??0Ivcos?2?sin?L?0d(xA?lsin?)xA?lsin?xA?Lsin?xA
方向与速度方向相反．
取速度的方向为正，根据牛顿第二定律F = ma得速度的微分方程为
?(BL)vR2??0Iv2?cot?ln，
?mdvdt，
A端的电势高．
[讨论]（1）当θ→π/2时，cotθ = cosθ/sinθ→0，所以ε→0，就是说：当棒不切割磁力线时，棒中不产生电动势．
（2）当θ→0时，由于 lnxA?Lsin?xA?ln(1?Lsin?xA)?Lsin?xA即：
dvv??(BL)mR2dt
积分得方程的通解为
lnv??(BL)mR2t?C1．
，
所以???0IvL2?xA根据初始条件，当t = 0时，v = v0，可得常量C1 = lnv0．方程的特解为
v?v0exp[?(BL)mR2，这就是棒垂直割磁力线
t]．
时所产生电动势．
16．3 如图所示，平行导轨上放置一金属杆AB，质
A 量为m，长为B L．在导轨上的v0 R 端接有电阻R．匀强磁场BB 垂直导轨平面图17.3 向里．当AB
杆以初速度v0向运动时，求：
（1）AB杆能够移动的距离；
（2）在移动过程中电阻R上放出的焦耳热为多少？
[分析]当杆运动时会产生动生电动势，在电路中形成电流；这时杆又变成通电导体，所受的安培力与速度方向相反，所以杆将做减速运动．随着杆的速度变小，动生电动势也会变小，因而电流也会变小，所受的安培力也会变小，所以杆做加速度不断减小的减速运动，最后缓慢地停下来．
[解答]（1）方法一：速度法．设杆运动时间t时的速度为v，则动生电动势为
ε = BLv，
电流为 I = ε/R， 所受的安培力的大小为
F = ILB = εLB/R = (BL)2v/R，
32
由于v = dx/dt，可得位移的微分方程
dx?v0exp[?(BL)mR2t]dt，
方程的通解为
x?v0?exp[??mRv0(BL)2(BL)mR2t]dt
?exp[?(BL)mR2t]?C2，
当t = 0时，x = 0，所以常量为C2?方程的特解为
x?mRv0(BL)2mRv0(BL)2．
{1?exp[?(BL)mR2t]}．
当时间t趋于无穷大时，杆运动的距离为x?mRv0(BL)2．
方法二：冲量法．由F = -(BL)2v/R，得
?(BL)R2dx?Fdt，
右边积分得
?tFdt?0?mv0，
即：杆所受的冲量等于杆的动量的变化量． 左边积分后，可得x?mv0R(BL)2．
F = ILB = εLB/R = (BL)2vcosθ/R，
其方向水平向右．安培力沿着斜面向上的分量为植 F` = Fcosθ， 其方向与速度的方向相反．
取速度的方向为正，根据牛顿第二定律ΣF = ma得速度的微分方程为
mgsin??(BLcos?)vRmRmgRsin??(BLcos?)v2（2）杆在移动过程中产生的焦耳热元为
dQ?IRdt?22?mdvdt，
?2Rdt?(BLv)R22dt
即 dt?t]dt
dv，
?(BLv0)R2exp[?2(BL)mR方程可化为
dt??mR(BLcos?)2整个运动过程中产生的焦耳热为
Q?(BLv0)R20d[mgRsin??(BLcos?)v]mgRsin??(BLcos?)v22．
2??exp[?02(BL)mR?2t]dt
积分得方程的通解为
t??mR(BLcos?)22 ln[mgRsin??(BLcos?)v]?C．
??mv2exp[?2(BL)mR2t]0?mv220，
即：焦耳热是杆的动能转化而来的．
16．4 如图所示，质量为m、长度为L的金属棒AB从静止开始沿倾斜的绝缘框架滑下．磁感应强度B的方向竖直向上（忽略棒AB与框架之间的摩擦），求棒AB的动生电动势．若棒AB沿光滑的金属框架滑下，设金属棒与金属框组成的回路的电阻R为常量，棒AB的动生电动势又为多少？
[解答]（1）棒
B A 的加速度为
D a = gsinθ， 经过时间t，棒的速B 度为 θ v = at = (gsinθ)t， C 图17.4 而切割磁力线的速
度为 v⊥ = vcosθ， 所以棒的动生电动势为
ε = BLv⊥ = BLg(sinθcosθ)t = BLg(sin2θ)t/2． （2）设棒运动时间t时的速度为v，则动生电动势为 ε = BLvcosθ， 电流为 I = ε/R， 所受的安培力的大小为
根据初始条件，当t = 0时，v = 0，可得常量
C?mR(BLcos?)2ln(mgRsin?)，
方程的特解为
t??mR(BLcos?)2ln[mgRsin??(BLcos?)v]mgRsin?2，
棒的速度为
v?mgRsin?(BLcos?)2{1?exp[?(BLcos?)mR2 t]}，
动生电动势为
??BLvcos?
