4.(2019?浙江绍兴?4分)如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图2是此时的示意图,则图2中水面高度为( )
A.
B.
C.
D.
【分析】设DE=x,则AD=8﹣x,由长方体容器内水的体积得出方程,解方程求出DE,再由勾股定理求出CD,过点C作CF⊥BG于F,由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可. 【解答】解:过点C作CF⊥BG于F,如图所示:
设DE=x,则AD=8﹣x,
根据题意得:(8﹣x+8)×3×3=3×3×6, 解得:x=4, ∴DE=4, ∵∠E=90°, 由勾股定理得:CD=∵∠BCE=∠DCF=90°, ∴∠DCE=∠BCF,
∵∠DEC=∠BFC=90°, ∴△CDE∽△BCF, ∴即∴CF=
, , .
,
故选:A.
【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法;熟练掌握勾股定理,由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键.
5.(2019?浙江衢州?3分)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB的中点,点P从点E出发,沿E→A→D→C移动至终点C,设P点经过的路径长为x,△CPE的面积为y,则下列图象能大致反映y与x函数关系的是( )
A B C
D 【答案】 C
【考点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解:①当点P在AE上时, ∵正方形边长为4,E为AB中点, ∴AE=2,
∵P点经过的路径长为x, ∴PE=x, ∴y=S△CPE=
·PE·BC=
×x×4=2x,
②当点P在AD上时,
∵正方形边长为4,E为AB中点, ∴AE=2,
∵P点经过的路径长为x, ∴AP=x-2,DP=6-x,
∴y=S△CPE=S正方形ABCD-S△BEC-S△APE-S△PDC , =4×4-
×2×4-
×2×(x-2)-
×4×(6-x),
=16-4-x+2-12+2x, =x+2,
③当点P在DC上时,
∵正方形边长为4,E为AB中点, ∴AE=2,
∵P点经过的路径长为x, ∴PD=x-6,PC=10-x, ∴y=S△CPE=
·PC·BC=
×(10-x)×4=-2x+20,
综上所述:y与x的函数表达式为:
y= .
故答案为:C.
【分析】结合题意分情况讨论:①当点P在AE上时,②当点P在AD上时,③当点P在DC上时,根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式.
6. (2019?甘肃?3分)如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,E为BC上一点,把△CDE沿DE折叠,使点C落在AB边上的F处,则CE的长为 .
【分析】设CE=x,则BE=6﹣x由折叠性质可知,EF=CE=x,DF=CD=AB=10,所以
AF=8,BF=AB﹣AF=10﹣8=2,在Rt△BEF中,BE2+BF2=EF2,即(6﹣x)2+22=x2,解
得x=
.
【解答】解:设CE=x,则BE=6﹣x由折叠性质可知,EF=CE=x,DF=CD=AB=10, 在Rt△DAF中,AD=6,DF=10, ∴AF=8,
∴BF=AB﹣AF=10﹣8=2, 在Rt△BEF中,BE+BF=EF, 即(6﹣x)+2=x, 解得x=故答案为
, .
2
2
22
2
2
【点评】本题考查了矩形,熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键. 7.(2019?浙江绍兴?5分)如图,在直线AP上方有一个正方形ABCD,∠PAD=30°,以点B为圆心,AB长为半径作弧,与AP交于点A,M,分别以点A,M为圆心,AM长为半径作弧,两弧交于点E,连结ED,则∠ADE的度数为 15°或45° .
【分析】分点E与正方形ABCD的直线AP的同侧、点E与正方形ABCD的直线AP的两侧两种情况,根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答. 【解答】解:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AE,∠DAE=90°,
∴∠BAM=180°﹣90°﹣30°=60°,AD=AB,
当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时,由题意得,点E与点B重合, ∴∠ADE=45°,
当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时,由题意得,E′A=E′M, ∴△AE′M为等边三角形, ∴∠E′AM=60°,
∴∠DAE′=360°﹣120°﹣90°=150°,
∵AD=AE′,
∴∠ADE′=15°,
故答案为:15°或45°.
【点评】本题考查的是正方形的性质、等边三角形的判定和性质,掌握正方形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.
8.(2019?浙江绍兴?5分)把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块,其中点O为正方形的中心,点E,F分别为AB,AD的中点.用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ(要求这四块纸片不重叠无缝隙),则四边形MNPQ的周长是 6+2或10或8+2 .
【分析】先根据题意画出图形,再根据周长的定义即可求解. 【解答】解:如图所示:
图1的周长为1+2+3+2=6+2; 图2的周长为1+4+1+4=10;
图3的周长为3+5++=8+2.
故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2. 故答案为:6+2或10或8+2. 【点评】考查了平面镶嵌(密铺),关键是得到与此正方形不全等的四边形MNPQ(要求这四块纸片不重叠无缝隙)的各种情况.
9. (2019?湖北十堰?3分)如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E为BC的中点,若OE=3,则菱形的周长为 24 .