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x∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减， x∈(1，－1)时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)单调递增，
ax∈(－1，＋∞)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减；
a1
③当a<0时，－1<0<1，
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ax∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减， x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增；
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当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
2
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当0 2aa点评 由于f′(x)的分子是一个二次项含参的函数，因此在分类讨论时，首先应按a是否为零，即该函数是否为二次函数来分类，然后当a≠0时，再按根的大小来分类(与例1类似)，另外，应注意参数的范围． 3．按最值来分类 例3 设函数f(x)＝e－e，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围． 解 令g(x)＝f(x)－ax， 则g′(x)＝f′(x)－a＝e＋e－a， 1x－xx由于e＋e＝e＋x≥2(当且仅当x＝0时等号成立)， e所以当a≤2时，g′(x)＝e＋e－a≥2－a≥0， 故g(x)在(0，＋∞)上为增函数． 所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax. 当a>2时，方程g′(x)＝0的根为x1＝ln x－xx－xx－xa－a2－4 2 <0，x2＝ln a＋a2－4 2 >0， 此时，若x∈(0，x2)，则g′(x)<0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数． 所以当x∈(0，x2)时，g(x) 综上所述，满足条件的实数a的取值范围为a≤2. 点评 本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a进行分类讨论． 小结 通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则：(1)要有明确的分类标准；(2)分类要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行．分类讨论的一般步骤：先明 「优质」资料 推荐下载 9 优质资料 推荐下载 确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论. 「优质」资料 推荐下载10 优质资料 推荐下载 7 “极值点类型”大揭密 通过求导，我们能够探索函数极值的情况，根据对多种题型的分析，可从极值的有无和多少进行分类，有的函数仅有唯一极值点，有的函数无极值点，有的却有两个或两个以上的极值点，这些数量的不同从哪里体现出来呢？下面通过三个实例来讨论． 1．破解无极值点类型 例1 若已知函数f(x)＝x＋ax－ax＋m(a>0)在x∈(－1,1)内没有极值点，试求实数a的取值范围． 分析 “没有极值点”即导数方程在区间(－1,1)内无解；在实数集上无解，或在实数集上有解但其根均在区间(－1,1)之外． 解析 由题意，得f′(x)＝3x＋2ax－a， 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－a. 3依题意知，两根不在区间(－1,1)内， 2 2 3 2 2 aa??≥1，则?3??－a≤－1， 所以a≥3，因此a的取值范围为[3，＋∞)． 点评 本题还可以利用补集思想，先求出函数在(－1,1)内有极值点时a的取值范围，再取其补集即可． 2．破解唯一极值点类型 例2 若函数f(x)＝x＋ax＋2x＋b，其中a，b∈R，仅在x＝0处存在极值，则实数a的取值范围是________． 分析 问题中的“仅”即“存在且唯一”的意思，由此可得对应符号语言． 解析 由题意f′(x)＝4x＋3ax＋4x＝x(4x＋3ax＋4)，而已知函数f(x)仅在x＝0处存在极值，这说明方程4x＋3ax＋4＝0要么无解，要么有两个相同实数根，因此它的判别式Δ88882 ＝(3a)－64≤0，解得－≤a≤，即a的取值范围是[－，]． 333388 答案 [－，] 33 点评 对于导函数为三次函数的情形，要充分对三次式进行因式分解，这样便于显现出f′(x)＝0的根的情况． 3．破解多个极值点类型 例3 如果函数f(x)＝ax－bx＋c(a>0)在x＝±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试 「优质」资料 推荐下载 5 3 2 3 2 2 4 3 2 11 优质资料 推荐下载 求a，b，c的值． 分析 本题主要考查利用函数的极值来确定参数的值，解决本题的关键是运用待定系数法求 a，b，c的值． 解 ∵y′＝5ax－3bx，令y′＝0，即5ax－3bx＝0， ∴x(5ax－3b)＝0. ∴x＝0或5ax－3b＝0. ∵x＝±1是极值点， ∴5a(±1)－3b＝0，∴5a＝3b. ∴极值点可能为x＝0，x＝±1. ∵a>0，∴y′＝5ax(x－1)． 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 x y′ y 由上表可知，当x＝－1时，f(x)有极大值， 当x＝1时，f(x)有极小值． －a＋b＋c＝4，?? ∴?a－b＋c＝0，??5a＝3b(－∞，－1) ＋ ↗ －1 0 极大值 (－1,0) － ↘ 0 0 无极值 (0,1) － ↘ 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ ↗ a＝3，?? ??b＝5，??c＝2. 经检验a＝3，b＝5，c＝2符合题意． 点评 对于导函数的零点较多时，要充分利用表格寻找极值点． 8 导数应用中的常见误区 虽然导数确实为我们解决函数问题带来了便利，但如果混淆某些概念，忽视了定理的应用条件，就会得出错误的结论．本文将介绍在解题中出现的几种典型错误，以帮助大家走出误区，加深对概念的理解． 1．误把切点当极值点 例1 已知函数f(x)＝ax＋bx＋c的图象经过点(0,1)，且在x＝1处的切线方程是y＝x－2，求f(x)的解析式． 错解 f′(x)＝4ax＋2bx. 「优质」资料 推荐下载 3 4 2 12