复变函数试题与答案

?z3?i7.函数w?3将角形域0?argz?映射为 ( )

3z?i(A)w?1 (B)w?1 (C) Im(w)?0 (D)Im(w)?0 8.将点z?1,i,?1分别映射为点w??,?1,0的分式线性变换为( )

(B) w??z?1z?1 (B)w? z?11?ziiz?1z?1 (D) w?e2 1?zz?1?(C)w?e29.分式线性变换w?2z?1把圆周z?1映射为( ) 2?z(E) w?1 (B) w?2 (F) w?1?1 (D) w?1?2

10.分式线性变换w?z?1将区域:z?1且Im(z)?0映射为( ) 1?z(A)??2?argw?? (B) ??2?argw?0

(C)

?2?argw?? (D)0?argw??2

11.设a,b,c,d,为实数且ad?bc?0,那么分式线性变换w?平面的( )

az?b把上半平面映射为wcz?d(A)单位圆内部 (B)单位圆外部 (C)上半平面 (D)下半平面

12.把上半平面Im(z)?0映射成圆域w?2且满足w(i)?0,w?(i)?1的分式线性变换

w(z)为( )

(A)2ii?zz?ii?zz?i (B)2i (C)2 (D)2 i?zz?ii?zz?i13.把单位圆z?1映射成单位圆w?1且满足w()?0,w?(0)?0的分式线性变换w(z)为( )

(A)

i22z?ii?2z2z?ii?2z

(B) (C) (D) 2?iz2?iz2?iz2?iz

14.把带形域0?Im(z)??2映射成上半平面Im(w)?0的一个映射可写为( )

iz(A)w?2ez (B)w?e2z (C)w?iez (D)w?e

ez?1?i15.函数w?z将带形域0?Im(z)??映射为( )

e?1?i(A)Re(w)?0 (B)Re(w)?0 (C)w?1 (D)w?1 二、填空题

1.若函数f(z)在点z0解析且f?(z0)?0,那么映射w?f(z)在z0处具有 . 2.将点z?2,i,?2分别映射为点w??1,i,1的分式线性变换为 .

3.把单位圆z?1映射为圆域w?1?1且满足w(0)?1,w?(0)?0的分式线性变换w(z)? 4.将单位圆z?1映射为圆域w?R的分式线性变换的一般形式为 .

5.把上半平面Im(z)?0映射成单位圆w(z)?1且满足w(1?i)?0,w(1?2i)?线性变换的w(z)= .

1的分式36.把角形域0?argz??4映射成圆域w?4的一个映射可写为 .

7.映射w?ez将带形域0?Im(z)?3?映射为 . 48.映射w?z3将扇形域:0?argz??3且z?2映射为 .

9.映射w?lnz将上半z平面映射为 . 10.映射w?11(z?)将上半单位圆:z?2且Im(z)?0映射为 . 2z三、设w1(z)?a1z?b1az?b2,w2(z)?2是两个分式线性变换,如果记

c1z?d1c2z?d2?a1??c?1b1??d1???1??????????a1b1??a2?,??cd????????11??c2?1b2??ab?????cd?? d2????试证1.w1(z)的逆变换为w1(z)??z??;

?z??az?b.

cz?d2.w1(z)与w2(z)的复合变换为w1[w2(z)]?四、设z1与z2是关于圆周?:z?a?R的一对对称点,试证明圆周?可以写成如下形式

z1?az?z1R??其中???.

z?z2z2?aR五、求分式线性变换w(z),使z?1映射为w?1,且使z?1,1?i映射为w?1,?.

六、求把扩充复平面上具有割痕:Im(z)?0且???Re(z)?0的带形域???Im(z)??映射成带形域???Im(w)??的一个映射.

七、设b?a?0,试求区域D:z?a?a且z?b?b到上半平面Im(w)?0的一个映射

w(z).

八、求把具有割痕:Im(w)?0且

1?Re(z)?1的单位圆z?1映射成上半平面的一个映射. 2??5??映射为同心圆环域1?w?R,2?九、求一分式线性变换,它把偏心圆域?z:z?1且z?1?并求R的值.

x2y2十、利用儒可夫斯基函数,求把椭圆2?2?1的外部映射成单位圆外部w?1的一个映射.

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第二章 复数与复变函数

一、1.(B) 2.(A) 3.(D) 4.(C) 5.(B)

6.(A) 7.(D) 8.(B) 9.(D) 10.(C)

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