大学物理课后习题第二章习题2

质点所受保守力的大小和方向. 解: F(r)??dE(r)dr??nkrn?1

方向与位矢r的方向相反,即指向力心.

2-15 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端,挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B,B的下端 一重物C,C的质量为M,如题2-15图.求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势 能之比.

解: 弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时,有

题2-15图

FA?FB?Mg

又 FA?k1?x1

FB?k2?x2

所以静止时两弹簧伸长量之比为

?x1?x2?k2k1

弹性势能之比为

1Ep1Ep2?212k1?x12?k2?x22k2k1

2-16 (1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P,距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×10

24

kg,地球中心到月球中心的距离3.84×10m,月球质量7.35×10kg,月

822

球半径1.74×10m.(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零,那么它在P点的势能为多少?

解: (1)设在距月球中心为r处F月引?F地引,由万有引力定律,有

GmMr2月6

?GmM地2?R?r?

经整理,得

r?M月M地?M月R

=

7.35?105.98?10242222?3.48?10

8?7.35?10 ?38.32?106m 则P点处至月球表面的距离为

h?r?r月?(38.32?1.74)?106?3.66?10m

7 (2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为

M月rMEP??G?G地?R?r??

??6.67?10117.35?103.83?10227?6.67?10?11?5.98?10247?38.4?3.83??10

?1.28?106J

2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如题2-17图所示装置,弹簧的劲度系数为k,自然长度等于水平距离BC,m2与

AB=BC=h,桌面间的摩擦系数为?,最初m1静止于A点,绳已拉直,现令滑块落下m1,

求它下落到B处时的速率.

解: 取B点为重力势能零点,弹簧原长为弹性势能零点,则由功能原理,有

??m2gh?12(m1?m2)v?[m1gh?212k(?l)]

2式中?l为弹簧在A点时比原长的伸长量,则

?l?AC?BC?(2?1)h

联立上述两式,得

v?2?m1??m2?gh?khm1?m22?2?1?2

题2-17图

2-18 如题2-18图所示,一物体质量为2kg,以初速度v0=3m·s从斜面A点处下滑,它与斜面的摩擦力为8N,到达B点后压缩弹簧20cm后停止,然后又被弹回,求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度.

解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点,弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理,有

?frs?1?12kx??mv2?22-1

??mgssin37??

?1k?2mv2?mgssin37??frs12

kx2式中s?4.8?0.2?5m,x?0.2m,再代入有关数据,解得

k?1390N?m

-1

题2-18图

再次运用功能原理,求木块弹回的高度h?

?frs??mgs?sin37o?12kx

2代入有关数据,得 s??1.4m, 则木块弹回高度

h??s?sin37o?0.84m

题2-19图

2-19 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽,如题2-19图所示.质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下,大木块放在光滑水平面上,二者都作无摩擦的运动,而且都从静止开始,求小木块脱离大木块时的速度.

解: m从M上下滑的过程中,机械能守恒,以m,M,地球为系统,以最低点为重力势能零点,则有

mgR?12mv2?12MV2

又下滑过程,动量守恒,以m,M为系统则在m脱离M瞬间,水平方向有

mv?MV?0

联立,以上两式,得

v?2MgR?m?M?

2-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞,试证碰后两小球的运动方向互相垂直.

证: 两小球碰撞过程中,机械能守恒,有

12mv0?22122mv1?2212mv2

2即 v0?v1?v2 ①

题2-20图(a) 题2-20图(b) 又碰撞过程中,动量守恒,即有

???mv0?mv1?mv2

亦即 v0?v1?v2 ②

由②可作出矢量三角形如图(b),又由①式可知三矢量之间满足勾股定理,且以v0为斜边,

??故知v1与v2是互相垂直的.

???????2-21 一质量为m的质点位于(x1,y1)处,速度为v?vxi?vyj, 质点受到一个沿x负方向

的力f的作用,求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩. 解: 由题知,质点的位矢为

???r?x1i?y1j

作用在质点上的力为

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