v1.0 可编辑可修改 0422222222＝＝ [sint(?sint)?cost(cost)]dt(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz???32AB由对称性即得
?(yL2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz?3?(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz?4AB ＃ 7．
??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy，其中?为平面x?y?z?1,x?0,?y?0,
z?0所围立体的表面的外侧。
解：记?1为该表面在XOY平面内的部分，?2为该表面在YOZ平面内的部分，
?3为该表面在XOZ平面内的部分，?4为该表面在平面x?y?z?1内的部分。 ?1的方程为z?0,0?y?1?x,0?x?1，根据定向，我们有
??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy＝??(z?1)dxdy＝??1?10?x?10?y?1?x??1dxdy??
2同理，
1 (x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy????2?21 (x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy????2?3?4的方程为z?1?x?y,0?y?1?x,0?x?1，故
??(z?1)dxdy??40?x?10?y?1?x??(2?x?y)dxdy?2， 3由对称性可得
??(x?1)dydz??4??(y?1)dzdx??42， 3故
??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy?2
?411?3? ＃ 22x?y8．计算曲面积分：??(x?y?z)dydz?[2y?sin(z?x)]dzdx?(3z?e)dxdy，其中
于是所求积分为2?S?S?为曲面x?y?z?1的外侧。
5- 5 -
v1.0 可编辑可修改 解：利用高斯公式，所求积分等于
u?v?w?1???(1?2?3)dxdydz=6811=8 ＃ 329. 计算I=??xydydz?yzdzdx?xzdxdy，其中S为x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立
s体的表面外侧
解：设V是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体 由Gass公式得:
I=???(x?y?z)dxdydz
V =?dx? =
10．计算I=
101?x1?x?ydy?(x?y?z)dz 001 ＃ 8??x3dx?3zy2dy?x2ydz,其中?是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)
的直线段AB 解：直线段AB的方程是
xyz??；化为参数方程得： 321 x=3t, y=2t, z=t, t从1变到0， 所以：
I= ＝
???0x3dx?3zy2dy?x2ydz
[(3t)?3?3t(2t)?2?(3t)?2t]dt＝87?t3dt??13220187 ＃ 4?11. 计算曲线积分I=
?AMO(e?xsiny?2y)dx?(ecosy?2)dy, 其中AMO是由点
xA(a,0)至点O(0, 0) 的上半圆周x2?y2?ax
解：在x轴上连接点O(0, 0), A(a, 0) 将AMO扩充