.高中数学解题思想方法全部内容doc

13

k(k?1)2k(k?1)2(3k+11k+10) +(k+1)(k+2)=(k

1212(k?1)(k?2)2(k?1)(k?2)22+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)=(3k+5k+12k+24)=[3(k+1)+11(k+1)+10],

1212当n=k+1时,122

2+223

2+?+k(k+1)

2+(k+1)(k+2)

2=

也就是说,等式对n=k+1也成立。

综上所述,当a=8、b=11、c=10时,题设的等式对一切自然数n都成立。

【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中,也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时,可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列1以抓住通项的拆开,运用数列求和公式而直接求解:由n(n+1)

3+2

32+?+n+223

3、1

2+2

2+?+n

23求和的公式,也可+2

2=n

3+2n

2+n得Sn=122

2+?+n(n+1)

2=(1

3+?+n

3)

+2(1

2+2

2+?+n

2n2(n?1)2)+(1+2+?+n)=

4+23

n(n?1)(2n?1)n(n?1)n(n?1)2+=(3n+11n+

126210),综上所述,当a=8、b=11、c=10时,题设的等式对一切自然数n都成立。

例4. 有矩形的铁皮,其长为30cm,宽为14cm,要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形,将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问x为何值时,矩形盒子容积最大,最大容积是多少?

【分析】实际问题中,最大值、最小值的研究,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。 【解】 依题意,矩形盒子底边边长为(30-2x)cm,底边宽为(14-2x)cm,高为xcm。 ∴ 盒子容积 V=(30-2x)(14-2x)x=4(15-x)(7-x)x , 显然:15-x>0,7-x>0,x>0。

4(15a-ax)(7b-bx)x (a>0,b>0) ab??a?b?1?0要使用均值不等式,则?

15a?ax?7b?bx?x?设V=解得:a=

14, b=

3 , x=3 。 415216415x213644?4364从而V=(-)(-x)x≤()=327=576。

34444333所以当x=3时,矩形盒子的容积最大,最大容积是576cm

3。

【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件,当条件不满足时要凑配系数,可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V=

4ab(15a

4-ax)(7-x)bx 或 (15-x)(7a-ax)bx,再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组,求出三项该进行凑配的系数,本题也体现了“凑配法”

ab和“函数思想”。

Ⅲ、巩固性题组:

1. 函数y=logax的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1,则a的取值范围是_____。

A. 2>a>

1且a≠1 B. 02或0

2. 方程x

22+qx+p=0只有一个公共根,则其余两个不同根之和为_____。

A. 1 B. -1 C. p+q D. 无法确定 3. 如果函数y=sin2x+a2cos2x的图像关于直线x=-

A.

π8对称,那么a=_____。

2 B. -2 C. 1 D. -1

13

14

4. 满足Cn+12Cn+22Cn+?+n2Cn<500的最大正整数是_____。

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 无穷等比数列{an}的前n项和为Sn=a-

A. -

012n12n , 则所有项的和等于_____。

1 B. 1 C. 1 D.与a有关 229=b0+b1x+b2x

,若b0+b1+b2+?+b9=-1,则k=______。

7. 经过两直线11x-3y-9=0与12x+y-19=0的交点,且过点(3,-2)的直线方程为_____________。

8. 正三棱锥底面边长为2,侧棱和底面所成角为60°,过底面一边作截面,使其与底面成30°角,则截面面积为______________。

9. 设y=f(x)是一次函数,已知f(8)=15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列,求f(1)+f(2)+?+f(m)的值。

10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2),对称轴与x轴平行,开口向右,直线y=2x+7和抛物线截得的线段长是4

四、定义法

所谓定义法,就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等,都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

定义是千百次实践后的必然结果,它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说,定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题,是最直接的方法,本讲让我们回到定义中去。

Ⅰ、再现性题组:

1. 已知集合A中有2个元素,集合B中有7个元素,A∪B的元素个数为n,则______。

A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7 2. 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线,则_____。

A. MP

3. 复数z1=a+2i,z2=-2+i,如果|z1|< |z2|,则实数a的取值范围是_____。

A. -11 C. a>0 D. a<-1或a>1

10, 求抛物线的方程。

6. (1+kx)

2+?+b9x

9x2y24. 椭圆+

2595=1上有一点P,它到左准线的距离为,那么P点到右焦点的距离为_____。

275A. 8 C. 7.5 C. D. 3

4T5. 奇函数f(x)的最小正周期为T,则f(-)的值为_____。

2TA. T B. 0 C. D. 不能确定

26. 正三棱台的侧棱与底面成45°角,则其侧面与底面所成角的正切值为_____。 【简解】1小题:利用并集定义,选B; 2小题:利用三角函数线定义,作出图形,选B;

a2?22<5,选A; |PF左|44小题:利用椭圆的第二定义得到=e=,选A;

552TTT5小题:利用周期函数、奇函数的定义得到f(-)=f()=-f(-

2223小题:利用复数模的定义得

6小题:利用线面角、面面角的定义,答案2。 Ⅱ、示范性题组:

