近世代数习题解答 第二章 48
证明：设G的商群为G / N，其中N是G的一个不变子群。 ?xN∈G / N，x∈G，因为G是循环群，则可设G＝(a)，那么
n
x可表示成a，从而有
nn
xN＝aN＝(aN)。
由此证得G的商群G / N是由元素aN生成的循环群，即
G / N＝(aN)。
4．证明B4＝{(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}是A4的不变子群，从而在S4中举出一个不变子群的不变子群不是不变子群的例子。
证明：由上节习题2可得：
(1)H＝(12)(34)H＝(13)(24)H＝(14)(23)H ＝H(1)＝H(12)(34)＝H(13)(24)＝H(14)(23) ＝{(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}， (123)H＝(243)H＝(134)H＝(142)H ＝H(123)＝H(243)＝H(134)＝H(142) ＝{(123)，(243)，(142)，(134)}， (132)H＝(143)H＝(234)H＝(124)H ＝H(132)＝H(143)＝H(234)＝H(124) ＝{(132)，(143)，(234)，(124)}。
B4是A4的一个不变子群。 由于B4是交换群，则B4的任何子群都是不变子群。我们取B4的不变子群H＝{(1)，(12)(34)}。由此我们得到B4是A4的不变子群，且H是B4的不变子群。下面说明H不是A4的不变子群。
我们可取(123)∈A4，(12)(34)∈H，有
(123)－1[(12)(34)](123)＝(132)(12)(34)(123)＝(13)(24)?H。
近世代数习题解答 第二章 49
5．设G含有8个元素： ±??2
?1?00??i??，±??01??0??0??，±???1?i??1??0??，±??i0??i??， ?0?(其中i＝－1)，证明：G关于矩阵乘法作成一个群，并且G的每一
个子群都是不变子群。
?1证明：因为结合律成立、单位元??0?0??存在，且每个矩阵都1??是可逆矩阵是显然的。所以，要证明G关于矩阵乘法作成一个群，
关键是验证运算的封闭性。记 E＝??
?1?00??i??，A＝?01???0??0??，B＝??1?i???1??0??，C＝?i0???i??， 0??由于
EX＝XE＝X，其中X＝±E，±A，±B，±C， (－E)2＝E，(±A)2＝(±B)2＝(±C)2＝－E，
AB＝C，BA＝－C，AC＝－B， CA＝B，BC＝A，CB＝－A，
所以得到G中的任意两个矩阵的积仍属于G，则G关于矩阵的乘法运算封闭。 下面证明G的任意子群都是不变子群。
因为G的单位元是E。－E是2阶元，其余的6个元素±A，±B，±C都是四阶元。
设H是8阶群G的子群，则H只可能是1阶子群，2阶子群，4阶子群以及8阶子群。
近世代数习题解答 第二章 50
当H分别是1阶子群和8阶时，H＝{E}，H＝G为平凡子群，是不变子群；
当H是2阶子群时，因为素数阶群是循环群，则H是由一个2阶元生成的，而G中的2阶元只有－E，所以，G的2阶阶子群H只能是
H＝(－E)＝{E，－E}，
因为E与－E与任何矩阵都可交换，所以，H是G的不变子群；
当H是4阶子群时，则H在G中的指数 [ G : H ]＝2，则由本节书例4可知H是G的不变子群。
综上所述，G的每一个子群H都是不变子群。
6．证明本节定理3。
定理3 设f：G→G′是一个群同态映射，且
H?G， H′?G′，
那么
(1) f －1(H′)?G，
(2) f为满同态时，则f (H)?G′。
证明：由本章第三节定理5知：f －1(H′)＜G，f (H)＜G′，因此只需证明“不变性”。
－1
(1) ?x∈G，a∈f (H′)，即f (a)∈H′，所以
－1－1－1
f (xax)＝f (x) f (a) f (x)＝f (x) f (a) [ f (x)]，
其中f (x)∈G′。因为H′是G′的不变子群，从而有
f (x) f (a) [ f (x)]－1∈H′，
得xax－1∈f －1(H′)。证得f －1(H′)?G。
(2) ?x′∈G′，a′∈f (H)，则存在a∈H，x∈G，使得
近世代数习题解答 第二章 51
f (x)＝x′，f (a)＝a′，
－1－1－1
由于 (x′) a′(x′)＝f (x) f (a) [ f (x)]＝f (xax)，
－1
因为H是G的不变子群，从而有xax∈H，即
－1－1
(x′) a′(x′)＝f (xax)∈f (H)。
证得则f (H)是 G′的不变子群。
7．设H是群G的一个子群，证明：
(1) 对于每一个a∈G，集合aHa―1是一个G的子群(称它为H的共轭子群)，并且H ? aHa―1；
(2) 在S4中，求出所有与H＝{(1)，(123)，(132)}共轭的子群。
―1
证明：(1) 先证aHa是一个G的子群。
―1―1―1
?ah1a，ah2a∈aHa，有
―1―1―1―1
(ah1a)( ah2a)＝a(h1h2)a∈aHa，
(ah1a―1)―1＝ah1―1a―1∈aHa―1，
所以，aHa―1是一个G的子群。
再证H ? aHa―1。
作映射 f：H → aHa―1， h ? aha－1，
易知f是一个一一映射。且f保持运算，因为?h1，h2∈H，有
f (h1h2)＝a(h1h2)a―1＝(ah1a―1)(ah2a―1)＝f (h1) f (h2)。
(2) 因为H＝{(1)，(123)，(132)}是S4中的一个3阶子群，而
－1－1
与H共轭的任意一个子群xHx(?x∈S4)与H同构，则xHx也是S4中的一个3阶子群。由于S4中的3阶子群只有
H1＝{(1)，(123)，(132)}，H2＝{(1)，(124)，(142)}， H3＝{(1)，(134)，(143)}，H4＝{(1)，(234)，(243)}， 也就是说，只有以上四个子群可能是H的共轭子群。 因为：