兰州大学信息科学与工程学院 2012
2边界面的电势如图所示，管内电势?满足拉普拉斯方程即?T??0，试求该矩
形域内的势函数?。
2003级《电磁场理论》期中试试题参考答案
一. 解：采用球坐标系。 (1) 由高斯定理，得
?SE1?dS?E1?4?r2?Q?1，则介质1中的电场强度为
E1?Qer4??1r2(R1?r?R) (5分)
同理，介质2中的电场强度为
E2?Qer4??2r2(R?r?R2) (5分)
或由?D?dS?E1?4?r2?Q，及D??1E1??2E2得
SE1?Qer4??1r2(R1?r?R)；E2?Qer4??2r2(R?r?R2)
因此，电容器所储存的静电场能量为
11R1R2222We??D?EdV???1E1?4?rdr???2E2?4?r2dr2V2R12R (10分) 22Q(R?R1)Q(R2?R)??8??1R1R8??2RR2Q2(2) 由We?得
2C?R?R1R2?RQ2C????2We??4??1RR14??2RR2??? (10分) ??1 采用其它方法酌情给分。
二. 解：如图二所示，将平行四边形拼成一长方形，并不影响磁通的大小。采用
圆柱坐标系内，并使Z轴与载流导线重合，则有B?于是
?0I2?re?，
I ba?4 d 第二题图 5
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d?lndb2?m??B?dS??Sd?b2?0I2?rd?adr??0Ia2? (10分)
故得
M??mI??0a2?d?lnb2??0alnb?2d (10分) d2?2d三. 解：采用镜像法，如图所示，则场点P处电场强度的垂直于地面的分量为
Ey?E1cos?1?E2cos?2?Q0?y?hy?h?Q0??2???????RR?2???????y?hy?h???x2?(y?h)2x2?(y?h)2????
x R2P(x,y)R1(10分)
?Q0地表面上即y?0面上的电荷面密度为
??2(0,?h) ?1Q0?O(0,h)y?S??0E?n??0Eyy?0??Q0h (522?(x?h)分)
第三题图 地表面上沿带电直线方向单位长度上的总感应电荷为
Qi??SQ0h?SdS???dx??Q0 (10分)
???(x2?h2)?四. 解：采用直角坐标系下的分离变量法。定解问题为
???2??0(0?x?a,0?y?b)???? (5分) ?0,??x?0?0,?xx?a??3?x,??y?0?0,?y?b??0sin2a?设?(x,y)?X(x)Y(y)，代入到拉普拉斯方程及其边界条件，得
(2n?1)?(2n?1)?X(x)?sinx (5分) ,n?0,1,2,?，
2a2a(2n?1)?(2n?1)?y?Bnchy 故 Y(y)?Ansh2a2a kx?
6
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(2n?1)?(2n?1)??(2n?1)??通解为 ?(x,y)???Anshy?Bnchy?sinx
2a2a2a?n?0?? (5分)
利用边界条件，可得
(2n?1)?Bsinx?0，则有Bn?0；于是 ?n2an?0??3?(2n?1)??(2n?1)?? ?0sinx???Anshb?sinx
2a2a2a?n?0?比较两边系数，得
n?1，A1sh3?b??0，则A1?2a?03?bsh2a； An?0,(n?1) (5分)
定解为 ?(x,y)??0sh3?b2asin3?x3?y?sh 2a2a(5分)
兰州大学2006～2007 学年第 1 学期
期中考试试卷
课程名称：电磁场理论，电磁场与电磁波 任课教师： 学院： 信息科学与工程学院 专业： 年级： 姓名： 校园卡号： 题 号 分 数 阅卷教师 一 二 三 四 五 总 分
7
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一、已知半径r1的导体球带电量为Q，该导体被内外半径分别为r2、r3的同心导体球壳包围。导体球与球壳间填充介电常数为?的介质，球壳外为空气。如图1所示。求球内外4个区域的电场强度及3个金属表面处的自由电荷密度。
r3? r1r2?0 二、真空中一匝数为N、边长为a的方环形线圈载电流为I，求其中心处O点的磁感应强度。
第1题图 三、空气中有一半径为a的无限长直介质圆柱，其表面电势分布为
?(a,?)?U0(cos??cos3?)。试求圆柱外任一点的电势分布。
四、在球坐标系有一矢量F?f(r)er，如果
?1??F?，且f(1)?1，求函数f(r)的表达式。
r
考试中可能用到的公式：
32 ax?O 第3题图 ?1?21?1?(rFr)?(sin?F?)?(F?)； 1、球坐标系中 ??F?2rsin???rsin???r?r2、?dxx ?223/22221/2(x?a)a(x?a)兰州大学2006～2007 学年第 1 学期 期末考试试卷（A卷）参考答案
课程名称：《电磁场理论》，《电磁场与电磁波》 任课教师： 学院： 信息科学与工程学院 专业： 年级：
一. 判断题（每小题3分，共15分；在括号内正确的打√，错误的打×。）
1 （×） 2 （×） 3 （×） 4 （√） 5 （×）
二. 选择题（每小题3分，共15分；将正确答案的字母填在括号内。）
8