49
?2k2x?2?(x?1)2?k?222∴ ? 消k得2x－4x－y＝0即
14k?y??2k2?2?(x?1)2y2线段P1P2的中点P的轨迹方程是：－＝1
122② 设所求直线m的方程为：y＝k(x－1)＋1
－
y22＝1
?y?k(x?1)?1?22222∴ ? 消y得(2－k)x＋(2k－2k)x＋2k－k－3＝0 y2?x?2?1?2k2?2k∴ x1＋x2＝＝232 ∴k＝2
k2?2代入消y后的方程计算得到：△<0， ∴满足题中条件的直线m不存在。
【注】本题综合性比较强，将解析几何知识进行了横向综合。对于直线与曲线的交点问题和有关交点弦长及其中点的问题，一般可以利用韦达
定理和根的判别式求解。本题属于存在型问题，其一般解法是：假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。在解题思路中，分析法与反证法起了关键作用。这类问题一般是先列出条件组，通过等价转化解组。
【例3】设{an}是正数组成的数列，其前n项的和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。 ① 写出数列{an}的前3项； ② 求数列{an}的通项公式（写出推证过程）； ③ 令bn＝b2＋?＋bn－n)。(94年全国高考题)
【分析】由题意容易得到
12（
an?1an＋
anan?1） (n∈N)，求
n→∞
lim
(b1＋
an?2＝2Sn2，由此而求得a1、a2、a3，通过观察猜想an，再用数学归纳法证明。求出an后，代
入不难求出bn，再按照要求求极限。
a1?2【解】① ∵ ＝2S＝2a1 ∴ a1＝2 12a2?2∵ ＝2S2＝2(a1?a2)＝2(2?a2) ∴ a2＝6
2a3?2∵ ＝2S＝2(a1?a2?a3)＝2(8?a3) ∴a3＝10 32所以数列{an}的前3项依次为2、6、10。
② 由数列{an}的前3项依次为2、6、10猜想an＝4n－2， 下面用数学归纳法证明an＝4n－2： 当n＝1时，通项公式是成立的；
假设当n＝k时结论成立，即有ak＝4k－2，
ak?2由题意有＝2Sk2,将ak＝4k－2代入得到：Sk＝2k
2；
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50
当n＝k＋1时，由题意有
ak?1?2＝2Sk?12＝
2(Sk?ak?1)
－4ak?1＋4－16k
∴ (
ak?1?222)＝2(ak?1＋2k) 即ak?1222＝0
由ak?1>0，解得ak?1＝2＋4k＝4(k＋1)－2， 所以n＝k＋1时，结论也成立。
综上所述，上述结论对所有的自然数n都成立。
1an?1an14n?24n?2（＋）－1＝（＋－2）
24n?24n?22anan?112n?12n?111＝[（－1）＋(－1)]＝－ 22n?12n?12n?12n?1111111b1＋b2＋?＋bn－n＝c1＋c2＋?＋cn＝（1－）+（－）＋?＋(－)＝1－
3352n?12n?12n?11∴lim(b1＋b2＋?＋bn－n)＝lim(1－)＝1 n→∞n→∞2n?1③ 设cn＝bn－1＝
【注】本题求数列的通项公式，属于猜想归纳型问题，其一般思路是：从最简单、最特殊的情况出发，推测出结论，再进行严格证明。第③问对极限的求解，使用了“裂项相消法”，设立新的数列cn具有一定的技巧性。
此外，本题第②问数列通项公式的求解，属于给出数列中Sn与an的函数关系式求an，对此类问题我们还可以直接求解，解答思路是由an?1＝Sn?1－Sn的关系转化为数列通项之间的递推关系，再发现数列的特征或者通过构造新的数列求解。具体的解答过程是：
an?211由题意有＝2Sn，整理得到Sn＝(an＋2)2，所以Sn?1＝(an?1＋2)2，
288122∴ an?1＝Sn?1－Sn＝[(an?1＋2)－(an＋2)]
8整理得到(an?1＋an)( an?1－an－4)＝0
由题意an>0可以得到：an?1－an－4＝0,即an?1－an＝4
∴数列{an}为等差数列，其中a1＝2，公差d＝4，即通项公式为an＝4n－2。
xn(xn2?3)【例4】已知x1>0，x1≠1，且xn?1＝ (n∈N)，比较xn与xn?1的大小。(86年全国理)
3xn2?1【分析】比较xn与xn?1的大小，采用“作差法”，判别差式的符号式，分情况讨论。
xn(xn2?3)2xn(1?xn2)【解】xn?1－xn＝－xn＝
3xn2?13xn2?1由x1>0及数列{xn}的定义可知，xn>0，所以xn?1－xn与1－xn假定x1<1，当n＝1时，1－x12的符号相同。
2>0；假设n＝k时1－xk2>0，那么当n＝k＋1时，
232(1?x)x(x?3)kkk221－xk?1＝1－[]＝
(3xk2?1)23xk2?1假定x1>1，当n＝1时，1－x1>0，因此对一切自然数n都有1－xn2>0,即xn 2<0；假设n＝k时1－xk2<0，那么当n＝k＋1时， 1－xk?12xk(xk2?3)2(1?xk2)3＝1－[]＝ 2(3xk2?1)23xk?1<0，因此对一切自然数n都有1－xn2<0,即xn 50