在球壳外面作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为 V?包含的电量为 q = ρV，
43?(R2?R13)， 33?(R2?R13)根据高斯定理得可得球壳外的场强为 E?，(R2≦r)． ?224??0r3?0rqA点的电势为
3?(R2?R13)R13?(r?2)dr??dr UA??E?dl??Edr??0dr??23?0r3?0rrRR2rr?2 ?(R2?R12)．
2?0??AAR1R2?A1B点的电势为
3?(R2?R13)R13?R13?22(r?2)dr??dr? UB??E?dl??Edr??(3R2?rB?2)． 23?0r3?0r6?0rBrR2rr??BBR2?BA和B点的电势与前面计算的结果相同．
12．19 一圆盘，半径为R，均匀带电，面电荷密度为ζ，求： （1）圆盘轴线上任一点的电势（用该点与盘心的距离x来表示）； （2）从电场强度的和电势梯度的关系，求该点的电场强度． （此题解答与书中例题解答相同，在此省略）
12．20 （1）设地球表面附近的场强约为200V·m-1，方向指向地球中心，试求地球所带有的总电量．
-1
（2）在离地面1400m高处，场强降为20V·m，方向仍指向地球中心，试计算在1400m下大气层里的平均电荷密度．
[解答]地球的平均半径为 R =6.371×106m．
（1）将地球当作导体，电荷分布在地球表面，由于场强方向指向地面，所以地球带负量． 根据公式 E = -ζ/ε0，电荷面密度为 ζ = -ε0E；地球表面积为 S = 4πR2， 地球所带有的总电量为Q = ζS = -4πε0R2E = -R2E/k，k是静电力常量，
(6.371?106)2?200因此电量为 Q??=-9.02×105(C)． 99?10(R?h)2E`（2）在离地面高为h = 1400m的球面内的电量为 Q`??=-0.9×105(C)，
k大气层中的电荷为 q = Q - Q` = 8.12×105(C)．
由于大气层的厚度远小于地球的半径，其体积约为 V = 4πR2h = 0.714×1018(m3)， 平均电荷密度为 ρ = q/V = 1.137×10-12(C·m-3)．
第十三章 静电场中的导体和电介质
13．1 一带电量为q，半径为rA的金属球A，与一原先不带电、内外半径分
别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如何？若用导线将A和B连接起来，则A球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）
[解答]过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得 E4πr2 = q/ε0，
A o rA rC rB B P 图13.1 可得P点的电场强度为 E?q4??0r2．
当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q．用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为 U?q4??0rc．
13．2 同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则
r R2 S1 R1 通过介质内长为l，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一
点的场强为多少？
D [解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半l S 径为r、长为l的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过0εr 等于该面包含的自由电荷，即 Φd = q = λl．
设高斯面的侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为
?d???SD?dS??D?dS??D?dS??D?dS?2?rlD，
S0S1S2S2 可得电位移为 D = λ/2πr，其方向垂直中心轴向外． 电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εrr，方向也垂直中心轴向外．
13．3 金属球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心为r处有一点电荷q，求
球心o的电势为多少？
[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心
b 都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电
o 势叠加，大小为 a r 1q1?q1Q?qq Uo???4??0r4??0a4??0b
图13.3
13．4 三块平行金属板A、B和C，面积都是S = 100cm2，A、B相距d1 = 2mm，A、C相距d2 = 4mm，B、C接地，A板带有正电荷q = 3×10-8C，忽略边缘效应．求
（1）B、C板上的电荷为多少？ （2）A板电势为多少？ B A C [解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为ζ1和ζ2，所带电量分别为
q q1 = ζ1S和q2 = ζ2S，
在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程
q = q1 + q2 = ζ1S + ζ2S． ① A、B间的场强为 E1 = ζ1/ε0，
A、C间的场强为 E2 = ζ2/ε0． 图13.4 设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则
ΔU = E1d1 = E2d2， ② 即 ζ1d1 = ζ2d2． ③
解联立方程①和③得 ζ1 = qd2/S(d1 + d2)， 所以 q1 = ζ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)； q2 = q - q1 = 1×10-8(C)． B、C板上的电荷分别为 qB = -q1 = -2×10-8(C)； qC = -q2 = -1×10-8(C)．
(2)两板电势差为 ΔU = E1d1 = ζ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)， 由于 k = 9×109 = 1/4πε0，所以 ε0 = 10-9/36π， 因此 ΔU = 144π = 452.4(V)．
