点处系统的弹性势能为 ；如取O?点为重力势能与弹性势能零点,则P点处地球、重物与弹簧组成的系统的总势能为 .
2. 己知地球半径为R,质量为M.现有一质量为m的物体处在离地面高度2R处,以地球和物体为系统,如取地面的引力势能为零,则系统的引力势能为 ；如取无穷远处的引力势能为零,则系统的引力势能为 .
3. 如图4.4所示, 一半径R=0.5m的圆弧轨道, 一质量为m=2kg的物体从轨道的上端A点下滑, 到达底部B点时的速度为v=2 m/s, 则重力做功为 ,正压力做功为 ,摩擦力做功为 .正压N能否写成N = mg cos? = mg sin? (如图示C点)？答： . 三.计算题
1. 某弹簧不遵守胡克定律，若施力F，则相应伸长为x , 力与伸长x的关系为
F=52.8 x+38.4x2 (SI)
求：(1) 将弹簧从定长 x1 = 0.50m拉伸到定长x2 = 1.00m时，外力所需做的功.
(2) 将弹簧放在水平光滑的桌面上,一端固定,另一端系一个质量为2.17kg的物体,然后将弹簧拉伸到一定长x2 = 1.00m,再将物体由静止释放,求当弹簧回到x1 = 0.50m时,物体的速率.
(3) 此弹簧的弹力是保守力吗?为什么？
2. 如图4.5所示,甲乙两小球质量均为m,甲球系于长为l的细绳一端,另一端固定在O点,并把小球甲拉到与O处于同一水平面的A点. 乙球静止放在O点正下方距O点为l的B点.弧BDC为半径R=l/2的圆弧光滑轨道,圆心为O?.整个装置在同一铅直平面内.当甲球从静止落到B点与乙球作弹性碰撞,并使乙球沿弧BDC滑动,求D点(?=60?)处乙球对轨道的压力.
O? 甲 A m l A m ? C B
? 图4.4
O C D ? 乙 m B 图4.5
练习五 冲量和动量
一.选择题
1. 以下说法正确的是
(A) 大力的冲量一定比小力的冲量大； (B) 小力的冲量有可能比大力的冲量大； (C) 速度大的物体动量一定大； (D) 质量大的物体动量一定大.
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2. 作匀速圆周运动的物体运动一周后回到原处,这一周期内物体 (A) 动量守恒,合外力为零. (B) 动量守恒,合外力不为零.
(C) 动量变化为零,合外力不为零, 合外力的冲量为零. (D) 动量变化为零,合外力为零.
3. 一弹性小球水平抛出,落地后弹性跳起,达到原先的高度时速度的大小与方向与原先的相同,则
(A) 此过程动量守恒,重力与地面弹力的合力为零.
(B) 此过程前后的动量相等,重力的冲量与地面弹力的冲量大小相等,方向相反. (C) 此过程动量守恒,合外力的冲量为零. (D) 此过程前后动量相等,重力的冲量为零.
4. 质量为M的船静止在平静的湖面上,一质量为m的人在船上从船头走到船尾,相对于船的速度为v..如设船的速度为V，则用动量守恒定律列出的方程为
(A) MV+mv = 0. (B) MV = m (v+V). (C) MV = mv. (D) MV+m (v+V) = 0. (E) mv +(M+m)V = 0. (F) mv =(M+m)V.
5. 长为l的轻绳，一端固定在光滑水平面上，另一端系一质量为m的物体.开始时物体在A点，绳子处于松弛状态，物体以速度v0垂直于OA运动，AO长为h.当绳子被拉直后物体作半径为l的圆周运动，如图5.1所示.在绳子被拉直的过程中物体的角动量大小的增量和动量大小的增量分别为
(A) 0, mv0(h/l－1). (B) 0, 0. (C) mv0(l－h ), 0. (D) mv0(l－h, mv0(h/l－1). 二.填空题
1. 力 F = x i +3y2j (S I) 作用于其运动方程为x = 2t (S I) 的作直线运动的物体上, 则0～1s内力F作的功为A= J.
2. 完全相同的甲乙二船静止于水面上,一人从甲船跳到乙船,不计水的阻力, 则甲船的速率v1与乙船的速率 v2相比较有:v1 v2(填?、?、?), 两船的速度方向 .
