近世代数习题解答 第二章 40
4．设B4＝{e，a，b，ab}，由乘法表
e a b ab e a b ab e a b ab a e ab b b ab e a ab b a e
所定义的群叫做Klein四元群，或简称四元群。
(1) 找出B4的所有子群；
(2) 找出S4中与B4同构的子群。
解：(1) B4的所有子群为：
H1＝{e}，H2＝B4，H3＝{e，a}，H4＝{e，b}，H5＝{e，ab}。 B4共有五个子群。
(2) 由于两个同构的群所含元素的个数一样，在同构映射下相对应的元素的阶相等，所以，与B4同构的群含有4个元素，且除单位元外的其余3个元素都是2阶元。因为S4中2阶元有
(12)，(13)，(14)，(23)，(24)，(34)，
(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)，
再根据运算的封闭性我们可得S4中与B4同构的子群有
H1＝{(1)，(12)，(34)，(12)(34)}， H2＝{(1)，(13)，(24)，(13)(24)}， H3＝{(1)，(14)，(23)，(14)(23)}， H4＝{(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}。
近世代数习题解答 第二章 41
5．找出S4中由(1234)生成的子群。
解：因为(1234)是一个4阶元，所以由它生成的子群为
n
H＝{(1234) | n∈Z}
234
＝{(1234)，(1234)，(1234)，(1234)} ＝{(1234)，(13)(24)，(1432)，(1)}。
6．证明Sn可以由集合{(12)，(13)，?，(1n)}生成，即任意一个n次置换σ都可用若干个上述集合中的对换来表示。
证明：由本节定理3及其推论可知Sn中的每一个置换都可以表示成若干个对换之积。由此，我们只需证明任意一个对换可用集合{(12)，(13)，?，(1n)}中的某些对换来表示即可。
任意给出一个对换( i j )，如果i，j中有一个是1，则( i j )就是所给集合中元素，结论正确。如果i，j都不是1，则有
( i j )＝ (1 i )(1 j )( 1 i )。
所以，任意一个n次置换σ都可用集合{(12)，(13)，?，(1n)}中的若干个对换来表示。
§2.6 子群的陪集
1．设H是G的子群，a，b∈G，证明以下六个条件是等价的：
－1－1
(1) ba∈H； (2) ab∈H； (3) b∈aH；
(4) a∈bH； (5) aH＝bH； (6) aH∩bH≠υ。
解：(1) ? (2) 因为b－1a∈H，H是G的子群，则
近世代数习题解答 第二章 42
(b－1a)－1＝a－1b∈H； －1－1
(2) ? (3) 由于ab∈H，则存在h∈H，使得ab＝h，即
b＝ah∈aH；
(3) ? (4) 因为b∈aH，则存在h∈H，使得b＝ah，即
－1
a＝bh∈bH；
(4) ? (5) 因为a∈bH，则存在h∈H，使得a＝bh。 ?ah1∈aH，有
ah1＝(bh)h1＝b(hh1)∈bH，
即aH?bH。
反之，?bh2∈bH，有
bh2＝(ah－1)h2＝a(h－1h2)∈aH，
即bH?aH。所以， aH＝bH；
(5) ? (6) a∈aH＝aH∩bH≠υ；
(6) ? (1) 由于aH∩bH≠υ，则存在c∈aH∩bH，有
c∈aH 且 c∈bH，
则存在h，k∈H，使得c＝ah＝bk，即b－1a＝kh－1∈H。
2．写出A4关于H＝{(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}的左陪集分解以及右陪集分解。
解：A4关于H的左陪集分解为
A4＝H∪(123)H∪(132)H，
其中 H＝{(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}，
(123)H＝{(123)，(134)，(243)，(142)}， (132)H＝{(132)，(234)，(124)，(143)}；
A4关于H的右陪集分解为
A4＝H∪H(123)∪H(132)，
近世代数习题解答 第二章 43
其中 H＝{(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}，
H(123)＝{(123)，(243)，(142)，(134)}， H(132)＝{(132)，(143)，(234)，(124)}。
3．证明素数阶群一定是循环群。
证明：设G是一个阶数为素数p的群，由于p≥2，则G中除单位元e外至少还有一个元a≠e，可知 | a |＞1。由Lagrange定理的推论得：| a | 整除群G的阶p，由于p是素数，只有 | a |＝1或p。所以，| a |＝p。即由元素a生成的子群 (a) 包含p个元素，从而得G＝(a)，证得G是一个循环群。
4．证明p( p为素数，m≥1)阶群一定有一个p阶子群。
证明：设G是一个pm阶的群，那么，我们只需证明群G中存在p阶元。在G中任意取一个非单位元的元素a，则由Lagrange定理的推论得：| a | 整除群G的阶pm，由于p是素数，只有
| a |＝pk (其中1≤k≤m)。 取b＝a子群。
5．证明：若G为非交换群，则G中至少含有6个元素，从而说明S3是含有元素个数最少的不可交换群。
证明：当G是1阶群时，显然G是交换群；
当G是2阶，3阶，5阶群时，由于它们是素数阶群，由上面
pk?1m
∈G，则可知b的阶为p，得H＝(b) 是一个G的p阶