由于B板和C板的电势为零，所以 UA = ΔU = 452.4(V)．
q q1 q2 13．5 一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属
P B A 图13.5 导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？ [解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得
q1 + q2 = 0． ①
虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为 ζ1 = q1/S、ζ2 = q2/S、ζ = q/S，
它们产生的场强大小分别为 E1 = ζ1/ε0、E2 = ζ2/ε0、E = ζ/ε0．
在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得 E1 - E2 – E = 0，
即 ζ1 - ζ2 – ζ = 0， 或者 q1 - q2 + q = 0． ② 解得电量分别为 q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2．
13．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？
ζ1 ζ2 ζ3 ζ4 [解答]由于左板接地，所以ζ1 = 0．
由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面， 所以ζ4 = 0．由于两板带等量异号的电荷，所以ζ2 = -ζ3． 两板之间的场强为 E = ζ3/ε0，而 E = U/d， 所以面电荷密度分别为
ζ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m-2)，
图13.6 ζ2 = -ζ3 = -8.84×10-7(C·m-2)．
13．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细
24??0R2导线接地．试证：球面间电容可用公式C?表示．
R2?R1（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>R2）
[证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为
R2 o R1 RR1C1?4??0?4??012
1/R1?1/R2R2?R1外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为 C2?4??0 1．
1/R2?1/R3R3 外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时，C2 = 4πε0R2．并联电容为
4??0R2RR． C?C1?C2?4??012?4??0R2?R2?R1R2?R1方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的
叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为
2?0，
4??0R1R因此感应电荷为q`??1q．
R24??0R2根据高斯定理可得两球壳之间的场强为 E?q?q`R1qq`， ??224??0r4??0R2r负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．
取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为
R1R1U?R2?E?dl?R2?Edr?R1R2?(?R1qR1q(R2?R1)q11)dr ?(?)?24??0R2r24??0R2R1R24??0R2球面间的电容为
2q4??0R2． C??UR2?R1
13．8 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，其间一半充满相对介电常量为εr的均匀电介质，求电容C为多少？
[解答]球形电容器的电容为 R2 C?4??0RR1?4??012．
1/R1?1/R2R2?R1R1 o 对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：
εr 图13.8 2??0R1R2． C1?R2?R1当电容器中充满介质时，电容为：C2?2??0?rR1R2．
R2?R1由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：C?C1?C2?2??0(1??r)R1R2．
R2?R1 13．9 设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，求电容器的电容．
[解答]假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别d1 ε1 为 C1 = ε1S/d1和C2 = ε2S/d2．
d2 ε2 d2?2d??d111d1112总电容的倒数为 ， ?????CCC?S?S??S图13.9 121212总电容为 C??1?2S． ?2d1??1d2
13．10 圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：
（1）两极的电势差U；
r R2 S1 R1 （2）介质中的电场强度E、电位移D；
（3）电容C，它是真空时电容的多少倍？
D [解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一l 个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通
S0 ε 过高斯面的电位移通量为
?d???SD?dS??D?dS??D?dS??D?dS?2?rlD，
S0S1S2 高斯面包围的自由电荷为 q = λl，
根据介质中的高斯定理 Φd = q，
可得电位为 D = λ/2πr，方向垂直中心轴向外．
电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr，方向也垂直中心轴向外．
取一条电力线为积分路径，电势差为
R2S2 U??E?dl??Edr?LL?dr??lnR2． ?2??r2??R1R1电容为 C?q2??l． ?Uln(R2/R1)