第12章 静电场
P35．
12．3 如图所示，
在直角三角形ABCD的q1 A A点处，有点电荷q1 = 1.8×10-9C，B点处有点C E2 B θ 电荷q10C，AC Eq2 2 = -4.8×-9
1 E = 3cm，BC = 4cm，试求图13.1 C点的场强．
[解答]根据点电荷的场强大小的公式
E?kq，
r2?1q4??r20其中1/(4πε0) = k = 9.0×109N·m2·C-2．
点电荷q1在C点产生的场强大小为
E1?1q14??C2
0A?9?9?109?1.8?104(3?10?2)2?1.8?10(N?C-1)，
方向向下．
点电荷q2在C点产生的场强大小为
E2?1|q2|4??2
0BC?9?9?109?4.8?10(4?10?2)2?2.7?104(N?C-1)，
方向向右．
C处的总场强大小为
E?E221?E2
?0.913?104?3.245?104(N?C-1)，
总场强与分场强E2的夹角为
??arctanE1E?33.69?．
2
12．4 半径为R的一段圆弧，圆心角为
60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强．
[解答]在带正电的圆弧上取一弧元 ds R ds = Rdθ，
θ O Ex x 电荷元为dq = λds，
Ey E 在O点产生的场强大y 小为
dE?1dq4??2?1?ds???，
0R4??20R4??0Rd场强的分量为dEx = dEcosθ，dEy = dEsinθ．
对于带负电的圆弧，同样可得在O点的Ex θ 场强的两个分量．由于O 弧形是对称的，x方向
dsE x R Ey 的合场强为零，总场强y 沿着y轴正方向，大小为
E?2Ey??LdEsin?
?/6?/6??2???sin?d???0R02??(?cos?)
0R0?(1?3?．
2)2??0R
12．5 均匀带电细棒，棒长a = 20cm，电荷线密度为λ = 3×10-8C·m-1，求：
（1）棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm处的场强；
（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2 = 8cm处的场强．
[解答]（1）建立坐标系，其中L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)．
在
细棒上y dl取一线l r P1 x 元dl，所带的电
-L o L d1 量为dq = λdl，
根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产
1
生的场强的大小为
dE1?kdqr2??dl2Ey???4??0d2L4??0(x?l)
??l??Lsin?d?
场强的方向沿x轴正向．因此P1点的总场强大小通过积分得 E1??4??0d2Lcos?l??L
?4??0?L??Ldl(x?l)1L2
??4??0d214??0d2ld22L
?l2l??L?4??0x?l
?L?2L?d22． ②
2?L??4??01(1x?L2L?22?1x?L将数值代入公式得P2点的场强为
)
Ey?9?10?92?0.1?3?102?821/20.08(0.08?0.1)
?4??0x?L． ①
将数值代入公式得P1点的场强为
E1?9?10?92?0.1?3?100.18?0.122?8= 5.27×103(N·C-1)． 方向沿着y轴正向．
[讨论]（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入①式，化简得
E1?
?a= 2.41×103(N·C-1)，
方向沿着x轴正向．
（2）建立
y dE2 坐标系，y = d2． dEy θ 在细棒上P2 dEx 取一线元dl，所
d2 r -L L 带的电量为 θ o x dq = λdl，
ldl 在棒的垂直平
分线上的P2点产生的场强的大小为
dE2?kdqr24??0d1d1?a??14??0d1d1/a?1，
保持d1不变，当a→∞时，可得
E1??4??0d1， ③
这就是半无限长带电直线在相距为d1的延
长线上产生的场强大小．
（2）由②式得
Ey??4??0d222ad?(a/2)1(d2/a)?(1/2)22 ??dl24??0r，
??4??0d2，
2由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为 dEy = dE2sinθ．
由图可知：r = d2/sinθ，l = d2cotθ， 所以 dl = -d2dθ/sin2θ， 因此 dEy?总场强大小为
??4??0d2sin?d?，
当a→∞时，得 Ey??2??0d2， ④
这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式．
如果d1=d2，则有大小关系Ey = 2E1．
1
12．6 一均匀带电无限长细棒被弯成如R 图所示的对称形状，试O θ 问θ为何值时，圆心O点处的场强为零．
图13.4
[解答]设电荷线密
度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强．
dφ 在圆弧上取一
R 弧元 ds =R dφ， O φ θ x 所带的电量为
dE dq = λds，
在圆心处产生的场强的大小为
dE?kdqr2方向沿着x轴负向．
当O点合场强为零时，必有Ex?Ex，可得 tanθ/2 = 1， 因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2．
12．7 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为ζ，
P a b 如图所示．试求：
（1）平板所在平面内，距薄板边缘为a
d 处的场强．
（2）通过薄板几
Q 何中心的垂直线上与
图13.5 薄板距离为d处的场
强．
[解答]（1）建
y 立坐标系．在平面薄
a b 板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的
线密度为
dλ = ζd x， 根据直线带电线的场强公式
E?`??ds24??0R??4??0Rd?，
由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为
dEx = -dEcosφ． 总场强为
Ex???4??0R??4??0R2???/2??/2cos?d?
O dx P x 2???/2?sin??/2
?2??0r??2??0Rsin?2，
，
得带电直线在P点产生的场强为
dE?d?2??0r?方向沿着x轴正向．
再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．
R 根据上一题的E`` x O θ 公式③可得半无限
长带电直线在延长E` 上O点产生的场强大小为
E?`?dx2??0(b/2?a?x)，
其方向沿x轴正向．
由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为
E??2??0??2??0b/2??b/21b/2?a?xdx
?4??0R，
?b/2ln(b/2?a?x)?b/2
由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为
Ex?2Ecos``?2??2??0Rcos?2??2??0ln(1?ba)． ①
，
2
场强方向沿x轴正向．
（2）为了便于观察，将薄板旋转建Ez??arctan(b/2d)，
立坐标x 系．仍然在dx 平面薄板上r θ z 取一宽度为O d Q dx的带电直
b dE 线，电荷的y 线密度仍然为
dλ = ζd x，
带电直线在Q点产生的场强为
dE?d??dx2??0r?2??0(b2?x2)1/2，
沿z轴方向的分量为
dEz?dEcos???cos?dx2??221/2，
0(b?x)设x = dtanθ，则dx = ddθ/cos2θ，因此
dEz?dEcos???2??d?
0积分得
arctan(b/2d)E?z???arctan(b/2d)2??d?
0??b??arctan(2d)． ②
0场强方向沿z轴正向．
[讨论]（1）薄板单位长度上电荷为
λ = ζb，
①式的场强可化为
E??ln(1?b/a)2??
0ab/a，当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为
E??2??， ③
0a这正是带电直线的场强公式．
（2）②也可以化为
2??0db/2d当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为
Ez??2??，
0d这也是带电直线的场强公式．
当b→∞时，可得
Ez??2?， ④
0这是无限大带电平面所产生的场强公式．
12．8 （1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？
（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？
[解答]点电荷产生的电通量为
Φe = q/ε0．
（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为
Φ1 = Φe/6 = q/6ε0．
（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为
Φ1 = Φe/24 = q/24ε0；
立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．
12．9 面电荷密度为ζ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，如图所示．求通过此半球面的
R O 电通量．
[解答]设想
图13.7
在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包含的电荷为
q = πR2ζ， 通过球面的电通量为
3