13
k(k?1)2k(k?1)2(3k＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k
1212(k?1)(k?2)2(k?1)(k?2)22＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，
1212当n＝k＋1时，122
2＋223
2＋?＋k(k＋1)
2＋(k＋1)(k＋2)
2＝
也就是说，等式对n＝k＋1也成立。
综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列1以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1)
3＋2
32＋?＋n＋223
3、1
2＋2
2＋?＋n
23求和的公式，也可＋2
2＝n
3＋2n
2＋n得Sn＝122
2＋?＋n(n＋1)
2＝(1
3＋?＋n
3)
＋2(1
2＋2
2＋?＋n
2n2(n?1)2)＋(1＋2＋?＋n)＝
4＋23
n(n?1)(2n?1)n(n?1)n(n?1)2＋＝(3n＋11n＋
126210)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？
【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。 【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。 ∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ， 显然:15－x>0，7－x>0，x>0。
4(15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0） ab??a?b?1?0要使用均值不等式，则?
15a?ax?7b?bx?x?设V＝解得：a＝
14， b＝
3 ， x＝3 。 415216415x213644?4364从而V＝(－)(－x)x≤()＝327＝576。
34444333所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm
3。
【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V＝
4ab(15a
4－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”
ab和“函数思想”。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 函数y＝logax的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，则a的取值范围是_____。
A. 2>a>
1且a≠1 B. 0 2. 方程x 22＋qx＋p＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_____。 A. 1 B. －1 C. p＋q D. 无法确定 3. 如果函数y＝sin2x＋a2cos2x的图像关于直线x＝－ A. π8对称，那么a＝_____。 2 B. －2 C. 1 D. －1 13 14 4. 满足Cn＋12Cn＋22Cn＋?＋n2Cn<500的最大正整数是_____。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 无穷等比数列{an}的前n项和为Sn＝a－ A. － 012n12n , 则所有项的和等于_____。 1 B. 1 C. 1 D.与a有关 229＝b0＋b1x＋b2x ，若b0＋b1＋b2＋?＋b9＝－1，则k＝______。 7. 经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_____________。 8. 正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为______________。 9. 设y＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋?＋f(m)的值。 10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y＝2x＋7和抛物线截得的线段长是4 四、定义法 所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。 定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。 Ⅰ、再现性题组： 1. 已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。 A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7 2. 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。 A. MP 3. 复数z1＝a＋2ｉ，z2＝－2＋ｉ，如果|z1|< |z2|，则实数a的取值范围是_____。 A. －1 10, 求抛物线的方程。 6. (1＋kx) 2＋?＋b9x 9x2y24. 椭圆＋ 2595＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为_____。 275A. 8 C. 7.5 C. D. 3 4T5. 奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－)的值为_____。 2TA. T B. 0 C. D. 不能确定 26. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。 【简解】1小题：利用并集定义，选B； 2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B； a2?22<5，选A； |PF左|44小题：利用椭圆的第二定义得到＝e＝，选A； 552TTT5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－)＝f()＝－f(－ 2223小题：利用复数模的定义得 6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。 Ⅱ、示范性题组： )，选B； 例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 设w＝z理） 2z2?az?b＋3z－4，求w的三角形式； ② 如果＝1－ｉ，求实数a、b的值。（94年全国 z2?z?1 14 15 【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。 【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z 2＋3z－4＝(1＋ｉ) 2＋3 (1?i)－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是2（cos 5?4＋ｉ sin 5?4）； z2?az?b(1?i)2?a(1?i)?b(a?b)?(a?2)i由z＝1＋ｉ，有＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。 iz2?z?1(1?i)2?(1?i)?1由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ； ?a?2?1根据复数相等的定义，得：?， ?(a?b)??1?解得 ?a??1。 ??b?23【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。 例2. 已知f(x)＝－x n＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log 22f(x)的定义域，判定在( 22,1)上的单调性。 【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。 n??n?4?f(2)??2?2c??14【解】 ? 解得：? nc?1???f(4)??4?4c??252 ∴ f(x)＝－x 4＋x 解f(x)>0得：0 3设 22 ∵ x1+x2> 32， x12+x223> 42 ∴ (x1+x2)( x12+x223)〉 323 42＝1 3∴ f(x1)－f(x2)>0即f(x)在( 22,1)上是减函数 ∵ 223<1 ∴ y＝log 22f(x) 在( 22,1)上是增函数。 【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法。 例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。 ① 证明：AB’∥平面DBC’； ② 假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全国理） 【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。 【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD ∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ∴ 四边形B’BCC’是矩形 ∴ O是B’C中点 △AB’C中， D是AC中点 ∴ AB’∥OD O H B’ B A’ A D C’ C 15 16 ∴ AB’∥平面DBC’ ② 作DH⊥BC于H，连接OH ∴ DH⊥平面BC’C ∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD ∴ BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。 设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝ 12sin60°＝ 313，BH＝，EH＝ 444 ； Rt△BOH中，OH 23＝BH3EH＝， 16∴ OH＝ 34＝DH ∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。 【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。 此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线， EF连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以 BF122中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E3EF＝BE即B’E＝1，所以B’E＝3。 31例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点的轨迹方程。 2|AF|1可以得到＝建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。 22得到： OE1＝＝B'B21，EF＝B’E。在Rt△B’BE 3 y M F A x 【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义， 【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义， 1?4222(x?1)?(m?2)?32(y?)?2?32 ，消m得：（x－1）＋?m?y12??()2?23?y4(y?)23＝1。 2所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1）＋ 2()23＝1， 【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。 Ⅲ、巩固性题组： 1． 函数y＝f(x)＝a x＋k的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则f(x)的表达式是___。 2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1,则∠A1FB1等于_____。 ?A}，则下列关系正确的是_____。 A. A?B B. A?B C. A∈B D. A?B 3. 已知A＝{0,1}，B＝{x|x A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 16