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x3＋2x2＋x＋2x2x＋2＋x＋2
解 ∵f(x)＝＝
x＋2x＋2
＝x＋1(x≠－2)．
∴f′(x)＝(x＋1)′＝2x(x≠－2)． 3．无理函数化有理函数
1＋x1－x例3 求函数y＝＋的导数．
1－x1＋x分析 直接利用商的求导法则，运算量很大，且容易出错，不妨先通分变“无理”为“有理”． 解 ∵y＝
1＋x＋1－x1－x2
2
2
2
21＋x4＝＝－2，
1－x1－x2
44
∴y′＝(－2)′＝－
1－x1－x′4
2＝1－x1－x.
整体总评 上述三个实例虽然细节处理不相同，但都体现了化归思想这一重要方法，先变形(化简)再解决问题；当然化归是为了更简捷、更方便处理问题，化归不一定要化简到最简单，而是化归到最合适．比如求tan x的导数，tan x本身形式已较简单，但仍然用不上所学知sin x识，因此可考虑将tan x变形为，从而使问题得到解决，总之同学们要明确化归的目的，
cos x是为更容易用所学知识解决问题.
4 导数妙求数列前n项和
数列的求和是数列中特别重要的一个知识块，如我们常用的求和方法有公式求和、分组求和、裂项求和、错位相减求和、倒序相加求和等，但同学们想过用导数法求和吗？下面的例子将为我们展示导数法求和的魅力． 例 已知x≠0，求数列{nxn－1
}的前n项和Sn.
解 对于{anbn}的求和，若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，一般用错位相减法求和，但计算量较大，且很容易出错，此时我们可构造函数fn(x)＝x，则f′n(x)＝nx∴Sn＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x)＝1＋2x＋3x＋…＋nx2
nn－1
.
n－1
＝[f1(x)＋f2(x)＋…＋
fn(x)]′＝(x＋x2＋x3＋…＋xn)′.
讨论如下：(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝
nn＋1
2
；
x1－xn??(2)当x≠1时，Sn＝??′
?1－x?
＝1－
n＋1xn＋nxn＋1
. 21－x感悟 本题用导数方法让人耳目一新，但需要注意的是导数加法法则仅对有限项成立．
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5 利用导数求切线方程
曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点P(x0，
f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切
线方程”的题型做以下归纳． 1．已知切点，求曲线的切线方程
此类题只需求出曲线的导数f′(x)，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线f(x)＝x－3x＋1在点(1，－1)处的切线方程为________________． 解析 由f′(x)＝3x－6x知， 在点(1，－1)处的斜率k＝f′(1)＝－3. 所以切线方程为y－(－1)＝－3(x－1)， 即y＝－3x＋2. 答案 y＝－3x＋2
2．已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2 求过曲线f(x)＝x－2x上的点(1，－1)的切线方程． 解 设P(x0，y0)为切点， 则切线的斜率为f′(x0)＝3x0－2. 所以切线方程为y－y0＝(3x0－2)(x－x0)， 即y－(x0－2x0)＝(3x0－2)·(x－x0)． 又知切线过点(1，－1)，
所以－1－(x0－2x0)＝(3x0－2)(1－x0)． 1解得x0＝1，或x0＝－.
2
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)， 131
或y－(－＋1)＝(－2)·(x＋)，
842即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.
点评 可以发现直线5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以17
(－，)为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点． 28
3．已知过曲线外一点，求切线方程
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3
2
22
323
2
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此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 1
例3 求过点(2,0)且与曲线f(x)＝相切的直线方程．
x解 设P(x0，y0)为切点， 1
则切线的斜率为f′(x0)＝－2. x0
1
所以切线方程为y－y0＝－2(x－x0)，
x0
11
即y－＝－2(x－x0)．
x0x0
又已知切线过点(2,0)，代入上述方程， 11
得－＝－2(2－x0)．
x0x0
1
解得x0＝1，y0＝＝1，即x＋y－2＝0.
x0
点评 点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性． 4．求两条曲线的公切线
例4 已知曲线C1：y＝x与C2：y＝－x＋4x－4，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程． 分析 设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解．
解 设l与C1相切于点P(x1，x1)，与C2相切于点Q(x2，－x2＋4x2－4)．由C1：y＝x，得y′＝2x，
则与C1相切于点P的切线方程为y－x1＝2x1(x－x1)， 即y＝2x1x－x1，由C2：y＝－x＋4x－4，得y′＝－2x＋4， 则与C2相切于点Q的切线方程为
2
2
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2
2
2
2
2
y＝－2(x2－2)x＋x22－4.
因为两切线重合，所以2x1＝－2(x2－2)，且－x1＝x2－4， 解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0. 所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
点评 公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解．
6 导数中的分类讨论思想
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分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？ 1．按导数为零的根的大小来分类
例1 设函数f(x)＝－x(x－a)(x∈R)，其中a∈R且a≠0，求函数f(x)的极大值和极小值． 解 f′(x)＝－(3x－a)(x－a)，令f′(x)＝0， 解得x＝a或x＝.
3
当a>，即a>0，x∈(－∞，)时，f′(x)<0，
33
2
aaaax∈(，a)时，f′(x)>0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，
3
a43
因此，函数f(x)在x＝处取得极小值－a，在x＝a处取得极大值0.
327
当a<，即a<0，x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，
3
aaax∈(a，)时，f′(x)>0，x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，
3
3
a43
因此，函数f(x)在x＝处取得极大值－a，在x＝a处取得极小值0.
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点评 本题对f(x)求导后，得到一个二次函数，令f′(x)＝0得到的两个根是含有参数的，因此应按两个根的大小来分类． 2．按是否为二次函数来分类
1－a1
例2 已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a≤)，讨论f(x)的单调性．
x2
ax2－x＋1－a解 f′(x)＝－，x∈(0，＋∞)，
x2令h(x)＝ax－x＋1－a，x∈(0，＋∞)， (1)当a＝0时，h(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 1
(2)当a≠0时，由f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，
2
a1
①当a＝，即x1＝x2时，h(x)≥0恒成立，
2此时f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 11
②当0
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