收益率的均方差（ ）的无偏估计为：
现假设有两种证券1和2，其连续复利年收益率分别为u1i和u2i，收益率的均值分别为 和 ，均方差分别为 ，则其协方差（ ）的无偏估计为：
两种证券的相关系数（ ）的估计值为：
本书所附光盘中有一个根据上述方法用2002年5月29日至2002年7月9日之间招商银行与陆家嘴股票的收盘价格估计这两种股票在2002年7月10日的预期收益率、均方差、协方差和相关系数的EXCEL模板。作为一个简单的例子，我们取样本期间长度为30个交易日。
应该注意的是，根据历史数据估计未来的预期收益率存在很大的局限性，在实际应用时要特别小心。例如，根据这段时期估计的招商银行股票的连续复利预期年收益率高达213.61%，这显然有问题。这也是目前有关股票预期收益率的大多数经验研究（有人称为实证研究）所存在的问题。
值得一提的是，EXCEL本身就有求均值、标准差、协方差和相关系数的函数，其函数名分别为AVERAGE、STDEV、COVAR和CORREL。只是EXCEL中的COVAR计算公式为：
习题答案： 1． （3） 2． （2） 3． （4） 4． （4） 5． (1)
6． 贝塔系数=30%×1.2+20%×0.6+10%×1.5×40%×0.8=0.95 7． 1/3×1.6+1/3×X=1,X=1.4
8． 对于A=4的投资者而言，风险资产组合的效用是： U=20%-0.5×4×20%2=12%
而国库券的效用是7%，因此他会选择风险资产组合。 对于A=8的投资者而言，风险资产组合的效用是： U=20%-0.5×8×20%2=4% 因此他会选择国库券。
9． 风险资产组合的效用为： U=14%-0.5A×20%2
国库券的效用为6%。为了使他更偏好风险资产组合，14%-0.5A×20%2必须大于6%，即A必须小于4。为了使他更偏好国库券，14%-0.5A×20%2必须小于6%，即A必须大于4。
10． （1）尽管孤立地来看黄金的预期收益率和标准差都不如股票理想，但如果股票和黄金的相 关系数很小（如图中的实线所示），投资者通过持有部分黄金仍有可能提高投资效用。
（2）如果股票和黄金的相关系数等于1（如图中的虚线所示），则任何理性的
投资者都不会持有黄金的多头。此时黄金市场显然无法取得均衡。人们卖出或卖空黄金的结果将使黄金价格下跌、收益率提高。
11． 无差异曲线上的点必须满足效用函数：
（1） 将A=2，U=6%代入上式得： =6%+ 2
利用这个式子，我们可以得到与不同的 值相对应的 值，如下表：
0% 6% 5% 6.25% 10% 7% 15% 8.25% 20% 10% 25% 12.25%
将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U1所示。 （2） 将A=4，U=5%代入上式得： =5%+2 2
利用这个式子，我们可以得到与不同的 值相对应的 值，如下表：
0% 5% 5% 5．5% 10% 7% 15% 9．5% 20% 13% 25% 17．5%
将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U1所示。 （3） 将A=0，U=6%代入上式得： =6%。
可见该投资者的无差异曲线就是一条经过（0，6%）点的水平线，如图中U3所示。
（4） 将A=-2，U=6%代入上式得： =6%- 2
利用这个式子，我们可以得到与不同的 值相对应的 值，如下表：
0% 6%
5% 5．75% 10% 5%
15% 3．75% 20% 2% 25% -0.25%
将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U4所示。
12． （1）投资者会选择效用最高的风险资产。第1至4种风险资产的效用分别为-8%、-17%、12% 和7%，因此他会选择第3种风险资产。 （2）风险中性者会选择预期收益率最高的第4种风险资产。 13． （1）组合的预期收益率=国库券的权重×国库券收益率+指数的权重×指数的预期收益率
由于国库券的标准差为0，其与指数的协方差也为0，因此组合的标准差=指数的权重×指数的标准差。计算结果如下表所示。
