近世代数习题解答 第二章 52
(1)H(1)-1=H={(1),(123),(132)},
-1
(14)H(14)=H4={(1),(234),(243)},
-1
(24)H(24)=H3={(1),(134),(143)},
-1
(34)H(34)=H2={(1),(124),(142)}。
所以,在S4中与H={(1),(123),(132)}共轭的子群仅有以上四个。
8.设G是有限群,H是G的n阶子群,如果H是G仅有的一个n阶子群,则H是G的不变子群。
证明:要证H是G的不变子群,只需证明:?a∈G,有 -1
aHa=H。
-1
根据上题结果,我们有aHa是一个与H同构的G的子群,
-1
所以aHa是G的一个n阶子群,由条件知G只有唯一的一个n
-1
阶子群,从而得aHa=H。
9.设
G=Mn(Q)={有理数域上所有n阶可逆矩阵},
H={A | A∈G,| A |=1},
证明:H是G的不变子群。
证明:?A,B∈H,则有 | A |=| B |=1,从而
-1-1
| AB |=| A | | B |=1, | A |=1=1, -1
得AB,A∈H,所以,H是G的一个子群。
再证不变性。?A∈H,?X∈G,我们有
| XAX -1 |=| X | | A | | X -1 |=| X | | X |-1 | A |=1,
得XAX -1∈H。从而证得H是G的不变子群。
近世代数习题解答 第二章 53
10.设A,B是G的子群,C是由A∪B生成的子群,若B是C的不变子群,则C=AB。
证明:要证明此题,首先要清楚题中的几个集合:
AB={ab | a∈A,b∈B};
根据生成子群的结构,我们有
C=(A∪B)={x1x2?xn | xi∈A∪B},
再将同一个子群中的元素合并,则可得
C={a1b1a2b2?akbk | ai∈A,bj∈B}。
从上面两个集合的结构显然可得:AB?C;
反之,?a1b1a2b2?akbk∈C,因为b1a2∈Ba2,由于B是C的不变子群,从而有b1a2∈Ba2=a2B,则存在b1′∈B使得
b1a2∈a2b1′,
所以, a1b1a2b2?akbk=a1(b1a2)b2?akbk
=a1 (a2 b1′)b2?akbk=(a1 a2 )( b1′b2)?akbk,
以此类推可得
a1b1a2b2?akbk=(a1a2?ak)bk′∈AB,
得C?AB。所以我们证得:AB=C。
§2.8 同态基本定理
1.设f:G→G′是同态映射,a∈G,| a |=n。证明:f (a)的阶是n的因数。
解:因为| a |=n,则有an=e,从而有
[f (a)]n=f (an)=f (e)=e′,
近世代数习题解答 第二章 54
所以,f (a)的阶是n的因数。
2.设G={23 | m,n∈Q},关于数的乘法作成群,作映射
mnmf:23 ? 2, 证明:f是G到G的同态映射,且求f (G),Ker f。
解:要证f是同态映射,只需证f保持运算。?2m3n,2k3l∈G,则
f [(2m3n)(2k3l)]=f (2m+k 3n+l)=2m+k=2m2k=f (2m 3n) f (2k 3l), 得f是G到G的同态映射。
容易得到:
f (G)=Im f={2m | m∈Q},
n
Ker f={3 | n∈Q}。
3.证明:Z30 / (5) ? Z5,(其中5是Z30中的元素)。
证明:设H=(5)={0,5,10,15,20,25}, 则 Z30 / (5)={H,1+H,2+H,3+H,4+H}, 记Z5={[0],[1],[2],[3],[4]},作映射
f:Z30 / (5)→Z5,k+H ? [ k ],k=0,1,2,3,4。 其中需要证f的定义是合理的与f是一个一一映射(限于篇幅,略)。
最后证f保持运算。?k+H,l+H∈Z30 / (5),有
mn
近世代数习题解答 第二章 55
f [(k+H)+(l+H)]=f [(k+l)+H] =f (k?l+H)=[ k+l ]=[ k ]+[ l ] =f (k+H)+f (l+H)。
4.设f为G到G′的同态满射,Ker f=K,H是G的子群,证明:f -1( f (H))=HK。
证明:因为
-1
f ( f (H))={x∈G | f (x)∈f (H)}, -1
即f (x)∈f (H),则存在h∈H,使得f (x)=f (h),?x∈f ( f (H)),从而有
e′=f (h)-1f (x)=f (h-1x),
得h-1x∈Ker f=K,则存在k∈K,使得h-1x=k,即x=hk∈HK,得f -1( f (H)) ? HK。
反之,?x∈HK,则x=hk,h∈H,k∈K=Ker f,有
f (x)=f (hk)=f (h) f (k)=f (h)e′=f (h)∈f (H),
得 x∈{x∈G | f (x)∈f (H)}= f -1( f (H)), 从而得HK ? f -1( f (H))。
-1
所以,f ( f (H))=HK。
5.设N?G,K?G,如果N∩K={e},(N∪K)=G,则
G / N ? K。
证明:由本章第七节习题10知:G=NK,则有