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【解】 由已知得：a＝2，b＝1, A(
p,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有： 2?y2?2px?p2?2p2，消y得：x－(4－7p)x＋(2p＋)＝0 ?[x?(2?)]422??y?1?4?122所以△＝16－64p＋48p>0,即6p－8p＋2>0，解得：p<或p>1。
3ppp22结合范围(,4+)内两根，设f(x)＝x－(4－7p)x＋(2p＋)，
2241p4?7pppp所以<<4+即p<，且f()>0、f(4+)>0即p>－4＋32。
2222221结合以上，所以－4＋32 3【注】 本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”，其中特别要注意解的范围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用。 例4. 设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m讨论是否，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。(85年高考) 【分析】集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n线L的距离≥12。 【解】 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n 2＋15} (m∈Z)，C＝{(x,y)|x 2＋y 2≤144}， 2＋15(n∈Z)有解（A∩B时x＝n 2＋15上，且直线与圆x 2＋y 2＝144有公共点，但原点到直 2＋15 ; 2＋15上，且直线与圆x 2＋y 2＝144有公共点， |3n2?15|所以圆心到直线距离d＝ n?1现了对有公共点问题的恰当处理方法。 本题直接运用代数方法进行解答的思路是： 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n由(a,b)∈C得，a 2＝3( n2?1＋ 4n?12)≥12 ∵ n为整数 ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在。 【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体 2＋15 ,即b＝3n 2＋15－an （①式）； 2＋b 2≤144 （②式）； 把①式代入②式，得关于a的不等式： (1＋n 2)a 2－2n(3n 2＋15)a＋(3n 2＋15) 22－144≤0 （③式）, )[(3n 它的判别式△＝4n 2(3n 2＋15) 2－4(1＋n 2＋15) 2－144]＝－36(n 2－3) 2 因为n是整数，所以n 2－3≠0,因而△<0，又因为1＋n 2>0,故③式不可能有实数解。 所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立 Ⅲ、巩固性题组： 1. 已知5x＋12y＝60，则 A. x2?y2的最小值是_____。 131360 B. C. D. 1 135122. 已知集合P＝{(x,y)|y＝ 9?x2}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是____。 29 30 A. |b|<3 B. |b|≤33. 方程2 2 C. －3≤b≤32 D. －3 x＝x 2＋2x＋1的实数解的个数是_____。 A. 1 B. 2 C. 3 D.以上都不对 4. 方程x＝10sinx的实根的个数是_______。 5. 若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。 6. 设z＝cosα＋ 1ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。 22＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______。 7. 若方程x8. sin 2－3ax＋2a 220°＋cos 280°＋ 3sin20°2cos80°＝____________。 9. 解不等式： ?x2?2x>b－x 2?x?2x?a≤0的解集，试确定a、b的取值范围，使得AB。 （90年高考副题）?10. 设A＝{x|<1x<3}，又设B是关于x的不等式组 ??2??x?2bx?5≤011. 定义域内不等式2?x〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。 12. 已知函数y＝ (x?1)2?1＋(x?5)2?9，求函数的最小值及此时x的值。 13. 已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。 14. 若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值范围。 二、分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A ?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 3＋a＋1)，q＝loga(a 2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。 A. p＝q B. p cosxtgx|ctgx|sinx＋＋＋的值域是_________。 |sinx||cosx||tgx|ctgxπ4.若θ∈(0, 25.函数y＝x＋ cosnθ?sinnθ)，则lim n→∞cosnθ＋sinnθ的值域是_____。 的值为_____。 A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1 1xA. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2] 6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。 30 31 A. 893 B. 493 C. 293 D. 49839或 3 7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。 A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定 【简解】1小题：对参数a分a>0、a＝0、a<0三种情况讨论，选B； 2小题：对底数a分a>1、0 3小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}； ????4小题：分θ＝、0<θ<、<θ<三种情况，选D； 44425小题：分x>0、x<0两种情况，选B； 6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D； 7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 设0 【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。 【解】 ∵ 0 |loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)－[－loga(1＋x)]＝loga(1－x② 当a>1时，loga(1－x)<0，loga(1＋x)>0，所以 |loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x) －loga(1＋x)＝－loga(1－x由①、②可知，|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|。 【注】本题要求对对数函数y＝logax的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0 号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性。 例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： ①. C个元素； ②. C∩A≠φ 。 【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。 【解】 C122C8＋C122C8＋C122C8＝1084 【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C20－C8＝1084。 例3. 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和。 ①. 证明： 2)>0; 2)>0； ?A∪B且C中含有3 12213033lgSn?lgSn?22 使得 lg(Sn?c)?lg(Sn?2?c)＝lg（Sn?1－c）成立？并证明结论。(95年全国理) 2【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分【解】 设{an}的公比q，则a1>0，q>0 ①．当q＝1时，Sn＝na1，从而SnSn?2－Sn?1q＝1和q≠1两种情况。 2＝na1(n＋2)a1－(n＋1) 2a12＝－a12<0； a1(1?qn) 当q≠1时，Sn＝，从而 1?qSnSn?2－Sn?122nn?2n?12a(1?q)(1?q)a)121(1?q＝－ (1?q)2(1?q)2＝－a12q n<0； 31 32 由上可得SnSn?2 2 ②. 要使 lg(Sn?c)?lg(Sn?2?c)2＝lg（Sn?1－c）成立，则必有(Sn－c)(Sn?2－c)＝(Sn?1－c), 2分两种情况讨论如下： 当q＝1时，Sn＝na1，则 (Sn－c)(Sn?2－c)－(Sn?1－c) 2＝(na1－c)[(n＋2)a1－c]－[(n＋1)a1－c] 2＝－a12<0 a1(1?qn)a1(1?qn)a1(1?qn?2)2当q≠1时，Sn＝，则(Sn－c)(Sn?2－c)－(Sn?1－c)＝[－c][ －c]－ 1?q1?q1?qa1(1?qn?1)2n[－c]＝－a1q[a1－c(1－q)] 1?qa1n∵ a1q≠0 ∴ a1－c(1－q)＝0即c＝ 1?qa1a1qn而Sn－c＝Sn－＝－<0 ∴对数式无意义 1?q1?qlg(Sn?c)?lg(Sn?2?c)由上综述，不存在常数c>0, 使得＝lg（Sn?1－c）成立。 2log0.5Sn?log0.5Sn?2【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明 2科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。 例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。 例4. 设函数f(x)＝ax >log0.5Sn?1 ，和理 2－2x＋2，对于满足1 【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。 【解】当a>0时，f(x)＝a（x－ 1 4 x 1 4 x 1a） 2＋2－ 1a?1?11??4??a?≤1∴ ?a或? 11?f()＝2??0??f(1)＝a?2?2≥0?a?a?1?≥4或?a ??f(4)＝16a?8?2≥011∴ a≥1或 22?f(1)＝a?2?2≥0当a<0时，?，解得φ； f(4)＝16a?8?2≥0? 32 q D.当a>1时，p>q；当0