20. 解：(Ⅰ)因为an?2n?3n，所以a1??1，a2??2， a3??1，a4?4 所以b1??1， b2??33， b3??，b4?1 22(Ⅱ) （充分性）当数列{an}是等差数列时，设其公差为d 当 d?0时， an?an?1?d?0，所以an?an?1，所以Mn?an，mn?a1，
?an， ?an
当 d?0时， an?an?1?d?0，所以an?an?1，所以Mn?a1，mn 当 d?0时， an?an?1?d?0，所以an?an?1，所以Mn?a1，mn综上，总有 bn?an?a1 2a?a1an?1?a1d??，所以数列{bn}是等差数列 所以 bn?bn?1?n222（必要性） 当数列{bn}是等差数列时，设其公差为d 因为bn?bn?1?*Mn?mnMn?1?mn?1Mn?Mn?1mn?mn?1??+?d*， 2222根据Mn，mn的定义，有以下结论：
Mn?Mn?1，mn?mn?1，且两个不等式中至少有一个取等号
*当d?0时，则必有Mn?Mn?1，所以an?Mn?Mn?1?an?1，
所以{an}是一个单调递增数列，所以Mn所以bn?bn?1??an，mn?a1，
an?a1an?1?a1an?an?1???d* 222所以an?an?1?2d*，即{an}为等差数列
*当d?0时，则必有mn?mn?1，所以an?mn?mn?1?an?1
所以{an}是一个单调递减数列，所以Mn?a1，mn所以bn?bn?1??an，
a1?ana1?an?1an?an?1???d* 222所以an?an?1?2d*，即{an}为等差数列
*当d?0时，bn?bn?1?Mn?mnMn?1?mn?1Mn?Mn?1mn?mn?1??+?0 2222因为Mn?Mn?1，mn?mn?1中必有一个为0， 根据上式，一个为0，则另一个亦为0，
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所以Mn?Mn?1,mn?mn?1, 所以{an}为常数数列，所以{an}为等差数列 综上，结论得证.
(Ⅲ) 假设结论不成立. 因为|bn|?1，即bn?1 或者bn??1，
*所以对任意K?N，一定存在i?K，使得bi,bi?1符号相反
所以在数列{bn}中存在bk1,bk2,bk3,...,bki,bki?1....，其中k1?k2?k3...?ki?... 且 ?1?bk1?bk2?bk3?...?bki?bki?1....，
1?bk1?1?bk2?1?bk3?1?...?bki?1?bki?1?1...
因为bki??1,bki?1?1，即
Mki?mki2??1,Mki?1?mki?12?1
注意到Mki?1?Mki,mki?1?mki，且有且仅有一个等号成立， 所以必有Mki?1?Mki,mki?1?mki
所以Mki?1?Mki?4，所以aki?1?Mki?1?Mki?4 因为ki?ki?1，所以ki?ki?1?1 ，所以Mki?Mki-1+1 所以aki?1?Mki?4?Mki-1+1?4 所以aki?1?aki-1+1?4 所以aki?1?aki-1+1?4 所以ak2?1?ak1?1?4
ak3?1?ak2?1?4
ak4?1?ak3?1?4 …… akm?1?akm?1?1?4 所以akm?1?ak1+1?4(m?1) 所以akm?1?ak1+1?4(m?1)
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所以ak1010?1?ak1+1?4(1010?1)??2018?4036?2018， 这与|an|?2018矛盾，所以假设错误，
所以存在K?N，使得?n?K，有bn?1?bn. *
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