10.变量X1和X2遵循普通布朗运动，漂移率分别为m1和m2，方差率分别为s12和s22。请问在下列两种情况下，X1+X2分别遵循什么样的过程？ （1）在任何短时间间隔中X1和X2的变动都不相关； （2）在任何短时间间隔中X1和X2变动的相关系数为r。
11．假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为10%，该股票的年波动率为30%，求该股票协议价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。 12．请证明布莱克－舒尔斯看涨期权和看跌期权定价公式符合看涨期权和看跌期权平价公式。
13．某股票市价为70元，年波动率为32%，无风险利率为10%，该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效期8个月。请证明在上述两个除息日提前执行该期权都不是最优的，并请计算该期权价格。
14．某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。连续复利无风险年利率为8%。请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？
15．某种不支付红利股票市价为40元，年波动率为30%，无风险利率为5%，请用间隔时间为一个月的二叉树模型（可以使用本书光盘中所附软件）计算该股票协议价格为40元、有效期3个月的美式和欧式看跌期权价格。
习题答案：
1、 该投资者最终的结果为： max(ST-X,0)+min(ST-X,0)=ST-X
可见，这相当于协议价格为X的远期合约多头。 本习题说明了如下问题：
（1） 欧式看涨期权多头和欧式看跌期权空头可以组成远期合约多头；欧式看涨期权空头和欧式看跌期权多头可以组成远期合约空头。
（2） 远期合约多头可以拆分成欧式看涨期权多头和欧式看跌期权空头；远期合约空头可以拆分成欧式看涨期权空头和欧式看跌期权多头。
（3） 当X等于远期价格时，远期合约的价值为0。此时看涨期权和看跌期权的价值相等。
2、 美式期权的持有者除了拥有欧式期权持有者的所有权利外，还有提前执行的权利，因此美式期权的价值至少应不低于欧式期权。 3、 下限为： 30－27e-0.06×0.25=3.40元。 4、 看跌期权价格为： p=c+Xe-rT+D-S0 =2+25e-0.5×0.08+0.5e-0.1667×0.08+0.5e-0.4167×0.08-24 =3.00元。
5、 （1）假设公司价值为V，到期债务总额为D，则股东在1年后的结果为： max(V-D,0)
这是协议价格为D，标的资产为V的欧式看涨期权的结果。 （2）债权人的结果为： min(V,D)=D-max(D-V,0)
由于max(D-V,0)是协议价格为D、标的资产为V的欧式看跌期权的结果。因此
该债权可以分拆成期末值为D的无风险贷款，加上欧式看跌期权空头。
（3）股东可以通过提高V或V的波动率来提高股权的价值。第一种办法对股东和债权人都有利。第二种办法则有利于股东而不利于债权人。进行风险投资显然属于第二种办法。
6、 考虑一个组合由一份协议价格为X1的欧式看涨期权多头、一份协议价格为X3的欧式看涨期权多头和2份协议价格为X2的欧式看涨期权空头组合。在4种不同的状态下，该组合的价值分别为： 当ST£X1时，组合价值＝0；
当X1
当X2
以上分析表明，在期权到期时，该组合价值一定大于等于0，那么在无套利条件下，该组合现在的价值也应大于等于0，这意味着： c1+c3-2c2³0, 或者说： c2£0.5(c1+c3).
