习题二
2-1 一细绳跨过一定滑轮,绳的一边悬有一质量为m1的物体,另一边穿在质量为m2的圆柱体的竖直细孔中,圆柱可沿绳子滑动.今看到绳子从圆柱细孔中加速上升,柱体相对于绳子以匀加速度a?下滑,求m1,m2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长,滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计).
解:因绳不可伸长,故滑轮两边绳子的加速度均为a1,其对于m2则为牵连加速度,又知m2对绳子的相对加速度为a?,故m2对地加速度,由图(b)可知,为
a2?a1?a? ①
又因绳的质量不计,所以圆柱体受到的摩擦力f在数值上等于绳的张力T,由牛顿定律,有
m1g?T?m1a1 ②
T?m2g?m2a2 ③ 联立①、②、③式,得
a1?a2?(m1?m2)g?m2a?m1?m2(m1?m2)g?m1a?m1?m2m1m2(2g?a?)m1?m2
f?T?讨论 (1)若a??0,则a1?a2表示柱体与绳之间无相对滑动.
(2)若a??2g,则T?f?0,表示柱体与绳之间无任何作用力,此时m1, m2均作自由落体运动.
题2-1图
2-2 一个质量为P的质点,在光滑的固定斜面(倾角为?)上以初速度v0运动,v0的方向与斜面底边的水平线AB平行,如图所示,求这质点的运动轨道.
解: 物体置于斜面上受到重力mg,斜面支持力N.建立坐标:取v0方向为X轴,平行斜
?面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.
题2-2图
X方向: Fx?0 x?v0t ① Y方向: Fy?mgsin??may ②
t?0时 y?0 vy?0
y?12gsin?t
2由①、②式消去t,得
y?12v20gsin??x
22-3 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动,受一恒力作用,力的分量为fx=6 N,fy=-7 N,当t=0时,x?y?0,vx=-2 m·s,vy=0.求 当t=2 s时质点的 (1)位矢;(2)速度. 解: ax?fxm?616?38m?s?2-1
ay?fym??716m?s?2
(1)
vx?vx0?vy?vy0??202axdt??2?aydt??71638?2??7854m?sm?s?1?1
?0?2??于是质点在2s时的速度
5?7??v??i?j48m?s?1
(2)
?1?1?22r?(v0t?axt)i?aytj22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j
2821613?7???i?jm482-4 质点在流体中作直线运动,受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用,t=0时质点的速度为v0,证明(1) t时刻的速度为v=v0ex=(
mv0k?(km)t;(2) 由0到t的时间内经过的距离为
mk);(4)证明当t?mk时速
)[1-e1e?(km)t];(3)停止运动前经过的距离为v0(度减至v0的
,式中m为质点的质量.
?kvm?dvdt答: (1)∵ a?分离变量,得
dvv即 ?vdvvv