第四章 数学学习理论及其教学启示
按照“教与学对应的原理”，数学教学应该建立在学生对数学学习的基础之上，因此对数学教学的认识必然要以数学学习的认识为基础。
数学学习是数学教学过程中的中心问题，也是数学教学认识论的核心概念。（35）
人们关于学习的认识历经了由行为主义到认知主义的过程。（35）
当今认知心理学理论强调学习中相互关联的三个方面：第一，学习是一个知识建构的过程而不是仅仅是知识的记录或吸收；第二，学习依赖于知识，学生必须运用已有知识来建构新知识；第三，学习与产生学习的情境具有高度一致性。（35）
4.1什么是数学学习
“学习”一词既是日常生活中的概念，也是心理学中的核心概念。（35）
关于学习的涵义，不同的心理学派有不同的解释，这其中既有不同学派理论观点的差异，也有由于认识逐步深入而不断发展的因素。（35）
行为主义意义下的学习，是指由练习或经验引起的行为相对持久的变化的过程。（行为主义观的学习） （35）
行为主义意义下的学习，其行为变化的特点有：1）它的要意在于要使学习成为可以观测和测量的概念。2）这种行为上的变化是能够相对持久保持的。3）学习的发生是由经验所引起的，这种变化主要是学习者与环境之间复杂的相互作用而产生的，是后天习得的，不是先天的或生长成熟的结果。（35）
(认知主义观的学习）认知主义观人为：学习是人的倾向或能力的变化，这种变化能够保持但不能单纯归因于生长过程。这也就是把人内部的认知结构的改变确认为学习。（36） “学习”的定义是一个典型的困难问题。（从行为主义和认知主义关于学习的不同定义表明，学习是一个典型的困难问题，从而是一个科学研究的课题。）（36）
人类学习的实质，是人的能力、思想、情感的变化。（36）
行为主义强调对学习研究的客观观察和测量。（36） 认知主义强调学习的本质是内在能力和倾向的变化。（36） 教育情境下的学习可以解释为：按照教育的目的和要求，由经验产生的、比较持久的行为、能力或倾向的变化。（37）
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数学学习
数学学习，可以认为是学生通过获得数学知识经验而引起的持久行为、能力和倾向变化的过程。（37）
数学学习具有一般学习的所有特点，尤其是：以系统掌握数学知识的内容、方法、思想为主，是人类发现基础上的再发现；在教师指导下进行，按照一定的教材和规定的时间进行，为后继学习和社会实践奠定基础。（37）
数学学习具有自身明显的特点，所以，学生在数学学习时：需要提高抽象思维的水平；需要发展逻辑推理能力；需要必要的解题练习。（37）
只有通过由具体到抽象的概括，才能既掌握数学结论的形式，又掌握形式背后的实质。（37）
在数学解题中需要很高的抽象概括能力。（37）
很多学生解题能力不强，是没有很好掌握抽象概括思维方法的结果。（37）
数学证明所采用的最基本、最主要的形式是逻辑推理。（37）
数学学习的基本方法
从学习心理学的角度看，数学学习的基本方法主要有模仿学习、操作学习、创造性学习。（38）
模仿学习就是按照一定的模式去进行学习，它直接依赖于教师的示范。（在数学学习过程中，数学符号的读写、学具的使用、运算步骤的顺序、解题过程的表达、数学方法的运用、学习习惯的养成等都含有模仿的成分。）
模仿是数学学习的基本的方法。（38） 模仿可以是有意的，也可以是无意的。 模仿有两个层次：简单模仿和复杂模仿。
简单模仿是一种机械性模仿，往往不是有意义学习。 复杂模仿一般需要很强的逻辑思维能力 复杂模仿经常伴有“尝试—错误”的过程，（因为学生很少能一次就学会用某个模式去解决数学问题.）（38）
复杂模仿是看出方法与问题两方面实质性的联系以后，根据这些联系对方法加以灵活运用，虽然有模仿的成分，但含有对实质的理解，是在理解实质的基础上模仿。（38）
数学操作学习指可以对数学学习效果产生强化作用的学习行为。（38）
操作学习的主要形式就是练习。（38）（一般地，学生在获得知识的过程中所形成的数学概念、原理和方法，在起始阶段往往不够深刻，这就需要通过练习来强化和加深。经常性的练习，不仅能起
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到巩固知识、保持记忆、减少遗忘的作用，而且对提高技能，培养能力，掌握思维方法也是必不可少的。）
