近世代数习题解答 第二章 44
的习题3知素数阶群必是循环群，而循环群一定是交换群。所以，当G是2阶，3阶，5阶群时，也是交换群；
当G是4阶群时，由书中本节的例子3得G同构于以4为模的剩余类加群Z4或Klein四元群B4，而这两个群都是交换群，所以G也是交换群。
由上面的讨论可知非交换群至少含有6个元素。而S3是一个含有6个元素的非交换群。
6．找出A4的所有子群，由此证明Lagrange定理的逆命题不成立。
解：设H是A4的一个子群，因为A4为12阶群，所以，H的阶必是12的一个因数，即 | H |＝1，2，3，4，6，12。 当 | H |＝1时，得H1＝{(1)}， 当 | H |＝12时，得H2＝A4；
当 | H |＝2时，由于2是一个素数，则H必是由某个2阶元生成的循环群。而A4中的2阶元有3个：
(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)，
得A4的2阶子群有
H3＝{(1)，(12)(34)}，H4＝{(1)，(13)(24)}，H5＝{(1)，(14)(23)}，
当 | H |＝3时，由于3也是一个素数，则H必是由某个3阶元生成的循环群。而A4中的3阶元有8个：
(123)，(132)，(124)，(142)，(134)，(143)，(234)，(243)， 得A4的3阶子群有
H6＝{(1)，(123)，(132)}，H7＝{(1)，(124)，(142)}， H8＝{(1)，(134)，(143)}，H9＝{(1)，(234)，(243)}，
当 | H |＝4时，由于A4中没有4阶元，所以，H只有与B4同
近世代数习题解答 第二章 45
构，由本章第五节习题4可得S4中与B4同构的子群共有四个
N1＝{(1)，(12)，(34)，(12)(34)}， N2＝{(1)，(13)，(24)，(13)(24)}， N2＝{(1)，(14)，(23)，(14)(23)}， N4＝{(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}。
而且这四个S4的子群中只有N4是A4的子群，因为(12)，(13)，(14)，(23)，(24)，(34)不是偶置换。得A4的4阶子群只有
H10＝{(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}。
当 | H |＝6时，由于A4中没有6阶元，H不可能是循环群，进一步可得H中至少含有一个2阶元σ，因为3阶元成对出现，即3阶元有偶数个，1阶元为单位元有1个，这样就得2阶元为奇数个。而2阶元σ不是偶置换。从而得到A4中没有6阶子群。
综上所述，A4共有10个子群。 Lagrange定理指的是：有限群G的任意一个子群H的阶必是群G的阶的一个因数。但是从上面的说明可以看出：对于有限群G的阶数的某个因数就不一定存在子群，使得子群的阶正好是这个因数。如 | A4 |＝12的因数6。
7．设H，K是G的子群，那么，
HK＝{hk | h∈H，k∈K}， KH＝{kh | k∈K，h∈H}， 都是G的子群的充分必要条件是HK＝KH。
证明：先证必要性。
?kh∈KH，其中h∈H，k∈K，因为H，K是G的子群，则 h－1∈H，k－1∈K，得h－1k－1∈HK。由条件得HK是G的子群，所以，(h－1k－1)－1＝kh∈HK。证得：KH ? HK。
同理可得另一包含关系：HK ? KH。
近世代数习题解答 第二章 46
再证充分性。
?hk，h1k1∈HK，其中h，h1∈H，k，k1∈K，则
(hk)(hk)∈(HK)(HK)＝H(KH)K＝H(HK)K＝HK，
－1－1－1
(hk)＝kh∈KH＝HK，
所以，HK是G的子群。同理可得KH也是G的子群。
8．证明10阶交换群必为循一环群。
证明：设G是一个10阶交换群，则G中的任何元素的阶只可能是1，2，5，10。只需证明G中存在10阶元。
首先，因为大于2阶的元成对出现，即5阶元的个数为偶数，从而得2阶元的个数为奇数，所以2阶元必定存在。
其次，G中的元素，除单位元外不可能全是2阶元。否则，取G中的任意两个2阶元a，b，则ab也是G中的2阶元，且
ab≠e， ab≠a， ab≠b。
由此我们可得一个与B4同构的子群H＝{e，a，b，ab}，由Lagrange定理得：4 | 10，矛盾。所以，G中必存在5阶或10阶的元素b(当b为10阶时，G就是由b生成的循环群)。
因此，在G中必有2阶元a和5阶元b，因为2与5互素，以及G为交换群，即ab＝ba，则可得ab的阶为10。
所以证得：G是一个循环群。
近世代数习题解答 第二章 47
§2.7 不变子群与商群
1．设G是交换群，那么G的商群仍是交换群。
证明：设G的商群为G / N，其中N是G的一个不变子群。 ?aN，bN∈G / N，则
aNbN＝abN＝baN＝bNaN，
所以，G / N是交换群。
2．设H，K是G的两个不变子群，证明HK和H∩K都是G的不变子群。
证明：根据子群与不变子群的判别定理证明。 ?hk，h1k1∈HK，对于它们的乘积
(hk)(h1k1)＝h(k h1)k1
中的k h1∈Kh1，因为K是G的不变子群，则有kh1∈Kh1＝h1K，即存在k2∈K，使得k h1＝h1 k2，所以，
(hk)(h1k1)＝h(k h1)k1＝h(h1 k2)k1＝(hh1)( k2k1)∈HK，
(hk)－1＝k－1h－1∈K h－1 ? KH＝HK，
?a∈G，有
a(HK)＝(aH)K＝(Ha)K＝H(aK)＝H(Ka)＝(HK)a。
由此得到HK是G的一个不变子群。
对于H∩K是G的不变子群的证明这里省略了。
3．证明循环群的商群仍是循环群。