X的分布列为
考点：（1）互斥事件概率的算法． （2）离散型随机变量分布列。 19. 如图，四棱锥别在棱
上，且
的底面是正方形，平面
.
底面
，
，点
分
（1）求证：（2）求直线（3）求二面角
； 与平面
所成角的正弦值. 的余弦值
【答案】（1）见解析（2）（3）
【解析】试题分析：（1）先根据线面垂直性质定理得直判定定理得面垂直判定定理得在平面
平面
，即得平面
，即得交于点，则
，由
，再由平面
，有平面）与平面
，以及线面垂，再由线，所以
为
；（2）因为
为
（即
内的射影，延长所成的角，
解直角三角形得线面角正弦值.（3）以空间向量求角二面角，先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解平面法向量，由向量数量积得两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与两法向量关系得结果 试题解析：（1）因为四边形又因为又而故
底面平面平面
.
，则，有
，所以
， ，则
平面
，
是正方形，所以
，故
平面
， ，
（2）如图，延长所以又因为在故
中，与平面为
在平面
，
交于点，因为内的射影，故
，则有
，
所成角的正弦值为.
平面为
（即
， ）与平面
所成的角，
，
（3）分别以
所以那么
，
为轴建立空间直角坐标系，，
，设平面的法向量，
，
，
令
，则
，由（1）知，平面的大小为，且为锐角，所以
，
所以二面角20. 已知椭圆圆交于（1）求弦
两点，线段的长；
，且直线
时，交椭圆于
，若点在第一象限，求证：直线
的余弦值为.
的焦距为
的中点为，线段
，设右焦点为，过原点的直线与椭
.
的法向量
，
设所求二面角
的中点为，且
（2）当直线的斜率
与轴围成一个等腰三角形. 【答案】（1）
（2）见解析
，则根据条件表示
，
【解析】试题分析：（1）关键求点A坐标关系：设
，再根据向量数量积得
与轴围成一个等腰三角形，就是证直线程，再设关系，代入直线
，即得的长为.（2）证直线
的斜率相反.先确定A点坐标，并求出椭圆方
两点横坐标和与积的
与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理可得的斜率公式，并化简可证它们为相反关系.
的焦距为
，，则
，，所以，所以，又半焦距为
的长为
，设，所以椭圆
， .
试题解析：（1）因为椭圆：设
，则
，则，
（2）因为直线的斜率∴由（1）知，
时，且直线，所以
，， ，联解：
得设直线
的斜率分别为
，设，则
，
，
，则
，那么
，，
所以直线21. 已知函数（1）当（2）当（3）当证：【答案】（1）
与轴围成一个等腰三角形.
.
时，求函数时，对任意时，设函数
，
.
（3）见解析
都有
，数列
的最值；
恒成立，求实数的取值范围； 满足
，
，求
，无最大值.（2）
【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定单调性，进而确定最值（2）当
时
,利用导数易得
为单调递增函数，且
，因此
试题解析：（1）∵
∴
，令
（3）先证明为单调递增函数，再利用数学归纳法证明
，∴，
，得，则随变化如下：
所以（2）设当∴当
时，令，
函数
在，
所以综上，对任意（3）∵又加的， 所以∴
，当，当时，且
，无最大值.
，则
，，
成立；
，得
，当
，
，函数
在
，
上是增加的，
上是减小的，而，所以，当时，
不恒成立， 都有
恒成立时，，∴
时，
，∴
.
， 在
上是增
时，∵，
，