数学创造性学习主要在解决问题过程中进行，其基本模式是：问题情境——转换——寻求解法——求的解答。（39）
转化是创造性学习关键的一步。（即把问题转换成自己的语言和表述，在转换中弄清问题的实质，与已有的概念、原理、方法和问题联系起来，最终把问题转换成易于解决的或者较为熟悉的问题。）（39）创造性学习的特点
创造性学习有两个特点：一是知识技能向新的问题情境迁移；二是在熟悉的问题情境中发现新问题。（39）
数学学习中的再创造，在于能够利用已掌握的数学知识和技能去寻找解决新问题的方法，更重要的在于能够提出和发现新问题。（39）
如果模仿学习和操作学习是解决知与不知，会与不会的问题的话，那么，再创造性学习是解决怎样想，为什么这样想的问题。（39）
实例见教材（39）数学学习的类型
按照学习的性质看，数学学习有两个最基本类型：数学的有意义接受学习和数学的有意义发现学习。（40）
数学的有意义接受学习指的是，学习的全部内容是以定论的形式呈现给学习者。（即把问题的条件、结论以及推导过程都叙述清楚，不需要学生独立发现，但要求他们积极主动地与自己认知结构中已有的相关知识建立非人为和实质性联系，使新旧知识融为一体。）（40）
数学的有意义发现学习指的是，不把学习的主要内容提供给学生，只是提供问题或背景材料，由学生自己独立地发现主要内容。（包括：揭示问题的隐蔽关系，发现结论和推导方法，将所提供的信息经过加工和重新组合，然后与认知结构中的适当知识联系起来。）（41）
数学学习的两个维度，一个维度是数学的有意义学习和数学的机械学习，另一个维度是数学的接受学习和数学的发现学习。（41）（这就是说，接受学习可以是有意义的，也可以是机械的，发现学习也是如此。）
广为流传的一种观点是，接受学习一定是机械的，发现学习必定是有意义的，这种观点其实并无根据。（41）（错误的观点）数学认知结构
认知结构是人们在对客观事物的感知和理解的基础上在头脑里形成的一种心理结构。（它是由个人过去的知识和经验组成，是个体认知活动的产物，是通过学习和认知活动逐步构造起来的。）（42）
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数学认知结构是存在于学生头脑里的数学知识结构与认识结构有机结合而成的心理结构。（数学认知结构含义的界定有不同）（42）
学生头脑里的数学知识结构是课程教材里的数学知识结构和老师的数学知识结构在学生头脑里的反映。（42）
“认知” ，顾名思义，不认不知，有认才有知，认知是知识的高度概括。（42）
学生头脑里的数学认知结构中的一般思维动作主要是：分析与综合、比较与类比、抽象与具体化、概括与专门化、分类与系统化等
学生头脑里的数学认知结构中的数学的特殊思维动作主要是：数学操作性思维动作、方法技巧性思维动作、思想观念性思维动作和策略定向性思维动作。（42）
数学操作性思维动作有：归入概念、推出性质、作出判断、重新理解、模式识别。
方法技巧性思维动作有消元、降次、换元、配方、待定系数、反证、完全归纳等等。
思想观念性思维动作有方程思想、数形结合思想、映射与函数思想、极限思想、随机思想等。（42）
策略定向性思想动作有等价转化、划归、类比、归纳猜想等等。（42）
数学认知结构与数学相关的特征有：数学认知结构具有学生的个性特点且数学认知结构按照数学知识的包摄水平、概括水平，以及抽象度的高低形成阶梯层次；学生的数学认知结构是数学新知识的加工厂，及提供加工的原料，又提供加工的方法；数学认知结构随着认知的不断深入而更加细化和融会贯通。（43）4.2数学学习是有意义学习
学生学习的数学知识是用数学的语言文字符号表示的，数学的语言文字和符号不仅代表客观的事物和现象，而且反映了前人抽象和概括出来的概念和原理。（43）
学生学习数学时，一方面要掌握一整套的数学语言符号体系，另一方面要掌握数学语言符号所代表的事实、概念和原理，其中后者更为重要，他们是数学符号真正的认知内容。
通过数学的语言符号使学生在头脑中获得相应认知内容的学习，就是数学的有意义学习。（43）
数学有意义学习的实质
数学有意义学习的实质是，数学的语言或符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当知识建立非人为的实质性的联系。（43）
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