数学方法的基本点就是概念的明晰性。（无论是数学家研究数学，还是学习者学习数学，其首要任务就是明白其面临问题所涉及的概念，概念不明确一切数学活动都不能进行下去。）（17）
数学方法的抽象性使得数学结论具有普适性、稳定性。 数学的确定性由数学方法的抽象性决定 数学方法的基本点就是概念的明晰性。（无论是数学家研究数学，还是学习者学习数学，其首要任务就是明白其面临问题所涉及的概念，概念不明确一切数学活动都不能进行下去。）（17）
数学方法的抽象性使得数学结论具有普适性、稳定性。（√） 数学的确定性由逻辑方法本身的精确性决定。（18）（√） 在逻辑方法中，推理规则是第一位，而推理规则是人们在长期的历史实践中抽象出来的，其真理性也是由长期的历史实践所证明的。
在逻辑方法中，一切使用的概念在推理中必须服从规则。 由于逻辑方法具有确定的推理规则，一切概念服从规则，这使得逻辑方法本身具有了确定性。，进而使得经由逻辑方法检验而获得真理性的数学有了确定性的保证。（18）
数学的确定性由公理化的结构决定。（18）
一般来说，所有的数学证明都归结为逻辑论证。
数学的公理化本质上反映了数学的内部组织形式，数学公理化发展经历了实质公理系统的第一阶段，形式公理系统的第二阶段，才完成了数学内部组织精确化、完善化的过程。
决定数学理论体系最原始的真值保证，即决定那些不加证明的数学公理的真值性的保证，只能是数学家们亲身工作的实践。（18）
2.3数学活动的探索性特征
数学高度抽象性、确定性和广泛应用性方面的特点，是数学具有区别于其他科学的独特的特点。（19）
数学的探索性特征就是指，在数学活动中要运用一般科学的探索方法：观察、实验、想像、直觉、猜测、验证、反驳。
数学活动有三类：数学研究活动，就是数学发现发明的过程；数学认知活动，即数学学习活动，这是一个再创造的过程；数学实践活动，即用数学解决问题的创造性过程。
数学活动都要经历发现问题，提出假设，验证猜想的阶段，这个阶段就是数学探索活动阶段。
数学探索性表明了探索活动阶段的不确定性。正是这种不确定性，体现了数学活动的创造性。（19）
数学教学中教师把对数运算性质的发现过程作为重点，就把课
9
本上缺失的探索过程弥补出来，也就是常说的“还原数学创造的本来面目”。（21）（这是一个十分典型的数学探索活动，这种情况的创设正是教师创造力之所在。）
所谓数学的探索性活动，就是对数学问题，人们根据自己的经验和知识，运用实验、观察、想像、直觉、猜测、验证和反驳的方法，寻求一种可能性结论的活动。（21）
数学探索性活动的基本特点有：其一，不是运用逻辑推理的论证方法，而是运用合情推理的探索方法；其二，可以获得发现发明的内容；其三，可以寻找解决问题的思路；其四，可以预测可能性结论的正确程度，对其作出合理的修正；其五，其结果只具有“可能性”，必须通过严格的论证才是可靠的、最终的结论。（21）
数学探索性活动的意义在于，它是数学发现发明的方法，是每个人将来进行创造性工作必须应用的方法。（22）
数学探索性活动的关键是提出猜想。（22） 验证是数学探索活动不可缺少的环节。（22） 数学探索性活动需要丰富的想象力。（22）
数学直觉一般是指：对于数学对象事物的结构及其关系的某种直接领悟或者洞察。（22）
数学直觉不包括普通逻辑推理过程，具有非逻辑性、自发性的特点，包含合情推理形式的直接领悟，属于非逻辑的思想活动范畴。（22）
数学直觉的作用至少有两个：辨识性作用和关联性作用。（22）（在数学研究中，或在数学解题中，人们常常要面对几种可能的思路。这时常常是直觉在极短的时间迅速识别，作出抉择。在数学活动中，在原来认为不相同或不相关的几个事物之间，直接察觉到他们的联系或者统一性，从而为猜测提供了依据。）
在数学解题过程中，不少解决问题的方法和途径是通过直觉的关联性作用而发现。（22）
2.4数学的广泛应用性特征
数学提供了特有的思维训练。（23） 中小学的数学课是教你思考。（23）
数学所提供的特有的思维训练有：数学化、抽象化、最优化、符号化、随机化、逻辑分析。（23）
数学提供了科学的表达语言。（23）（数学语言是各种科学的通用语言；数学语言是世界各国家各民族的通用语言。）
10
数学提供了不可思议的应用。（24）
2.5数学的文化价值观
数学作为人类文化及其重要的组成部分，对人类文明发展有着举足轻重的作用，特别是现代文化的发展更表明了数学文化的地位和作用。（25）
数学独特的文化价值有：认识价值（数学是科学的语言、数学是普遍适用的思想方法。）；智力价值（数学是人类智力的创造物，是训练人的智力、提高人的智力水平的最有效的途径。）；精神价值（理性精神、求实精神、创造精神）；美学价值（简洁之美、和谐之美、奇异之美）。
数学语言具有单义性、确定性的特点，数学语言已成为一种通用的理想化的语言。（25）
在数学众多思想方法之中，带有根本性的思想方法的是公理化思想、数学模型方法等。（26）
数学是普遍适用的思想方法。首先，数学的思想方法起着科学示范的作用。其次，数学思想方法为其它科学提供了普遍思想框架。（26）
人的智力的核心是思维能力。（26）
数学学习中的，数学老三大能力是：运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力。（26）
数学学习中的，数学新三大能力是：数学应用能力、数学探索能力和数学阅读能力
11
第三章 数学课程理论及其发展
现在人们都强调用结构的新观点重新认识19世纪的数学，于是各种新的分科犹如雨后春笋般应运而生。（29）
3.1什么是数学课程
“课程”一词按中文的解释，“课”指课业，“程”指进程，课程是“课业及其进程”。它包含了两个方面的含义：教学的科目或内容以及这些科目或内容的教学时间与程序。（29）
“课程”这个词，教育学家们至今无法取得一致的定义。（29） 什么是数学课程？
由于对“课程”概念理解的不同，所以对于“数学课程”的理解而有所区别。（31）
“经验说”.当我们把课程看作一种静态的客体，一种预设的、有目的的安排，看成是旨在使学生获得教育性经验的计划时，相应的数学课程就应定义为：在学校教育环境中，旨在使学生获得促进其全面发展的、具有教育性的数学经验计划。（31）
“内容说”。如果我们把课程看作是一种静态的，为实现学校教学目标而选择的教育内容的总和，那么数学课程就应定义为：为实现数学学科教育目标而选择的数学教育内容的总和。（31）
“过程说”。当我们把课程看作是一种动态的师生共同参与的意义创造的过程时，相应的数学课程可定义为由师生共同参与的建构主体性数学经验的过程，是学生获得数学体验的历程。（31）
总之，由于课程概念的不统一性，决定了我们对数学课程的界定也是有差别的，各有侧重。（31）
3.2数学课程论的研究内容 简单地说，
12