?BBcos?11L1I2?L2I2??12dV． 22?V（1）当两个线圈顺串时，两磁场的方向相同，θ = 0，所以
11L1I2?L2I2?MI2， 222W自感系数为 L?2m?L1?L2?2M．
IWm?（2）当两个线圈反串时，两磁场的方向相反，θ = π，所以
11L1I2?L2I2?MI2， 222W自感系数为 L?2m?L1?L2?2M．
IWm?
16．20 两个共轴的螺线管A和B完全耦合，A管的自感系数L1 = 4.0×10-3H，通有电流I1 = 2A，B管的自感L2 = 9×10-3H，通有电流I2 = 4A．求两线圈内储存的总磁能．
[解答]A管储存的自能为
Wm1?11L1I12??4?10?3?22?8?10?3(J)， 22112L2I2??9?10?3?42?72?10?3(J)； 22B管储存的自能为
Wm2?由于两线圈完全耦合，互感系数为
M?L1L2?4?10?3?9?10?3?6?10?3(H)，
A管和B管储存的相互作用能为
Wm12 = MI1I2 = 6×10-3×2×4 = 48×10-3(J)， 两线圈储存的总能量为
Wm = Wm1 + Wm2 + Wm12 = 0.128(J)．
16．21 一螺绕环中心轴线的周长L = 500mm，横截面为正方形，其边长为b = 15mm，由N = 2500匝的绝缘导线均匀密绕面成，铁芯的相对磁导率μr = 1000，当导线中通有电
o 流I = 2.0A时，求：
（1）环内中心轴线上处的磁能密度；
（2）螺绕环的总磁能．
[解答]（1）设螺绕环单位长度上的线圈匝数为 n = N/L， 中心的磁感应强度为 B = μnI，其中μ = μrμ0．
磁场强度为 H = B/μ = nI， 因此中心轴线上能量密度为
b b I = 2π×104(J·m-3)．
（2）螺绕环的总体积约为V = b2L，将磁场当作匀强磁场，总磁能为
W = wV= 2π×104×(0.015)2×0.5=2.25π = 7.07(J)．
16．22 试证：平行板电容器中的位移电流可写成Id?C11112500w?B?H?BH??(nI)2??1000?4??10?7(?2)2
22220.5o` 图16.21
dU的形式，式中C是电容器的电容，U是dt两板间的电势差．对于其他的电容器上式可以应用吗？
[证明]根据麦克斯韦理论：通过电场任意截面的位移电流强度等于通过该截面电位移通量的时间变化率，即Id = dΦD/dt．
在平行板电容器中，由于ΦD = DS，
而电位移D等于电容器的面电荷密度，即 D = ζ．
因为电容器带电量为q = ζS = DS = ΦD，所以 Id = dq/dt，
即：位移电流等于极板上电量的时间变化率．根据电容的定义C = q/U，可得 Id = CdU/dt．
其他电容器可以看作由很多平等板电容器并联而成，总电容等于各电容之和，所以此式对于其他电容器也可以应用．
16．23 如果要在一个1.0PF的电容器中产生1.0A的位移电流，加上电容器上的电压变化率为多少？ [解答]因为Id = CdU/dt，所以电压变化率为 dU/dt = Id/C = 1/10-12 = 1012(V·s-1)．
16．24 在圆形极板的平行板电容器上，加上频率为50Hz，峰值为2×105V的交变电压，电容器电容C = 2PF，求极板间位移电流的最大值为多少？
[解答]交变电压为 U = Umcos2πνt， 位移电流为Id = CdU/dt = -CUm2πνsin2πνt， 电流最大值为Im = CUm2πν= 2×10-12×2×105×2π×50 = 4π×10-5(A)．
16．25 一平行板电容器的两极板面积为S的圆形金属板，接在交流电源上，板上电荷随时间变化，q = qmsinωt．求：
（1）电容器中的位移电流密度； （2）两极板间磁感应强度的分布．
[解答](1)平行板电容器的面电荷密度为ζ = q/S，位移电流密度为
?d?d?dqqm???cos?t． dtSdtS（2）在安培-麦克斯韦环路定律
??H?dl?I?ILLd中，两极板间没有传导电流，即I = 0．
由于轴对称，在两板之间以轴为圆心作一个半径为r的圆，其周长为 C = 2πr， 使磁场的方向与环路的方向相同，左边为
蜒?H?dl??HdlL?H2r．H ?dl??L环路所包围的面积为S` = πr2，右边的位移电流为 Id??dS`?因此，两极板间磁场强度的分布为 H?磁感应强度的分布为 B??0H?qm?(co?st?r)2． Sqm?rcos?t， 2S?0qm?r2Scos?t．
16．26 如图所示，电荷+q以速度v向O点运动（电荷到O点的距离以x表示）．以O点O圆心作一半径为a的圆，圆面与v垂直．试计算通过此圆面的位移电流．
[解答]在圆面上取一半径为R的环，其面积为dS = 2πRdR，
a
环上任一面元的法线方向与场强方向之间的夹角为φ，场强大小为 E = q/4πε0r2，
其中r = (x2 + R2)1/2，通过环的电通量为
dΦe = E·dS = EdScosφ，
r a 其中cosφ = x/r，所以得
θ qxRdRqxRdR d?e??， q v x O 3223/22?0ra2?0(x?R)积分得电通量为
图16.26
qxd(x2?R2)qx ?e??(1?)． 223/2?222?02?002(x?R)x?a由于电位移强度D和电场强度E的关系为 D = ε0E，
所以电位移通量和电通量之间的关系为 Φd = ε0Φe， 因此点电荷在圆面上通过的电位移通量为?d?q(1?2xx?a22)．
v q r θ φ r x O R E