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第三章 导数及其应用
1 巧用法则求导数
导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，它们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用．那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？有哪些方法技巧可以应用？下面就以实例进行说明．
1．函数和(或差)的求导法则 (f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x) 例1 求下列函数的导数： 1
(1)f(x)＝＋ln x；
x(2)y＝x－2x＋3. 11
解 (1)f′(x)＝－2＋.
3
xx(2)y′＝(x)′－(2x)′＋3′＝3x－2.
点评 记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键，此外函数和(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导．
2．函数积的求导法则
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 例2 求下列函数的导数： (1)f(x)＝xe；
(2)f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
解 (1)f′(x)＝(xe)′＝(x)′e＋x(e)′ ＝2xe＋xe.
(2)f′(x)＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)·(x＋3)＋x＋3x＋2＝3x＋12x＋11.
点评 特别要注意：[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)．同时要记住结论：若c为常数，则[cf(x)]′＝cf′(x)，由此进一步可以得到[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
2
2
2x2
2x32
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3．函数商的求导法则
?fx?′＝f′xgx－fxg′x(g(x)≠0) ?gx?2
[gx]??
例3 求下列函数的导数： ln x(1)f(x)＝；(2)f(x)＝tan x；
x11(3)f(x)＝＋ .
1－x1＋xln xln x′·x－ln x·x解 (1)f′(x)＝()′＝2
xx′
＝
1－ln x. 2
xsin x(2)f′(x)＝(tan x)′＝()′
cos x＝
sin x′cos x－sin xcos x′1
＝22.
cosxcosx1＋＝1－x1＋x1
1＋x＋1－x1－x21－x2＝， 1－x1＋x2
(3)因为f(x)＝
2－21－x′
所以f′(x)＝()′＝＝2
1－x1－x.
点评 应在求导之前，先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率． 4．分式求导
对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决．
例4 求下列函数的导数：
x2－2x＋3
(1)y＝；
x－1x5＋x7＋x9
(2)y＝.
xx2－2x＋32
解 (1)因为y＝＝x－1＋，
x－1x－1
所以y′＝1＋
0－2×1
＝1－
x－12
2x－1
2
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x5＋x7＋x9234
(2)因为y＝＝x＋x＋x，
x所以y′＝2x＋3x＋4x.
点评 本题启示我们，对于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”.
2 导数计算中的“陷阱”
导数的计算是导数学习中的一个重要方面．但由于同学们不能熟记公式及法则，不能理解公式中的对应量的含义，不能灵活的运用化简及变形技巧而导致各种错误．下面对求导过程中的常见错误进行梳理，希望对同学们有所帮助． 1．未能区分好变量与常量而致错
例1 求f(x)＝a＋cos a的导数(其中a为常数)． 错解 f′(x)＝aln a－sin a.
错因分析 本题错在忽视变量a与常量cos a的不同，常量的导数应为0. 正解 f′(x)＝aln a. 2．忽视导数定义中严谨结构
例2 已知函数f(x)＝2x＋5，求当Δx→0时，Δyf错解一 因为＝
Δx＝
22＋Δx3
3
2
3
xxxxf2－3Δx－f2
趋近于何值．
Δx2＋Δx－f2
Δx3
＋5－2·2＋52
＝24＋12Δx＋2Δx.
Δx2－3Δx－fΔx2→24.
Δyf当Δx→0时，→24.所以
ΔxΔy2
错解二 因为＝24＋12Δx＋2Δx，
ΔxΔy当Δx→0时，→24.
Δx所以
f2－3Δx－f2
→3×24＝72.
Δxfx＋Δx－fx中Δx错因分析 未能把握导数定义中Δy与Δx的严格对应关系，实际上增量Δx分子与分母要一致，这与用哪个字母没关系． Δy2
正解 因为＝24＋12Δx＋2Δx，
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Δy当Δx→0时，→24.
Δx所以
f2－3Δx－f2
→(－3)×24＝－72.
Δx3．混淆函数的导函数与函数在某一点处的导数 2 015－x例3 已知f(x)＝，求f′(2 015)．
x2 015－2 015错解 ∵f(2 015)＝＝0，
2 015∴f′(2 015)＝(0)′＝0.
错因分析 f′(2 015)表示的含义不是在一点处的函数值的导数，应先求f′(x)，再求f′(2 015)．
－ 2 015正解 ∵f′(x)＝， 2
x2 0151∴f′(2 015)＝－. 2＝－
2 0152 015
指点迷津 上述的错误都说明了对导数定义及运算规律不理解，因此大家学习中应注重基础，注重知识生成及本质规律．错误并不可怕，可怕的是舍本逐末，不吸取教训．
3 导数运算的常用技巧
同学们是否有这样的感受，求导公式及运算法则已经背得很熟但在求某些函数的导数时，仍然很困难，甚至无从下手？
虽然掌握了基础知识，但还要掌握一定的方法和技巧，方能彻底解决问题，下面举几例来说明．
1．多项式函数展开处理
例1 求f(x)＝(x－3)(x－2)(x－1)的导数．
分析 若f(x)的表达式为两个因式相乘可以展开求导，也可以不展开而利用积的求导法则，但三个因式相乘最佳方法就是先展开再求导． 解 ∵f(x)＝(x－3)(x－2)(x－1)＝x－6x＋11x－6， ∴f′(x)＝3x－12x＋11. 2．分式函数化整式函数
2
3
2
xx＋12＋2
例2 求函数f(x)＝的导数．
x＋2
分析 如果直接利用积与商的求导法则，运算将很烦琐，不如先看分子、分母有无公因式可约分．
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