习题二
2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为m1的物体，另一边穿在质量为m2的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a?下滑，求m1，m2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．
解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为a1，其对于m2则为牵连加速度，又知m2对绳子的相对加速度为a?，故m2对地加速度，由图(b)可知，为
a2?a1?a? ①
又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f在数值上等于绳的张力T，由牛顿定律，有
m1g?T?m1a1 ②
T?m2g?m2a2 ③ 联立①、②、③式，得
a1?a2?(m1?m2)g?m2a?m1?m2(m1?m2)g?m1a?m1?m2m1m2(2g?a?)m1?m2
f?T?讨论 (1)若a??0，则a1?a2表示柱体与绳之间无相对滑动．
(2)若a??2g，则T?f?0，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时m1, m2均作自由落体运动．
题2-1图
2-2 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为?）上以初速度v0运动，v0的方向与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取v0方向为X轴，平行斜
?面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.
题2-2图
X方向： Fx?0 x?v0t ① Y方向： Fy?mgsin??may ②
t?0时 y?0 vy?0
y?12gsin?t
2由①、②式消去t，得
y?12v20gsin??x
22-3 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx＝6 N，fy＝-7 N，当t＝0时，x?y?0，vx＝-2 m·s，vy＝0．求 当t＝2 s时质点的 (1)位矢；(2)速度． 解： ax?fxm?616?38m?s?2-1
ay?fym??716m?s?2
(1)
vx?vx0?vy?vy0??202axdt??2?aydt??71638?2??7854m?sm?s?1?1
?0?2??于是质点在2s时的速度
5?7??v??i?j48m?s?1
(2)
?1?1?22r?(v0t?axt)i?aytj22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j
2821613?7???i?jm482-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，t=0时质点的速度为v0，证明(1) t时刻的速度为v＝v0ex＝(
mv0k?(km)t；(2) 由0到t的时间内经过的距离为
mk)；(4)证明当t?mk时速
)［1-e1e?(km)t］；(3)停止运动前经过的距离为v0(度减至v0的
，式中m为质点的质量．
?kvm?dvdt答: (1)∵ a?分离变量，得
dvv即 ?vdvvvv0???kdtv0?mt?kdtm?ktm
0ln?lne
∴ v?v0e(2) x??kmt
?km?vdt??t0v0e?kmtdt?mv0k(1?et)
(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞， 故有 x??mk??0v0e?kmtdt?mv0k
(4)当t=时，其速度为
?km?mkv?v0e?v0e?1?v0e
即速度减至v0的
1e.
2-5 升降机内有两物体，质量分别为m1，m2，且m2＝2m1．用细绳连接，跨过滑轮,绳子
不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a＝
12g上升时，求：(1)
m1和m2相对升降机的加速度．(2)在地面上观察m1，m2的加速度各为多少?
解: 分别以m1,m2为研究对象，其受力图如图(b)所示．
(1)设m2相对滑轮(即升降机)的加速度为a?，则m2对地加速度a2?a??a；因绳不可伸长，故m1对滑轮的加速度亦为a?，又m1在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以m1在水平方向对地加速度亦为a?，由牛顿定律，有
m2g?T?m2(a??a)
T?m1a?
题2-5图
联立，解得a??g方向向下 (2) m2对地加速度为
a2?a??a?g2 方向向上
??'?m1在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即a绝?a相?a牵
g2∴ a1???arctanaa??arctan12a??a22?g2?4?52g
?26.6，左偏上．
o2-6一质量为m的质点以与地的仰角?=30°的初速v0从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量． 解: 依题意作出示意图如题2-6图
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