?mgRBLtan?{1?exp[?(BLcos?)mR2 t]}．
[讨论]当时间t趋于无穷大时，最终速度为 v?mgRsin?(BLcos?)2，
最终电动势为 ??mgRtan?， BL 33
最终电流为 I?mgBLtan?．
另外，棒最终做匀速运动，重力做功的
功率等于感生电流做功的功率，重力做功的功率为 P = mgsinθv， 感生电流做功的功率为
P?IR?2?2R?(BLvcos?)RmgRsin?2，
两式联立也可得v?(BLcos?)2，
由此可以求出最终电动势和电流．
[注意]只有当物体做匀速运动时，重力所做的功才等于电流所做的功，否则，重力还有一部分功转换成物体的动能．
16．5 电磁涡流制动器是一个电导率为ζ，厚度为t的圆盘，
B 此盘绕通过其中心的ω a r a t 垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均
图17.5
匀磁场B垂直于圆
盘，小面积离轴r（r>>a）．当圆盘角速度为ω时，试证此圆盘受到一阻碍其转动的磁力矩，其大小近似地表达为M≈B2a2r2ωζt．
[解答]电导率是电阻率的倒数ζ = 1/ρ．不妨将圆盘与磁场相对的部分当成长、宽和高分别为a、a和t的小导体，其横截面积为
S = at，
电流将从横截面中流过，长度为a，因此其电阻为
a a l1S I t ． R???SM = Fr = B2a2r2ωζt．
其方向与角速度的方向相反．
16．6 如图，有一弯成θ角的金属架COD放在磁场中，磁感应强度B的方向垂直于金属架COD所在平面，一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度v向右滑动，v与MN垂直，设t = 0时，x = 0，求下列两情形，框
M C 架内的感应电动势B εi．
v （1）磁场分布θ O 均匀，且B不随时N D x 间改变； 图17.6
（2）非均匀的
交变磁场B = Kxcosωt．
[解答]（1）经过时间t，导体杆前进的距离为 x = vt，
杆的有效长度为 l = xtanθ = v(tanθ)t， 动生电动势为 εi = Blv = Bv2(tanθ)t．
（2）导体杆扫过的三角形的面积为
S = xl/2 = x2tanθ/2 = v2t2tanθ/2，
通过该面的磁通量为
??BS?kxtan?23cos?t
?kvtan?233tcos?t
感应电动势为
?i??3d?dt
??kvtan?2kvtan?23 (3tcos?t??tsin?t)，
23?t宽为a的边扫过磁场中，速度大小为
v = rω，
产生的感生电动势为 ε = Bav = Barω，
圆盘其他部分的电阻远小于小导体的电阻，因此通过小导体的电流强度为
I = ε/R = Barωζt，
所受的安培力为
F = IaB = B2a2rωζt，
其方向与速度方向相反．产生的磁力矩为
即：?i?2 t(?tsin?t?3cos?t)．
16．7 如图所示的回路，磁感应强度B垂直于回路平面向里，磁通量按下述规律变化Φ = 3t2 + 2t + 1，式中Φ的单位为毫
B 韦伯，t的单位为
34
R 图17.7
B r x I 秒．求：
（1）在t = 2s时回路中的感生电动势为多少？
（2）电阻上的电流方向如何？ [解答]（1）将磁通量的单位化为韦伯得
Φ = (3t2 + 2t + 1)/103，
感生电动势大小为
ε = |dΦ/dt| = 2(3t + 1)/103．
t = 2s时的感生电动势为1.4×10-2(V)．
（2）由于原磁场在增加，根据楞次定律，感应电流所产生的磁场的方向与原磁场的方向相反，所以在线圈中感生电流的方向是逆时针的，从电阻的左边流向右边．
16．8 如图所示的两个同轴圆形导体线圈，小线圈在大线圈上面．两线圈的距离为x，设x远大于圆半径R．大线圈中通有电流I时，若半径为r的小线圈中的磁场可看作是均匀的，且以速率v = dx/dt运动．求x = NR时，小线圈中的感应电动势为多少？感应电流的方向如何？
[解答]环电流在轴线上产生的磁感应强度为
B??0IR2223/22(x?R)，
当x>>R时，磁感应强度为 B??0IR2x32．
小线圈的面积为S = πr2，通过的磁通量为
??BS???0IRr2x322，
当小线圈运动时，感应电动势为
???d?dt?3??0IRrv2x422，
o R 16．9 如图所示，匀强图17.8 磁场B与矩形导线回路的法线n成θ = 60°
n B A 角，B = kt（k为大
θ 于零的常数）．长为
L v L的导体杆AB以匀
速v向右平动，求D B 回路中t时刻的感图17.9 应电动势的大小和
方向（设t = 0时，x = 0）．
[解答]经过时间t，导体杆运动的距离为
x = vt，
扫过的面积为 S = Lx = Lvt， 通过此面积的磁通量为 Φ = B·S = BScosθ = Lvkt2/2． 感应电动势的大小为
ε = dΦ/dt = Lvkt．
由于回路中磁通量在增加，而感应电流的磁通量阻碍原磁通量增加，其磁场与原磁场的方向相反，所以感应电动势的方向是顺时针的．
16．10 长为b，宽为a的矩形线圈ABCD与无限长直截流导线共面，且线圈的长边平行于长直导线，线圈以速度v向右平动，t时刻基AD边距离长直导线为x；且长直导线中的电流按I = I0cosωt规律随时间变化，如图所示．求回路中的电动势ε．
[解答]电流A B I在r处产生的磁B dr感应强度为 rv b?0I， B?2?rx 穿过面积元dS = D a C bdr的磁通量为
?Ib图17.10
d??BdS?02?rdr当x = NR时，感应电动势为
??3??0Irv2NR422，
穿过矩形线圈ABCD的磁通量为 ???0Ib2?x?a．
?x1rdr??0Ib2?ln(x?ax)，
感应电流的磁场与原磁场的方向相同，感应电流的方向与原电流的环绕方向相同．
回路中的电动势为
35