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【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log24(a?1)、
alog22a(a?1)2、log2a?14a2三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。
一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。
sinθ例5. 已知
xsinθ【解】 设
xcosθ＝
ycosθ＝
ycos2θ，且
x2sin2θ＋
y2＝
x10 (②式)，求
y3(x2?y2)2θ＋cos
的值。
＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin
2θ＝k
2(x
2+y
2k2y2)＝1,代入②式得：
x2＋
k2x2y2设
10k210＝＝
33(x2?y2) 即：
y2x2＋
x2y2＝
10 3＝±
x2y2110x1＝t，则t＋＝ , 解得：t＝3或 ∴
t33y3或±
3 3，再表示成含tgθ的式子：1＋tg
sinθcos2θ【另解】 由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以
cosθx21021022(1?tg2?)?＝tgθ，设tgθ＝t，则3t—10t＋3＝0，
133(1?2)tg?xy4θ＝
∴t＝3或
x1， 解得3y＝±
3或±
3。 3而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为
【注】 第一种解法由
sinθx＝
cosθyxy＝
sinθcosθ，
不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
(x?1)2(y?1)2例6. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
916(x?1)2(y?1)222【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，于是实施三角换元。
916x?1y?1(x?1)2(y?1)2【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ，
34916?x?1?3cosθ即：? 代入不等式x＋y－k>0得：
y??1?4sinθ?3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。
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本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组
?16(x?1)2?9(y?1)2?144有相等的一组实数解，消元后由△＝0可??x?y?k?0求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。
Ⅲ、巩固性题组： 1. 已知f(x
y x
x＋y－k>0 k 平面区域
3)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
122A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4 3332. 函数y＝(x＋1)
4＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1] 3. 设等差数列{an}的公差d＝
1，且S＝145，则a＋a＋a＋??＋a的值为_____。
991001352A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知x
2＋4y
2＝4x，则x＋y的范围是_________________。
5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则
a?12＋
b?12的范围是____________。
6. 不等式
x>ax＋
7. 函数y＝2x＋
3的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。 2x?1的值域是________________。
28. 在等比数列{an}中，a1＋a2＋?＋a10＝2，a11＋a12＋?＋a30＝12，求a31＋a32＋?＋a60。 9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sin10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x
x＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
2＋y
2＝2 (x>0,y>0)上移动，
y D C A B
O x 且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。
三、待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)
?g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)?g(a)；或者两个多项
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，
式各同类项的系数对应相等。
就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ① 利用对应系数相等列方程； ② 由恒等的概念用数值代入法列方程； ③ 利用定义本身的属性列方程； ④ 利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
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Ⅰ、再现性题组： 1. 设f(x)＝
2.
x?1＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。 25555A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2
2222112二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____。
23A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
3. 在(1－x
3)（1＋x）
10的展开式中，x
5的系数是_____。
A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4.
31函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为，最小值为－
222－
，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。
5. 与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。
6. 与双曲线x
y24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。
x?1＋m求出f(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C； 2111122小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，
2323【简解】1小题：由f(x)＝选D；
3小题：分析x
5的系数由C10与(－1)C10两项组成，相加后得x
525的系数，选D；
2?4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案
36小题：设双曲线方程xⅡ、示范性题组：
；
5小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；
2－
y24x2＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程
3y2－
12＝1。
例1.
mx2?43x?n已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。 2x?12【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。
【解】 函数式变形为： (y－m)x∴ △＝(－4
－4
3x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0
2－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，
3)2－4(y－m)(y－n)≥0 即： y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y
?m?5?m?1?1?(m?n)?mn?12?0代入两根得：? 解得：?或?
n?149?7(m?n)?mn?12?0n?5???5x2?43x?1x2?43x?5∴ y＝或者y＝
x2?1x2?1 11
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此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y
2－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：
?m?n?6，解出m、n而求得?mn?12??7?函数式y。
【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。
例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是
10－5，求椭圆的方程。
【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程。
【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a
y B’ x A F O’ F’ A’ B
?a?b?c??2?a?1022 ∴ ?a?a?(2b) 解得：?
???b?5a?c?10?5?x2y2 ∴ 所求椭圆方程是：＋＝1
105222也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如
?b?c?10?5 ，更容易求出a、b的值。 下列式： ?a?c??222?a?b?c【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式。
一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。
例3. 是否存在常数a、b、c，使得等式122结论。 （89年全国高考题）
【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。
【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝
2＋223
2＋?＋n(n＋1)
2＝
n(n?1)2(an＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的
1211(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得： 62?a?b?c?24?a?3???4a?2b?c?44,解得?b?11， ?9a?3b?C?70?c?10??于是对n＝1、2、3，等式122该等式都成立：
假设对n＝k时等式成立，即122
2＋223
2＋?＋n(n＋1)
2n(n?1)2＝(3n＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，
122＝
2＋223
2＋?＋k(k＋1)
k(k?1)2(3k＋11k＋10)；
1212