7、 令c1、c2、c3分别表示协议价格为X1、X2和X3的欧式看涨期权的价格，p1、p2、p3分别表示协议价格为X1、X2和X3的欧式看跌期权的价格。根据看涨期权看跌期权平价： c1+X1e-rT=p1+S c2+X2e-rT=p2+S c3+X3e-rT=p3+S 因此，
c1+c3-2c2+(X1+X3-2X2)e-rT=p1+p3-2p2
由于X2-X1=X3-X2,因此，X1+X3-2X2＝0。这样， c1+c3-2c2=p1+p3-2p2 证毕。
8、 看涨期权的牛市差价组合由一份协议价格为X1的欧式看涨期权多头和一份协议价格为X2的欧式看涨期权空头组成。看跌期权的熊市差价组合由一份协议价格为X2的欧式看跌期权多头和一份协议价格为X1的欧式看跌期权空头组成。其结果为：
期末股价范围 看涨期权的牛市差价组合 看跌期权的熊市差价组合 总结果 ST³X2 X2-X1 0 X2-X1
X1 从上表可以看出，在任何情况下，该箱型组合的结果都是X2-X1。在不存在套利机会的情况下，该组合目前的价值应该等于X2-X1的现值。 9、 由于 在本题中，S＝50，m＝0.16,s=0.30,Dt=1/365=0.00274.因此， DS/50~f(0.16´0.00274,0.3´0.002740.5) =f(0.0004,0.0157) DS~f(0.022,0.785) 因此，第二天预期股价为50.022元，标准差为0.785元，在95％的置信水平上第2天股价会落在50.022-1.96´0.785至50.022+1.96´0.785,即48.48 元至51.56元之间。 10、 （1）假设X1和X2的初始值分别为 和 。经过一段时间T后，X1的概率分布为： X2的概率分布为： 根据独立的正态分布变量之和的性质，可求X1和X2的概率分布为： 这表明，X1和X2遵循漂移率为 ，方差率为 的普通布朗运动。 （2）在这种情况下，X1和X2在短时间间隔Δt之内的变化的概率分布为： 如果 都是常数，则X1和X2在较长时间间隔T之内的变化的概率分布为： 这表明，X1和X2遵循漂移率为 ，方差率为 + 的普通布朗运动。 11、 在本题中，S＝50，X＝50，r=0.1,σ=0.3,T=0.25, 因此， 这样，欧式看跌期权价格为， 12、 根据布莱克－舒尔斯看跌期权定价公式有： 由于N（-d1）=1-N(d1),上式变为： 同样，根据布莱克－舒尔斯看涨期权定价公式有： 可见， ，看涨期权和看跌期权平价公式成立。 13、 D1=D2=1,t1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65 可见， 显然，该美式期权是不应提早执行的。 红利的现值为： 该期权可以用欧式期权定价公式定价： S＝70－1.9265＝68.0735，X＝65，T=0.6667,r=0.1,σ＝0.32 N(d1)=0.7131,N(d2)=0.6184 因此，看涨期权价格为： 14、 构造一个组合，由一份该看涨期权空头和Δ股股票构成。如果股票价格升到42元，该组合价值就是42Δ-3。如果股票价格跌到38元，该组合价值就等于38Δ。令： 42Δ-3=38Δ 得：Δ=0.75元。也就是说，如果该组合中股票的股数等于0.75，则无论1个月 后股票价格是升到42元还是跌到38元，该组合的价值到时都等于28.5元。因此，该组合的现值应该等于： 28.5e-0.08×0.08333=28.31元。 这意味着： -c+40Δ=28.31 c=40×0.75-28.31=1.69元。 15、 在本题中，S=40，X=40，r=0.05,σ=0.30,T=0.25, Δt=0.0833。用本书光盘所附软件可以求出如下结果。 计算结果 △t u d a p 1-p 0.0833 1.0905 0.9170 1.0042 0.5024 0.4976 红色表示股价，黄色表示欧式期权价格，绿色表示美式期权价格 51.87 0.00 47.56 0.00 0.00 43.62 0.00 43.62 0.81 0.00 40.00 0.81 40.00 0.00 2.34 1.64 2.38 36.68 1.64 36.68 3.89 3.32 3.98 33.64 3.32 6.20 6.36 30.85 9.15 9.15 第十四章 习题： 1、 投资过程由哪些主要步骤构成？ 2、 王先生是A公司的总裁，A公司是一家美国公司，它的销售全部都在国内，该公司的股票在纽约证券交易所上市。下面是有关它的状况的其他资料。 王先生是一位58岁的独身者，他没有直系亲属，没有债务，也没有自有住宅。王先生身体健康状况良好，并且有A公司持续支付他的在65岁退休后可获得的健康保险。 他每年的薪水为500 000美元（考虑通货膨胀因素），足够维持现有的生活水平，但没有剩余可以储蓄。 他早年有2000000美元的短期存款。 A公司通过“慷慨股票奖金”计划来激励其重要的员工，但不提供养老金计划和股利。 王先生参与这项激励计划使得他持有的IR公司股票的价值达10000000美元（现值）。因为股票是免税的，但在出售时要支付的税率为35%（对全部收入），所以王先生的股票预计会持有到他退休为止。