国库券的权重 指数的权重 组合的预期收益率 组合的标准差 0 1．0 12．5% 20% 0．2 0．8 10．8% 16% 0．4 0．6 9．1% 12% 0．6 0．4 7．4% 8% 0．8 0．2 5．7% 4% 1．0 0 4% 0
（2）当A=2时，组合的效用U=组合的预期收益率-组合的方差，我们有： 国库券的权重 指数的权重 组合的效用（A=2） 0 1．0 8．5%
0．2 0．8 8．24% 0．4 0．6 7．66% 0．6 0．4 6．76% 0．8 0．2 5．54% 1．0 0 4%
可见，你应全部投资于S&P500股票。
（3）当A=4时，组合的效用U=组合的预期收益率-2×组合的方差，我们有： 国库券的权重 指数的权重 组合的效用（A=4） 0 1．0 4．5%
0．2 0．8 5．68% 0．4 0．6 6．22% 0．6 0．4 6．12% 0．8 0．2 5．38% 1．0 0 4%
可见，你应将资金60%投资于S&P500股票，40%投资于国库券。 14． 计算过程如下表所示：
证券 权重 预期收益率 预期收益率*权重 A 0.215054 0.2 0.043010753
B 0.301075 0.14285714 0.043010753 C 0.053763 1 0.053763441 D 0.430108 0.1 0.043010753 小计 1 0.182795699
所以你的投资组合的预期收益率等于18.28%。 15． 计算过程如下表所示：
收益率 概率 收益率*概率 离差平方*概率 -0.1 0.1 -0.01 0.0034225 0 0.25 0 0.00180625 0.1 0.4 0.04 0.00009 0.2 0.2 0.04 0.002645
0.3 0.05 0.015 0.00231125 小计 1 0.085 0.010275 预期收益率 0.085
标准差 0.10136567
该股票的预期收益率与标准差分别为：8.5%和10.14%。 16． 你在A和B上的投资权重分别为150%和-50%。 预期收益率=150%×13%+（-50%）×5%=17% 方差=150%2×10%2+（-50%）2×18%+2×150%×（-50%）×0.25×10%×18%=0.06075 标准差=24.65% 17． 证券A的预期收益率和标准差分别为9.5%和9.99%，证券B的预期收益率和标准差分别为 5.75%和5.31%。 协方差=-0.0052,
相关系数=-0.0052/(9.99%×5.31%)=-0.98 18． 组合的方差=0.52×459+0.32×312+0.22×179 +2×0.5×0.3×(-211)+2×0.5×0.2×112+2×0.3×0.2×215 =130.57
标准差=11.43
19． A、B、C三种证券的预期收益率分别为：4%、4.5%和7.5%。 组合的收益率=4%×20%+4.5×50%+7.5×30%=5.3%
A、B、C三种证券的方差分别为0.0124、0.005725和0.003625 A、B两种证券的协方差为-0.0073 A、C两种证券的协方差为0.0035 B、C两种证券的协方差为-0.00013 组合的方差=0.22×0.0124+0.52×0.005725+0.32×0.003625 +2×0.2×0.5×(-0.0073)+2×0.2×0.3×0.0035+2×0.5×0.3×(-0.00013) =0.001176
组合的标准差=3.43%
20． （1）当相关系数=0.9时， 组合的方差=0.52×0.32+0.52×0.42+2×0.5×0.5×0.9×0.3×0.4=0.1165 组合的标准差=34.13% (2) 当相关系数=0时， 组合的方差=0.52×0.32+0.52×0.42=0.0625 组合的标准差=25.00% (3) 当相关系数=-0.9时， 组合的方差=0.52×0.32+0.52×0.42-2×0.5×0.5×0.9×0.3×0.4=0.0085 组合的标准差=9.22%
附录A习题答案：
1． 各情景的收益率为如下表所示： 情景 概率 收益率 1 0．1 -100% 2 0．2 -78% 3 0．3 24% 4 0．25 66% 5 0．15 158% 均值=0.1×(-100%)+0.2×(-78%)+0.3×24%+0.25×66%+0.15×158%=21.8%