A12?(?1)1?2a21a31a23a33.
注意 左上角元素a11的代数余子式A11取正号, 其余正负相间. 特别, 主对角元素aii的代数余子式Aii全取正号.
引理1.1 如果一个n阶行列式D的第i行中只有aij不等于0, 则这个行列式等于aij与其代数余子式Aij的乘积. 即D?aijAij.
证 先考虑i?j?n的特殊情况. 根据定义, 为了产生非零项, 在行列式D的第n行只能取ann. 于是, 有
D??(?1)ta1p1a2p2?a(n?1)pn?1ann?ann?(?1)ta1p1a2p2?a(n?1)pn?1,
其中t是列标排列p1p2?pn?1n的逆序数, 求和遍及1,2,?,n?1的所有排列p1p2?pn?1. 然而排列p1p2?pn?1n与排列p1p2?pn?1的逆序数相等, 因此, 上式右边的和式为
?(?1)at1p1a2p2?a(n?1)pn?1?Mnn?(?1)n?nMnn?Ann.
于是, 有D?annAnn.
现在考虑一般情况, 设行列式D的第i行中只有aij不等于0. 将D的第i行与第i?1行交换, 再将所得行列式的第i?1行与第i?2行交换, 继续进行, 直到D的第i行移到最后一行, 而其他行的上下顺序不变. 在这个过程中, 共进行n?i次交换行. 用同样的方法, 将所得的行列式的第j列逐步移到最后一列, 而其他列的左右顺序不变. 在这个过程中, 共进行
n?j次交换列. 最后得到的行列式记作B, 则在B的最后一行中只有最后一个元素aij不等
于0, 而且aij在B中的代数余子式就是aij在D中的余子式Mij. 由前面证明的特殊情况, 有B?aijMij. 另一方面, 根据性质1.2, 有B?(?1)有D?(?1)i?j(n?i)?(n?j)D, 即D?(?1)i?jB. 于是,
aijMij?aijAij.
定理1.3 对于n阶行列式D, 有
D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin; D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj.
证 将行列式D的第i行的每个元素改写成n个数的和, 其中由aij改写成的和中的第j个加数等于aij, 其他元素等于0. 用性质1.4的推广, 则D等于n个行列式的和. 在第j个行列式的第i行中, 只有属于第j列的元素等于aij, 其他元素等于0.
对这n个行列式分别用引理1.1, 得D?ai1Ai1???aijAij???ainAin.
注意 用定理1.3, 可以将一个n阶行列式的计算转化为n个n?1阶行列式的计算. 不过, 当行列式的阶数较大时, 计算量仍然相当大. 除非在行列式中有很多元素等于0. 联合使用消元与按照一行(列)展开, 常能得到最简捷的计算路线.
0342例1.11 计算行列式
007624310050.
解 先按照第四行展开, 得
9
0342007632?(?1)4?35006??10??180.
2431062410050有时用数学归纳法计算n阶行列式是比较方便的. 不过此时需要行列式Dn与Dn?1,
032Dn?2之间的关系.
a?b1例1.12 求证: Dn?aba?b1?000ab?00????000?100an?1?bn?1. ?a?b?0?00a?b?0?a?baba?ba2?b2a3?b322证 计算可得D1?a?b?, D2?a?ab?b?. 设命题对于
a?ba?bn?1阶与n?2阶行列式成立.
考虑n阶行列式, 按第一行展开, 得
a?bab0?001 Dn?a?b1?00abab?00???00?1000?aba?b1
0?00a?ba?b??a?b???00?1ab?00???00?100? aba?b1?(a?b)?00a?b??000aba?b000a?b???ab??a?b?a?ban?1?bn?1?(a?b)Dn?1?abDn?2?.
a?b111?1xn2??(xj?xi). xnx1 例1.13 求证: Dn?x12x22x2x32x3????x1n?1?n?1x2??i?jn?1n?1x3?xn解 当n?2时, 有D2?x2?x1. 设命题对于n?1阶行列式Dn?1成立. 考虑n阶行列式Dn, 从下边开始, 下面一行减去上面一行的x1倍, 得
10
1x1 Dn?x121x22x21x32x3????11xn2 xn?x1n?110?0?0?n?1x2??????1xn?x1xn(xn?x1)
?n?1n?1x3?xn1x2?x1x2(x2?x1)?x3?x1x3(x3?x1)?n?2n?2n?2x2(x2?x1)x3(x3?x1)?xn(xn?x1)1?(x2?x1)(x3?x1)?(xn?x1)x2?n?2x21x3????1xn?
n?2n?2x3?xn?(x2?x1)(x3?x1)?(xn?x1)Dn?1??(xj?xi).
i?j与前面的例题不同, 这里不是下面各行减去第一行, 而是下面一行减去其上面一行. 当
然现在必须从第n行开始, 逐行向上做.
这个行列式称为范德蒙行列式. 易见, 当x1,x2,?,xn两两不同时, 范德蒙行列式不等于0. 这个性质产生了范德蒙行列式的许多应用.
1?a12例1.14 求证: Dn?a1a2?ana2??a1ana2an?2ak?n!(1??).
k?1kna2a1?ana1222?a2?2?n?an解 当n?1, D1?1?a1. 设命题对于n?1阶行列式Dn?1成立. 考虑n阶行列式Dn, 按照最后一行分成两个行列式的和, 得
1?a12 Dn?a1a222?a2???a1ana2an?1?a12
a2a1?a1a2?0a1a2???a1an?????n20?ana10?ana2?n?an1?a12?a2a1?01?a12?na2a1?an?1a1a1a2?ana21?an0a1?a1an??02?2an22?a2?a2an?a2a1?ana122?a2?a2an
a1an?1a2an?1???00
22?a2?????an?an2an?1a2?(n?1)?an?1 11
22nakak2 =nDn?1?(n?1)!a?n[(n?1)!(1??)]?(n?1)!an?n!(1??).
k?1kk?1k2nn?1
推论1.3 行列式的任意一行(列)的元素与另一行的元素的代数余子式的乘积之和等于零. 即当i?j时, 有
a1iA1j?a2iA2j???aniAnj?0; ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0.
证 只证第一个等式. 反向用定理1,3, 则a1iA1j?a2iA2j???aniAnj等于一个n阶行列式. 这个行列式的第i行与第j行相同, 根据推论1.1, 该行列式等于0.
习题1-3
11. 计算行列式D?23002111的第二行所有元素的余子式与代数余子式.
1?131?1?10x0 2. 计算行列式Dn?yx000?1x0?0an?10yx000?1x?0?????????000x0000x000yx000?1a0?a0xn?a1xn?1???an?1x?an.
.
00y??????x0 3. 求证: Dn?1?0?0an???an?2?a121 4. 求证: Dn?1210001200?????000210001211bb2b31cc2c31xx2x3?0.
aa2a3000???????n?1.
5. 设常数a,b,c两两不等, 解方程f(x)? 12