根据余弦定理得
2 a2?r2?r`?2rr`co?s?(?， )所以 E??a， 3?0可见：空腔内任意点的电场是一个常量．还可以证明：场强的方向沿着O到O`的方向．因此空腔内的电场为匀强电场．
12．11 如图所示，在A、B两点处放有电量分别为+q和-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验电荷q 0从O点经过半圆弧路径移到C点，求移动过程中电场力所做的功．
[解答]正负电荷在O点的电势的和为零：UO = 0； D 在C点产生的电势为 A O B q?q?q-q +q C ， UC???4??03R4??0R6??0R图12.11
电场力将正电荷q 0从O移到C所做的功为
W = q0UOD = q0(UO-UD) = q0q/6πε0R．
12．12 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和B．A平面的电荷面密度为2ζ，B平面的电荷面密度为ζ，两面间的距离为d．当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为多少？
[解答]两平面产生的电场强度大小分别为 EA = 2ζ/2ε0 = ζ/ε0，EB = ζ/2ε0，
两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为 E = EA - EB = ζ/2ε0， 方向由A平面指向B平面．
两平面间的电势差为 U = Ed = ζd/2ε0，
当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为 W = qU = qζd/2ε0．
12．13 一半径为R的均匀带电球面，带电量为Q．若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？
[解答]带电球面在外部产生的场强为 E????Q4??0r2，
??Q由于 UR?U???E?dl??Edr??dr?4??0r24??0rRRRQ当UR = 0时，U???．
4??0RQ?RQ4??0R，
12．14 电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内，试证明离球心r（r Q(3R2?r2)． U?8??0R34Q3Q． ?R3，电荷的体密度为 ???33V4?R?Q利用12．10题的方法可求球内外的电场强度大小为E?（r≦R）； r?r， 3?04??0R3Q，（r≧R）． E?24??0r[证明]球的体积为V?取无穷远处的电势为零，则r处的电势为 ?R?U??E?dl??Edr??Edr??rrRrRQ4??0R3?rdr??RQ4??0r2dr?Q8??0R3Rr2r??Q4??0r? RQ(3R2?r2)． ??(R?r)?38??0R34??0R8??0RQ22Q 12．15 在y = -b和y = b两个“无限大”平面间均匀充满电荷，电荷体密度为ρ，其他地方无电荷． （1）求此带电系统的电场分布，画E-y图； （2）以y = 0作为零电势面，求电势分布，画E-y图． E` E [解答]平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`，S0 但方向相反． S2 S1 b -b o （1）在板内取一底面积为S，高为2y的圆柱面作为高斯面，场强与上 下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为 y S2 S0 ?e?E?dS?E?dS?E?dS?E?dS?2ES． SS1S2S0E` E S1 高斯面内的体积为 V = 2yS， b b 包含的电量为 q = ρV = 2ρSy， 根据高斯定理 Φe = q/ε0， 可得场强为 E = ρy/ε0， (-b≦y≦b)． 穿过平板作一底面积为S，高为2y的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES， 高斯面在板内的体积为 V = S2b，包含的电量为 q = ρV = ρS2b， 根据高斯定理 Φe = q/ε0， 可得场强为 E = ρb/ε0， (b≦y)； E = -ρb/ε0， (y≦-b )． E-y图如图所示． （2）对于平面之间的点，电势为 ?????y?y2U???E?dl???dy???C， ?02?0?y2在y = 0处U = 0，所以C = 0，因此电势为 U??，(-b≦y≦b)．这是一条开口向下的抛物线． 2?0当y≧b时，电势为U??E?dl??nqbdy??nqby?C， ???0?0?b?b2在y = b处U = -ρb/2ε0，所以C = ρb/2ε0，因此电势为U??，(b≦y)． y??02?02 2 当y≦-b时，电势为 U??E?dl???2 2 ?b?bdy?y?C， ?0?0?b?b2在y = -b处U = -ρb/2ε0，所以C = ρd/2ε0，因此电势为 U?， y??02?0?b?b2两个公式综合得 U??，(|y|≧d)． |y|??02?0这是两条直线． U-y图如右图所示．U-y图的斜率就形成E-y图，在y = ±b点，电场强度是连续的，因此，在U-y图中两条直线与抛物线在y = ±b点相切． -b E o U -b o b y b y [注意]根据电场求电势时，如果无法确定零势点，可不加积分的上下限，但是要在积分之后加一个积分常量．