题2-6图
在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30，则动量的增量为
????p?mv?mv0
o?由矢量图知，动量增量大小为mv0，方向竖直向下．
2-7 一质量为m的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒? 解: 由题知，小球落地时间为0.5s．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为v1?gt?0.5g，小球上跳速度的大小亦为v2?0.5g．设向上为y轴正向，则动量的增量
????p?mv2?mv1方向竖直向上，
?大小 ?p?mv2?(?mv1)?mg
碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．
?2-8 作用在质量为10 kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，
?-1
该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度?6jm·s的物体,回答这两个问题．
解: (1)若物体原来静止，则
??t?4??1?p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?si,沿x轴正向，
00???p1??1?v1??5.6m?si m????1I1??p1?56kg?m?si若物体原来具有?6m?s?1初速，则
t????p0??mv0,p?m(?v0???Fm0?dt)??mv0??t0?Fdt于是
????p2?p?p0??t0??Fdt??p1,
????同理， ?v2??v1,I2?I1
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
I??t0(10?2t)dt?10t?t
2亦即 t?10t?200?0 解得t?10s，(t??20s舍去)
2-9 一质量为m的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为
???r?acos?ti?bsin?tj
2求质点的动量及t＝0 到t?解: 质点的动量为
?2?时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量．
????p?mv?m?(?asin?ti?bcos?tj)
将t?0和t??2?分别代入上式，得
????p1?m?bj,p2??m?ai ,
则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为
??????I??p?p2?p1??m?(ai?bj)
2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为v0m?s，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为
?1F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，
试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
F?(a?bt)?0,得t?ab
(2)子弹所受的冲量
I??t0(a?bt)dt?at?12bt2
将t?ab代入，得
a2I?2b
(3)由动量定理可求得子弹的质量
m?Iv0?a22bv0
2-11 一炮弹质量为m，以速率v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为
v+
2kTm, v-
2Tkm
证明: 设一块为m1，则另一块为m2，
m1?km2及m1?m2?m
于是得 m1?kmk?1,m2?mk?1 ①
又设m1的速度为v1, m2的速度为v2，则有
T?12m1v1?212m2v2?212mv ②
2 mv?m1v1?m2v2 ③ 联立①、③解得
v2?(k?1)v?kv1 ④
将④代入②，并整理得
2Tkm?(v1?v)
2Tkm2于是有 v1?v?将其代入④式，有
v2?v?
2kTm
又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取
v1?v?2kTm,v2?v?2Tkm
证毕．
????????2-12 设F合?7i?6jN．(1) 当一质点从原点运动到r??3i?4j?16km时，求F所作
的功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．
?解: (1)由题知，F合为恒力，
∴ A合?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k)
??21?24??45J (2) P?A?t?450.6?75w
???????(3)由动能定理，?Ek?A??45J
2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．
解: 以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为
题2-13图
f??ky
第一锤外力的功为A1
A1??sf?dy???fdy?s?10kydy?k2 ①
式中f?是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在dt?0时，f???f． 设第二锤外力的功为A2，则同理，有
A2??y21kydy?121ky2?2k2 ②
由题意，有
A2?A1??(2k2mv)??k22k2 ③
即
12ky2?2
所以， y2?于是钉子第二次能进入的深度为
2
?y?y2?y1?2?1?0.414cm
n2-14 设已知一质点(质量为m)在其保守力场中位矢为r点的势能为EP(r)?k/r, 试求