9
O ? h A v0
l 运动面为水平面 图5.1
3. 一运动员(m=60kg)作立定跳远在平地上可跳5m,今让其站在一小车(M=140kg)上以与地面完全相同的姿势作立定向地下跳远,忽略小车的高度,则他可跳远 m. 三.计算题
1. 一质点作半径为r ,半锥角为?的圆锥摆运动,其质量为m,速度为v0如图5.2所示.若质点从a到b绕行半周,求作用于质点上的重力的冲量I1和张力T的冲量I2.
2. 一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着,绳的下端刚好触到水平桌面,如果把绳的上端放开,绳将落在桌面上,试求在绳下落的过程中,任意时刻作用于桌面的压力.
T mg ? b ? O 图5.2 ? a ?
练习六 力矩 转动惯量 转动定律
一.选择题
1. 以下运动形态不是平动的是 (A) 火车在平直的斜坡上运动； (B) 火车在拐弯时的运动； (C) 活塞在气缸内的运动； (D) 空中缆车的运动. 2. 以下说法正确的是
(A) 合外力为零,合外力矩一定为零； (B) 合外力为零,合外力矩一定不为零； (C) 合外力为零,合外力矩可以不为零； (D) 合外力不为零,合外力矩一定不为零； (E) 合外力不为零,合外力矩一定为零.
3. 有A、B两个半径相同,质量相同的细圆环.A环的质量均匀分布,B环的质量不均匀分布,设它们对过环心的中心轴的转动惯量分别为IA和I B,则有
(A) IA＞IB. (B) IA＜IB.
(C) 无法确定哪个大. (D) IA＝IB.
4. 质量为m, 内外半径分别为R1、R2的均匀宽圆环,求对中心轴的转动惯量.先取宽度为dr以中心轴为轴的细圆环微元,如图6.1所示.宽圆环的质量面密度为
? = m/S =m/[? (R22－R12)],细圆环的面积为dS =2?rdr,得出微元质量dm = ?dS = 2mrdr/( R22－R12),接着要进行的计算是,
(A) I=
dr R1 r R2 O ?mr2dm??R2R12?R122mr3drmR2 . ?222R2?R1?? 10
图6.1
?R22mrdr?222??=mR . dm)R?R222?m??R1R2?R2?21???R22mrdr?22
?(C) I=(?dm)R12???=mR. R1
?R1R2?R2?1m21??222?R22mrdr??R2?R1?m?R2?R1??R2?R1?(D) I=(?dm)?. ?????R1R2?R2???2??m24???21???(B) I=(2?R22mrdr??R2?R1?m?R2?R1??R2?R1???(E) I=(?dm)?. ?????22???mR1R224?R???21???22(F) I=(?dm)R2－(?dm)R1=m(R22－R12) .
22m(G) I=I大圆－I小圆=m(R2－R12)/2.
5. 一质量为m,长为l的均质细杆可在水平桌面上绕杆的一端转动,杆与桌面间的摩擦系数为?,求摩擦力矩M? . 先取微元细杆dr,其质量dm = ?dr = (m/l)dr.它受的摩擦力是df?= ?(dm)g =(?mg/l)dr,再进行以下的计算,
(A) M?=?rdf?=
m2
?l?mgl0rdr=?mgl/2.
(B) M?=(?df?)l/2=(
ll?mgdr)l/3=?mgl/3. (C) M?=(?df?)l/3=(?0ll?mgdr)l=?mgl. (D) M?=(?df?)l=(?0l0?l?mgdr)l/2=?mgl/2.
? ? F=mg F (1)
图6.2
(2)
m 二.填空题
(1)、图(2)中滑轮的角加速度,则?1 ?2(填? ? ?) .
1. 如右上图6.2所示,两个质量和半径都相同的均匀滑轮,轴处无摩擦, ?1和?2分别表示图2. 质量为m的均匀圆盘，半径为r，绕中心轴的转动惯量I1 = ；质量为M,半径为R , 长度为l的均匀圆柱，绕中心轴的转动惯量I2 = . 如果M = m, r = R , 则I1 I2 .
3. 如图6.3所示，半径分别为RA和RB的两轮，同皮带连结，若皮带不打滑，则两轮的角速度?A :?B = ；两轮边缘上A点及B点的线速度vA:vB= ；切向加速度
RA A ? B ? RB a?A: a?B= ；法向加速度anA: anB= .
三.计算题
1. 质量为m的均匀细杆长为l,竖直站立,下面有一绞链,如图6.4,开始时杆静止,因处于不稳平衡,它便倒下,求当它与铅直线成60?角时的角加速度和角速度.
2. 一质量为m,半径为R的均匀圆盘放在粗糙的水平桌面上,圆盘
11
图6.3
l m 60° ? O 图6.4