所以 Km=0.2×9.8/0.04=49N/m
e???1/e???1
故 ??Rm2M?Rm?1N?s/m mw'?w2'14900???f0?2?0.5?1?1.57Hz (2)系统所具有的能量E?12K?1m?22?49?0.042?0.0392J (3)平均能量E?12K?2?tm0e?2?5.31?10?3J 1-18 试求当力学品质因素Qm?0.5时,质点衰减振动方程的解。假设初始时刻??0,讨论解的结果。
解:系统的振动方程为:
Md2?d?mdt2?Rmdt?Km??0
进一步可转化为,设??Rm2M, md2?d?2dt2?2?dt????0 设:
??ei?t
于是方程可化为:
(??2?2j????20)ej?t?0
解得:??j(???2??20) ? ??e?(???2??02)t
方程一般解可写成:
??e??t(Ae?2??02t?Be??2??02t)
?存在初始条件:
?t?0?0,vt?0?v0
代入方程计算得:
v?v0,试A????tv02???220,B?v02???220
?解的结果为: ??e其中A??v02???220(Ae2?2??0t?Be。
2??2??0t)
,B?v02???2201-19 有一质点振动系统,其固有频率为f1,如果已知外力的频率为f2,试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。
解:质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为 已知 f0?50Hz,f?300Hz
24?2f02(50)2KM?01)(?MM)=2?则 ( ?2?22??2??MM?4?f(300)36KM?,质量抗为?MM
KM11-20 有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg,弹性系数为150N/m的弹簧上,试问: (1) 这系统的固有频率为多少?
(2) 如果系统中引入5kg/s的力阻,则系统的固有频率变为多少? (3) 当外力频率为多少时,该系统质点位移振幅为最大? (4) 相应的速度与加速度共振频率为多少? 解:(1) 考虑弹簧的质量,f0?12?Km1?Mm?Ms/32?150?2.76Hz.
0.4?0.3/3(2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统,但此时系统的等效质量Mm'为Mm+Ms / 3.
??Rm2Mm'?5?5,f'?1?2??2?1002?0.52?2?'?0Mm150?52?2.64Hz.
0.4?0.3/3(3) 品质因素Qm?Rm?16.58?0.5?1.66, 512Qm2位移共振频率:fr?f0'1??2.39Hz.
(4) 速度共振频率:fr?f0'?2.64Hz, 加速度共振频率:fr?Qmf0'1?12Qm2?2.92Hz.
1-21 有一质点振动系统被外力所策动,试证明当系统发生速度共振时,系统每周期的损耗能量与
总的振动能量之比等于
2?。 Qm解:系统每个周期损耗的能量
E?WFT?12RmvaT 212RmvaTRE2 ? ??m,
E1fMm2Mmva2发生速度共振时,f?f0。
?
RmE2?2?。 ????MEf0MmQm0mRm1-22 试证明:(1)质点作强迫振动时,产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率f0;(2)假定f1与f2为在f0两侧,其平均损耗功率比f0下降一半时所对应的两个频率,则有
Qm?f0. f2?f11T12Wdt??Rv (Rm为力阻,va为速度振幅) RmaT?02质点强迫振动时的速度振幅为
证明:(1)平均损耗功率为