v1.0 可编辑可修改 18.．L为上半椭圆圆周??x?acost，取顺时针方向，求?ydx?xdy.
L?y?bsint解：y?Lydx?xdy??[bsint?(?asint)?acost?(bcost)]dt
?0
??ab?dt?0
?ab?.A 0Bx ＃ 19．计算曲面积分
???xdydz?ydzdx?(z2?2z)dxdy，其中?为锥面z?x2?y2与z?1所围的整个曲面的外侧。
解：
由高斯公式，可得
I????(1?1?2z?2)dv??2???zdv
??2?d???d??zdz002?11
???2. ＃
x2y220．计算曲线积分I??(y?e)dx?(3x?e)dy，其中L是椭圆2?2?1的正向。
Labxy解：令P?y?e, Q?3x?e, 则
xy?Q?P??2?x?y。
设L所围成的闭区域为D，则其面积???ab。 从而由格林公式可得
I??L(y?ex)dx?(3x?ey)dy???2dxdy?2??dxdy?2?ab. ＃
DD222 21．设?为柱面x?z?a在使得x?0，y?0的两个卦限内被平面y?0及y?h所截下部分的外侧，试计算I???xyzdxdy。
?解：将?分成?1与?2，其中?1：z?a2?x2（取上侧），?2：z??a2?x2（取下侧），
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v1.0 可编辑可修改 ?1与?2在xoy面上的投影为Dxy:0?x?a,0?y?h，故
??xyzdxdy???xyzdxdy???xyzdxdy??1?2???xya2?x2dxdy???xy(?a2?x2)dxdy
DxyDxy?2??xya?xdxdy?2?dx?xa?x?ydyDxy0022ah
221?a3h2.3 ＃
22．计算曲面积分I???z2dS，其中?是柱面x2?y2?4介于0?z?6的部分。
?解：设?1为?在第一卦限的部分曲面。?1:x?224?y2,?x?y?x?,?0，得
2?y4?y?z??x???x?2dydzdS?1??????dydz?4?y2??y???z?Dyz:0?y?2,0?z?6。
故 ??zdS?4??zdS?4????1Dyz22。?1在
yoz面上的投影域为
2z24?y2dydz?8?214?y20dy?z2dz?288?. ＃
0623. 计算曲面积分I?1222，其中是旋转抛物面z?(x?y)介于(z?x)dydz?zdxdy???2?z?0及z?2之间部分的下侧。
22解：利用高斯公式，取?1:z?2且x?y?4。取上侧，?与?1构成封闭的外侧曲面，所
围的闭域为?，?1对应的Dxy为：x?y?4。
22??(z?2?x)dydz?zdxdy????1??(z?2?x)dydz?zdxdy???(z2?x)dydz?zdxdy?1????(1?1)dv???2dxdy?1
?2???dv???2dxdy?Dxy
?2?d??dr?12rdz?2???220022?22r?8??8??0.10- 10 -
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