v1.0 可编辑可修改 18.．L为上半椭圆圆周??x?acost，取顺时针方向，求?ydx?xdy.
L?y?bsint解：y?Lydx?xdy??[bsint?(?asint)?acost?(bcost)]dt
?0
??ab?dt?0
?ab?.A 0Bx ＃ 19．计算曲面积分
???xdydz?ydzdx?(z2?2z)dxdy，其中?为锥面z?x2?y2与z?1所围的整个曲面的外侧。
解：
由高斯公式，可得
I????(1?1?2z?2)dv??2???zdv
??2?d???d??zdz002?11
???2. ＃
x2y220．计算曲线积分I??(y?e)dx?(3x?e)dy，其中L是椭圆2?2?1的正向。
Labxy解：令P?y?e, Q?3x?e, 则
xy?Q?P??2?x?y。
设L所围成的闭区域为D，则其面积???ab。 从而由格林公式可得
I??L(y?ex)dx?(3x?ey)dy???2dxdy?2??dxdy?2?ab. ＃
DD222 21．设?为柱面x?z?a在使得x?0，y?0的两个卦限内被平面y?0及y?h所截下部分的外侧，试计算I???xyzdxdy。
?解：将?分成?1与?2，其中?1：z?a2?x2（取上侧），?2：z??a2?x2（取下侧），
9- 9 -
v1.0 可编辑可修改 ?1与?2在xoy面上的投影为Dxy:0?x?a,0?y?h，故
??xyzdxdy???xyzdxdy???xyzdxdy??1?2???xya2?x2dxdy???xy(?a2?x2)dxdy
DxyDxy?2??xya?xdxdy?2?dx?xa?x?ydyDxy0022ah
221?a3h2.3 ＃
22．计算曲面积分I???z2dS，其中?是柱面x2?y2?4介于0?z?6的部分。
?解：设?1为?在第一卦限的部分曲面。?1:x?224?y2,?x?y?x?,?0，得
2?y4?y?z??x???x?2dydzdS?1??????dydz?4?y2??y???z?Dyz:0?y?2,0?z?6。
故 ??zdS?4??zdS?4????1Dyz22。?1在
yoz面上的投影域为
2z24?y2dydz?8?214?y20dy?z2dz?288?. ＃
0623. 计算曲面积分I?1222，其中是旋转抛物面z?(x?y)介于(z?x)dydz?zdxdy???2?z?0及z?2之间部分的下侧。
22解：利用高斯公式，取?1:z?2且x?y?4。取上侧，?与?1构成封闭的外侧曲面，所
围的闭域为?，?1对应的Dxy为：x?y?4。
22??(z?2?x)dydz?zdxdy????1??(z?2?x)dydz?zdxdy???(z2?x)dydz?zdxdy?1????(1?1)dv???2dxdy?1
?2???dv???2dxdy?Dxy
?2?d??dr?12rdz?2???220022?22r?8??8??0.10- 10 -
v1.0 可编辑可修改 ＃ 24．计算曲线积分I?C??y?x?dx??y?x?dy，其中C是自点Ax?y22??2,1?沿曲线
y??cos?2x到点B?2,1?的曲线段。
x?yy?x?Px2?2xy?y2?Q22,Q?,??,x?y?0?, 解：P?2?222222x?yx?y?y?x?y??x22取小圆周C?:x?y??,?充分小,取逆时针方向,则由Green公式可得:
?22I?1?2C??(y?x)dx?(y?x)dy??1?xdx??2??2arctan2 ＃ 21?x25．用高斯公式计算
22??1及平面，其中柱面x?ydxdy?y?zxdydzy?:????x???z?0,z?3围成封闭曲面的外侧。
解： P??y?z?x,Q?0,R?x?y
?P?Q?R?y?z,?0,?0 ?x?y?z 原式=
????y?z?dv?????rsin??z?rdrd?dz
??3 =
?2?0d??rdr??rsin??z?dz
001 =
??2?01?9?d???3r2sin??r?dr
02?? =
2?09?9??sin??d? = ???42??2x8z?1dydz?4yzdzdx?y?2z????dxdy，其中?是曲面???26．计算曲面积分I?z?1?x2?y2被平面z?3所截下的部分，取下側。
?x2?y2?2解：补?1:?,取上侧,I??????, 而
z?3????1?1???1??????dv??dz??dxdy???(z?1)dz?2?,其中D(z):x2?y2?z?1
?1D(z)13311- 11 -
v1.0 可编辑可修改 ?????(y?18)dxdy??18??dxdy??36?, I?38? ＃
?1DxyDxy27．计算曲线积分(x?xy)dx?(x?y)dy，其中L是区域0≤x≤1，
l?3220≤y≤1的边界正向。 解：利用Green公式
11?(x?xy)dx?(x?y)dy=??xdxdy?[?xdy]dx?l322D001 ＃ 228、计算曲面积分
?的上侧。 解：
??x2dydz?y2dxdz?z2dxdy，其中∑为平面方程x+y+z=1在第一卦限
1222222[x?y?(1?x?y)]dxdy?xdydz?ydxdz?zdxdy= ????4D?222xdydz?ydzdx?z??????dxdy， ???或由对称性：
而
2??zdxdy??11，故I?。 124或3dS?dxdy?dydz?dzdx可知。 ＃ 29. 计算?L?xcosydx?ysinxdy，其中L是由点A（0，0）到B（π，2π）的直线段。
解：AB的方程y?2x x??0,?? dy?2dx
??xcosydx?ysinxdy????xcos2x?4xsinx?dx?4? ＃
L0?30、设f(x)可微，f(0)?1且曲线积分
2x[2f(x)?e]ydx?f(x)dy与路径无关。求?Lf(x)。
解：
?P?Q?2f?x??e2x,?f??x? ?y?x?P?Q?,有2f?x??e2x?f??x?。令y?f(x)， ?y?x因该项积分与路径无关，所以
得微分方程y??2y?e2x，解得y?e2x?x?c?，（2分）代入条件f(0)?1得C=1
12- 12 -