),选B;

例1. 已知z=1+i, ① 设w=z理)

2z2?az?b+3z-4,求w的三角形式; ② 如果=1-i,求实数a、b的值。(94年全国

z2?z?1 14

15

【分析】代入z进行运算化简后,运用复数三角形式和复数相等的定义解答。 【解】由z=1+i,有w=z

2+3z-4=(1+i)

2+3

(1?i)-4=2i+3(1-i)-4=-1-i,w的三角形式是2(cos

5?4+i

sin

5?4);

z2?az?b(1?i)2?a(1?i)?b(a?b)?(a?2)i由z=1+i,有===(a+2)-(a+b)i。

iz2?z?1(1?i)2?(1?i)?1由题设条件知:(a+2)-(a+b)i=1+i;

?a?2?1根据复数相等的定义,得:?,

?(a?b)??1?解得

?a??1。 ??b?23【注】求复数的三角形式,一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义,由实部、虚部分别相等而建立方程组,这是复数中经常遇到的。

例2. 已知f(x)=-x

n+cx,f(2)=-14,f(4)=-252,求y=log

22f(x)的定义域,判定在(

22,1)上的单调性。

【分析】要判断函数的单调性,必须首先确定n与c的值求出函数的解析式,再利用函数的单调性定义判断。

n??n?4?f(2)??2?2c??14【解】 ? 解得:?

nc?1???f(4)??4?4c??252 ∴ f(x)=-x

4+x 解f(x)>0得:0

3设

22

∵ x1+x2>

32, x12+x223>

42 ∴ (x1+x2)( x12+x223)〉

323

42=1

3∴ f(x1)-f(x2)>0即f(x)在(

22,1)上是减函数

223<1 ∴ y=log

22f(x) 在(

22,1)上是增函数。

【注】关于函数的性质:奇偶性、单调性、周期性的判断,一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中,运用了待定系数法和换元法。

例3. 如图,已知A’B’C’—ABC是正三棱柱,D是AC中点。 ① 证明:AB’∥平面DBC’;

② 假设AB’⊥BC’,求二面角D—BC’—C的度数。(94年全国理)

【分析】 由线面平行的定义来证①问,即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得;由二面角的平面角的定义作出平面角,通过解三角形而求②问。

【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD ∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ∴ 四边形B’BCC’是矩形 ∴ O是B’C中点

△AB’C中, D是AC中点 ∴ AB’∥OD

O H B’ B

A’ A D C’ C 15

16

∴ AB’∥平面DBC’ ②

作DH⊥BC于H,连接OH ∴ DH⊥平面BC’C

∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD ∴ BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。

设AC=1,作OE⊥BC于E,则DH=

12sin60°=

313,BH=,EH=

444 ;

Rt△BOH中,OH

23=BH3EH=,

16∴ OH=

34=DH ∴∠DOH=45°,即二面角D—BC’—C的度数为45°。

【注】对于二面角D—BC’—C的平面角,容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义,两边垂直于棱,抓住平面角的作法,先作垂直于一面的垂线DH,再证得垂直于棱的垂线DO,最后连接两个垂足OH,则∠DOH即为所求,其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练,在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。

此题文科考生的第二问为:假设AB’⊥BC’,BC=2,求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义,先作平面的垂线,

EF连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下:作AE⊥BC于E,连接B’E即所求,易得到OE∥B’B,所以

BF122中,易得到BF⊥BE,由射影定理得:B’E3EF=BE即B’E=1,所以B’E=3。

31例4. 求过定点M(1,2),以x轴为准线,离心率为的椭圆的下顶点的轨迹方程。

2|AF|1可以得到=建立一个方程,再由离心率的定义建立一个方程。

22得到:

OE1==B'B21,EF=B’E。在Rt△B’BE

3 y M F A x 【分析】运动的椭圆过定点M,准线固定为x轴,所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义,

【解】设A(x,y)、F(x,m),由M(1,2),则椭圆上定点M到准线距离为2,下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义,

1?4222(x?1)?(m?2)?32(y?)?2?32 ,消m得:(x-1)+?m?y12??()2?23?y4(y?)23=1。 2所以椭圆下顶点的轨迹方程为(x-1)+

2()23=1,

【注】求曲线的轨迹方程,按照求曲线轨迹方程的步骤,设曲线上动点所满足的条件,根据条件列出动点所满足的关系式,进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组,消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程,即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时,巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地,圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题,常用定义法解决;求圆锥曲线的方程,也总是利用圆锥曲线的定义求解,但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。

Ⅲ、巩固性题组: 1.

函数y=f(x)=a

x+k的图像过点(1,7),它的反函数的图像过点(4,0),则f(x)的表达式是___。

2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1,则∠A1FB1等于_____。

?A},则下列关系正确的是_____。

A. A?B B. A?B C. A∈B D. A?B

3. 已知A={0,1},B={x|x

A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°

16

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@)