复变函数试题与答案

11.Res[z2e(A)?1z?i,i]? ( )

1515?i (B)??i (C)?i (D)?i 666612.下列命题中,不正确的是( )

(A)若z0(??)是f(z)的可去奇点或解析点,则Res[f(z),z0]?0 (B)若P(z)与Q(z)在z0解析,z0为Q(z)的一级零点,则Res[(C)若

P(z0)P(z),z0]? Q(z)Q?(z0)z0为

f(z)的m级极点,n?m为自然数,则

1dnRes[f(z),z0]?limn[(z?z0)n?1f(z)]

n!x?x0dz(D)如果无穷远点?为f(z)的一级极点,则z?0为f()的一级极点,并且

1z1Res[f(z),?]?limzf()

z?0z13.设n?1为正整数,则

1dz?( ) ?nz?2z?12?i (D)2n?i n(A)0 (B)2?i (C)

14.积分

?z?32z9dz?( ) 10z?1(A)0 (B)2?i (C)10 (D)

?i 515.积分

12zsindz?( ) ?zz?1(A)0 (B)?二、填空题

?i1 (C)? (D)??i

361.设z?0为函数z3?sinz3的m级零点,那么m? . 2.函数f(z)?11cosz在其孤立奇点zk?1k???2(k?0,?1,?2,??)处的留数

Res[f(z),zk]? .

3.设函数f(z)?exp{z?21},则Res[f(z),0]? z2f?(z),a]? . f(z)4.设z?a为函数f(z)的m级极点,那么Res[5.双曲正切函数tanhz在其孤立奇点处的留数为 . 6.设f(z)?2z,则Res[f(z),?]? . 1?z21?cosz,则Res[f(z),0]? . 5z7.设f(z)?8.积分

z?1?z3edz? .

1z9.积分

1dz? . ?sinzz?1??xeixdx? . 10.积分???1?x2三、计算积分

z?zsinz?1(ez?1?z)2dz.

4四、利用留数计算积分

???0d?a2?sin2?(a?0)

五、利用留数计算积分

????x2?x?2dx 42x?10x?9六、利用留数计算下列积分: 1.

???0??cos(x?1)xsinxcos2xdxdx 2.?22??x?1x?1七、设a为f(z)的孤立奇点,m为正整数,试证a为f(z)的m级极点的充要条件是

lim(z?a)mf(z)?b,其中b?0为有限数.

z?a八、设a为f(z)的孤立奇点,试证:若f(z)是奇函数,则Res[f(z),a]?Res[f(z),?a];若f(z)是偶函数,则Res[f(z),a]??Res[f(z),?a]. 九、设f(z)以a为简单极点,且在a处的留数为A,证明limz?af?(z)1?f(z)2?1. A十、若函数?(z)在z?1上解析,当z为实数时,?(z)取实数而且?(0)?0,f(x,y)表示

2??(x?iy)的虚部,试证明?0tsin?f(cos?,sin?)d????(t)

1?2tcos??t2(?1?t?1)

第六章 共形映射

一、选择题:

21.若函数w?z?2z构成的映射将z平面上区域G缩小,那么该区域G是 ( )

(A)z?1111 (B)z?1? (C)z? (D)z?1? 22222.映射w?3z?i在z0?2i处的旋转角为( ) z?i(A)0 (B)

iz2?? (C)? (D)? 223.映射w?e在点z0?i处的伸缩率为( )

(A)1 (B)2 (C)e?1 (D)e

?4.在映射w?iz?e(A)Re(w)?4i下,区域Im(z)?0的像为( )

22 (B)Re(w)?? 2222 (D)Im(w)?? 22(C)Im(z)?5.下列命题中,正确的是( )

(A)w?zn在复平面上处处保角(此处n为自然数) (B)映射w?z?4z在z?0处的伸缩率为零

(C) 若w?f1(z)与w?f2(z)是同时把单位圆z?1映射到上半平面Im(w)?0的分式线性变换,那么f1(z)?f2(z)

(D)函数w?z构成的映射属于第二类保角映射 6.1?i关于圆周(x?2)?(y?1)?4的对称点是( )

(A)6?i (B)4?i (C)?2?i (D)i

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