质点所受保守力的大小和方向． 解: F(r)??dE(r)dr??nkrn?1
方向与位矢r的方向相反，即指向力心．
2-15 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端 一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势 能之比．
解: 弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时，有
题2-15图
FA?FB?Mg
又 FA?k1?x1
FB?k2?x2
所以静止时两弹簧伸长量之比为
?x1?x2?k2k1
弹性势能之比为
1Ep1Ep2?212k1?x12?k2?x22k2k1
2-16 (1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×10
24
kg，地球中心到月球中心的距离3.84×10m，月球质量7.35×10kg，月
822
球半径1.74×10m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少?
解: (1)设在距月球中心为r处F月引?F地引，由万有引力定律，有
GmMr2月6
?GmM地2?R?r?
经整理，得
r?M月M地?M月R
=
7.35?105.98?10242222?3.48?10
8?7.35?10 ?38.32?106m 则P点处至月球表面的距离为
h?r?r月?(38.32?1.74)?106?3.66?10m
7 (2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为
M月rMEP??G?G地?R?r??
??6.67?10117.35?103.83?10227?6.67?10?11?5.98?10247?38.4?3.83??10
?1.28?106J
2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，m2与
AB＝BC＝h，桌面间的摩擦系数为?，最初m1静止于A点，绳已拉直，现令滑块落下m1,
求它下落到B处时的速率．
解: 取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有
??m2gh?12(m1?m2)v?[m1gh?212k(?l)]
2式中?l为弹簧在A点时比原长的伸长量，则
?l?AC?BC?(2?1)h
联立上述两式，得
v?2?m1??m2?gh?khm1?m22?2?1?2
题2-17图
2-18 如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度v0＝3m·s从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达B点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．
解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有
?frs?1?12kx??mv2?22-1
??mgssin37??
?1k?2mv2?mgssin37??frs12
kx2式中s?4.8?0.2?5m，x?0.2m，再代入有关数据，解得
k?1390N?m
-1
题2-18图
再次运用功能原理，求木块弹回的高度h?
?frs??mgs?sin37o?12kx
2代入有关数据，得 s??1.4m, 则木块弹回高度
h??s?sin37o?0.84m
题2-19图
2-19 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题2-19图所示．质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．
解: m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有
mgR?12mv2?12MV2
又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统则在m脱离M瞬间，水平方向有
mv?MV?0
联立，以上两式，得
v?2MgR?m?M?
2-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直．
证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有
12mv0?22122mv1?2212mv2
2即 v0?v1?v2 ①
题2-20图(a) 题2-20图(b) 又碰撞过程中，动量守恒，即有
???mv0?mv1?mv2
亦即 v0?v1?v2 ②
由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以v0为斜边，
??故知v1与v2是互相垂直的．
???????2-21 一质量为m的质点位于(x1,y1)处，速度为v?vxi?vyj, 质点受到一个沿x负方向
的力f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩． 解: 由题知，质点的位矢为
???r?x1i?y1j
作用在质点上的力为