根据其他关系确定常量，就能求出电势，不过，线积分前面要加一个负号，即 U???E?dl这是因为积分的起点位置是积分下限． 12．16 两块“无限大”平行带电板如图所示，A板带正电，B板带负电并接地（地的电势为零），设A和B两板相隔5.0cm，板上各带电荷ζ=3.3×10-6C·m-2，求： A B （1）在两板之间离A板1.0cm处P点的电势； P 图12.16 （2）A板的电势． [解答]两板之间的电场强度为 E=ζ/ε0，方向从A指向B． 以B板为原点建立坐标系，则rB = 0，rP = -0.04m，rA = -0.05m． （1）P点和B板间的电势差为 rBrBUP?UB??E?dl??Edr?rPrP?(rB?rP)， ?0A P B o r 由于UB = 0，所以P点的电势为 3.3?10?6UP??0.04=1.493×104(V)． ?128.84?10（2）同理可得A板的电势为 UA??(rB?rA)=1.866×104(V)． ?0y r P1 x 12．17 电量q均匀分布在长为2L的细直线上，试求： （1）带电直线延长线上离中点为r处的电势； （2）带电直线中垂线上离中点为r处的电势； -L （3）由电势梯度算出上述两点的场强． [解答]电荷的线密度为λ = q/2L． （1）建立坐标系，在细线上取一线元dl，所带的电量为dq = λdl， 根据点电荷的电势公式，它在P1点产生的电势为 dU1?o l dl L 1?dl4??0r?l L???Ldl?ln(r?l)总电势为 U1??4??0?Lr?l4??0?l??Lq8??0Llnr?L． r?L（2）建立坐标系，在细线上取一线元dl，所带的电量为dq = λdl， 在线的垂直平分线上的P2点产生的电势为 dU2?积分得 ?dl， 221/24??0(r?l)?U2?4??0?q?122?ln(r?l?l)dl221/2?4??0(r?l)?LLL l??Ly P2 -L 8??0Llnr2?L2?Lr2?L2?L?q4??0Llnr2?L2?L． r r o θ lxx dl L x （3）P1点的场强大小为 E1???U1q11q1， ① ?(?)?22?r8??0Lr?Lr?L4??0r?L?U2qq1r?[?]??r4??0r4??0Lrr2?L2(r2?L2?L) 方向沿着x轴正向． P2点的场强为 E2??1r?L22， ② 方向沿着y轴正向． [讨论]习题12．3的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为 E1?2L?，由于2Lλ = q，取x = r，就得公式①． 4??0x2?L21（2）习题12．3的解答还计算了中垂线上的场强为 Ey?12L?2224??0d2d?L取d2 = r，可得公式②． 由此可见，电场强度可用场强叠加原理计算，也可以用电势的关系计算． 12．18 如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算： R2 （1）A，B两点的电势； （2）利用电势梯度求A，B两点的场强． B rB O R [解答]（1）A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A点的电1r 势就等于球心O点的电势． A A在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳，其体积为 dV = 4πr2dr， 图12.18 包含的电量为 dq = ρdV = 4πρr2dr， 在球心处产生的电势为 dUO?dq4??0r??rdr， ?0R2 O 球心处的总电势为 R1 UO???0R2R1?rdr??2(R2?R12)， 2?0r dr 这就是A点的电势UA． 过B点作一球面，B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的． 球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得 U1??2(R2?rB2)． 2?0B R2 O rB 球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B点产生的电势．球壳在球面内的体积为 V?43?(rB?R13)，包含的电量为 Q = ρV， 3 R1 这些电荷集中在球心时在B点产生的电势为 U2?Q4??0rB??3(rB?R13)． 3?0rBR13?22B点的电势为UB = U1 + U2?(3R2?rB?2)． 6?0rB（2）A点的场强为 EA???UA?0． ?rA?UBR13?B点的场强为EB???(rB?2)． ?rB3?0rB[讨论] 过空腔中A点作一半径为r的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯定理，可得空 腔中A点场强为 E = 0， (r≦R1)． 过球壳中B点作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为 V?包含的电量为 q = ρV， 根据高斯定理得方程 4πr2E = q/ε0， 4?(r3?R13)， 3R13?可得B点的场强为 E?(r?2)， (R1≦r≦R2)．这两个结果与上面计算的结果相同． 3?0r