（1）f'（x）=﹣
（x＞0）
2
2
依题意f'（x）≥0 在x＞0时恒成立，即ax+2x﹣1≤0在x＞0恒成立． 则a≤
=在x＞0恒成立，
即a≤[当x=1时，
﹣1]min x＞0
﹣1取最小值﹣1
∴a的取值范围是（﹣∝，﹣1] （2）a=﹣，f（x）=﹣x+b∴设g（x）=
X （0，1） 1 g′（x） + 0 g（x） ↑ 极大值
则g'（x）=
（1，2） 2
﹣ 0 ↓ 极小值
（2，4）
+ ↑
列表：
∴g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣， 又g（4）=2ln2﹣b﹣2
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
则 ，得ln2﹣2＜b≤﹣．
点评： 本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
20．已知函数
（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）当
时，讨论f（x）的单调性；
2
（3）设g（x）=x﹣2x+n．当
时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）
≥g（x2），求实数n的取值范围．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题．
分析： （1）欲求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程只需求出切线斜率k=f′（1），从而求出所求；
（2）先求导函数，然后讨论m的范围，得到导函数的符号，得到函数的单调性；
（3）根据（2）求出对任意x1∈（0，2），f（x1）≥f（1）=，然后根据题意可知存在x2∈[1，2]使g（x）=x﹣2x+n≤，解之即可．
解答： 解：（1）当m=2时，f（x）=lnx﹣2x﹣（x∈（0，+∞）） 因此f（1）=﹣3，f′（x）=﹣2+所以切线方程为y=﹣3 （2）f′（x）=﹣m+
22
，切线斜率k=f′（1）=0
=
令h（x）=﹣mx+x+m﹣1（x∈（0，+∞））
当m=0时，h（x）=x﹣1，令h（x）＞0，x＞1，h（x）＜0，0＜x＜1 ∴f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数 当m≠0时，h（x）=﹣m（x﹣1）[x﹣（﹣1）]，
当m＜0时，﹣1＜0＜1，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数 0＜m≤时，0＜1＜﹣1，f（x）在（0，1），（﹣1，+∞）上是减函数，f（x）在（1，﹣1）上是增函数