3-13一人手拿两个哑铃，两臂平伸并绕右足尖旋转，转动惯量为J，角速度为ω。若此人突然将两臂收回，转动惯量变为J/3。如忽略摩擦力，求：此人收臂后的动能与收臂前的动能之比。
解：因人在转动过程中所受重力和支持力对转轴的力矩均为零，所以此人的转动满足刚体绕定轴转动的角动量守恒定律。设人收回两臂后的角速度为
??，由L1?L2得
J??即
J?? 3???3?
所以，收臂后的动能与收臂前的动能之比为
1J2??23?Ek3?? 1Ek1J?22
3-14一质量为m的人站在一质量为m、半径为R的水平圆盘上，圆盘可无摩擦地绕通过其中心的竖直轴转动。系统原来是静止的，后来人沿着与圆盘同心，半径为r(r?R)的圆周走动。求：当人相对于地面的走动速率为v时，圆盘转动的角速度为多大？
解：对于转轴，人与圆盘组成的系统角动量守恒。 人的转动惯量为
J人?mr2
13
圆盘的转动惯量为
J盘1?mR2
2选地面为惯性参照系，根据角动量守恒定律，有
J人?人?J盘?盘?0
其中 ?人?v，代入上式得 r?盘2r??2v
R负号表示圆盘的转动方向和人的走动方向相反。
3-16一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0，设它所受阻力矩与转动角速度之间的关系为M??kω (k为正常数)。 则在它的角速度从ω0变为
1ω0过程中阻力矩所做的功为多少？ 2解：根据刚体绕定轴转动的动能定理，阻力矩所做的功为
A??Md??将??112J?2?J?0 221?0代入上式，得 232A??J?0
8
3-17 一根质量为m、长为l的均匀细棒，可绕通过其一段的光滑轴O在竖直平面内转动。设t?0时刻，细棒从水平位置开始自由下摆，求：细棒摆到竖直位置时其中心点C和端点A的速度。
解：对细棒进行受力分析可知，在转动过程中，细棒受到重力P和轴
14
对棒的支持力N的作用。其中支持力N的大小和方向是随时变化的。 在棒转动过程中，支持力N通过轴O，所以对轴O的力矩始终为零。重力对轴O的力矩为变力矩，是棒运动的合外力矩。设在转动过程中某时刻，棒与水平方向成?角，则重力矩为
O?lM?mgcos?2中，重力矩做的功为
CA
所以细棒在由水平位置转到竖直位置的过程
P
A??Md????20ll mgcos?d??mg22设棒在水平位置的角速度为?0?0，在竖直位置的角速度为?。根据刚体定轴转动的动能定理，有
l1A?mg?Ek?Ek0?J?2?0
2212J?ml，代入上式得??其中，棒的转动惯量为
3l1v???3gl
端点A的速度分别为C223gl
根据速度和角速度的关系v??r，细棒摆到竖直位置时其中心点C和
vA??l?3gl
15
3-18如习题3-18图所示，斜面倾角为θ，位于斜面顶端的卷扬机的鼓轮半
?径为r，转动惯量为J，受到驱动力矩M作用，通过绳索牵引斜面上质量为m的物体，物体与斜面间的摩擦系数为μ，求重物上滑的加速度。(绳与斜面平行，绳的质量不计，且不可伸长)
解：采用隔离法分别对物体m和鼓轮进行受力分析，如习题3-18图(b)所
????示。重物m受到重力P，绳的拉力T，斜面的支持力N和摩擦力f的作用。设
?重物上滑的加速度为a，根据牛顿第二定律，有
?????P?T?f?N?ma
Mrmθ(a)沿斜面方向和垂直于斜面的方向建立直角坐标系，则上式可分解为
x方向 T?f?mgsinθ?ma (1)
y方向 N?mgcosθ?0 (2)
且有 f?μN (3)
对鼓轮进行受力分析可知，使鼓轮转动的力矩为驱
???动力矩M。绳的拉力T?对转轴的力矩，其方向和M相反，所以是阻力矩。设鼓轮的转轴垂直于纸面指向读者，根据刚体的定轴转动定律，有
yfNTxMθrT?(b)PM?T?r?Jα (4)
绳的质量不计，且不可伸长，所以有
习题3-18图
T?T? (5)
重物上滑的加速度的大小等于鼓轮转动的切向加速度的大小。由切向加速度和角加速度的关系，有
a?rα (6)
将上面6个方程联立，可求得重物上滑的加速度为
a?
?M?μmgrcosθ?mgrsinθ?
J?mr2
16