近世代数习题解答 第二章 56
G / N=NK / N, K / N∩K=K / {e}=K,
根据书中定理4有
NK / N ? K / N∩K,
得 G / N ? K。
6.设H1,H2,N都是群G的不变子群,且H1?H2,证明:
H1N?H2N 且 H1N / N?H2N / N。
证明:先证H1N和H2N都是G的子群。
?xN,yN∈H1N,其中x,y∈H1,由于N是G的不变子群,则有
-1-1
(xN)( yN)=(xy)N∈H1N, (xN)=xN∈H1N,
所以,H1N是G的子群。同理可得H2N也是G的子群。
再证H1N是H2N的不变子群。
?xN∈H1N,?aN∈H2N,其中x∈H1,a∈H2?G,则有
(aN )(xN )(aN )-1=(aN )(xN )(a-1N )=(axa-1)N,
因为H1是G的不变子群,则有axa-1∈H1,所以,
(aN )(xN )(aN )-1=(axa-1)N∈H1N,
从而证得:H1N是H2N的不变子群。
作自然同态
f:H2N → H2N / N, h2n ? h2nN=h2N,
其中h2∈H2,n∈N。因为
H1N?H2N, f (H2N )=H2N / N, f (H1N )=H1N / N, 由于不变子群的同态象仍是不变子群,所以,
H1N / N?H2N / N。
7.设G是一个群,a,b∈G,记
近世代数习题解答 第二章 57
〈a,b〉=a―1b―1ab,
称为G的换位元,证明:
(1) G的有限个换位元的乘积全体所成的集合G′是G的不变子群;
(2) G / G′为交换群;
(3) 若H?G,且G / H为交换群,则G′? H。
证明:(1) 设α,β∈G′,即
α=〈a1,b1〉〈a2,b2〉?〈ak,bk〉, β=〈c1,d1〉〈c2,d2〉?〈cl,dl〉,
有 αβ=〈a1,b1〉?〈ak,bk〉〈c1,d1〉?〈cl,dl〉∈G′,
―1―1―1 ―1―1―1
由于 〈a,b〉=(abab)=baba=〈b,a〉∈G′,
―1―1
有 α=[〈a1,b1〉〈a2,b2〉?〈ak,bk〉]
―1―1―1
=〈ak,bk〉?〈a2,b2〉〈a1,b1〉=〈bk,ak〉?〈b2,a2〉〈b1,a1〉∈G′。 又,?x∈G,〈a,b〉∈G′,有
x〈a,b〉x―1=x(a―1b―1ab)x―1 =(xa―1x―1)(xb―1x―1) (xax―1)(xbx―1) =(xax―1)―1 (xbx―1)―1 (xax―1)(xbx―1) =〈xax―1,xbx―1〉∈G′,
所以,
―1―1 xαx=x〈a1,b1〉〈a2,b2〉?〈ak,bk〉x
―1―1―1
=(x〈a1,b1〉x)(x〈a2,b2〉x)?(x〈ak,bk〉x) ∈G′, 从而证得G′是G的一个不变子群。
(2) ?aG′,bG′∈G / G′,因为
(aG′)(bG′)=(ab)G′,(bG′)(aG′)=(ba)G′,
由于 (ba)―1ab=a―1b―1ab=〈a,b〉∈G′,
近世代数习题解答 第二章 58
所以, (aG′)(bG′)=(ab)G′=(ba)G′=(bG′)(aG′), 证得:G / G′为交换群。
(3) ?a,b∈G,由于G / H是交换群,则有
(ab)H=(aH)(bH)=(bH)(aH)=(ba)H,
―1―1―1
得 〈a,b〉=abab=(ba)ab∈H, 即证得H中包含所有的换位元〈a,b〉,由于H是G的子群,因此H关于G的运算封闭,所以H中包含所有有限个换位元的乘积,即G′? H。