??163
?a－b＝1，
22b1a＝2，
?a2＝4，?x22
解得?2∴双曲线的标准方程为－y＝1．
4??b＝1，
x22
答案：－y＝1
4
x2y2
5．(2016·北京高考)双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC
ab所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________．
解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．
∵四边形OABC为正方形，|OA|＝2， π
∴c＝|OB|＝22，∠AOB＝．
4
bb
∵直线OA是渐近线，方程为y＝ax，∴a＝tan∠AOB＝1，即a＝b． 又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2． 答案：2
命题点三 抛物线 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：中 题型：选择题、填空题、解答题 11．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：
2y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A．3 C．9
B．6 D．12
x2y2
解析：选B 由题意，设椭圆E的方程为2＋2＝1(a>b>0)，∵抛物线y2＝8x的焦点为
ab(2,0)，
∴椭圆中c＝2，
c1
又a＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，
2x2y2
从而椭圆的方程为＋＝1．
1612∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2， ∴xA＝xB＝－2，
将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3， 由椭圆的对称性可知|AB|＝2|yA|＝6．
2．(2015·浙江高考)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
|BF|－1A．
|AF|－1|BF|＋1C．
|AF|＋1
|BF|2－1B．
|AF|2－1|BF|2＋1D．
|AF|2＋1
解析：选A 由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，|BC|
且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于．由
|AC|抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1．∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M．由抛物线定义，得|BM|＝|BF||BC||BM||BF|－1
－1，|AN|＝|AF|－1．在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝．
|AC||AN||AF|－1
x2y2
3．(2015·山东高考)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近
ab线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
2
2pb2pbb?解析：双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立得交点A??a，a2?，a
2pb2pbp
－a，2?，抛物线焦点为F?0，?，由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF·B?kOA
a???2?p2pb2
－2a2ab?babbb25?＝－1，又kBF＝＝－a，kOA＝a，所以有?4b－a?a＝－1，即2＝，故C1的离心2pb4ba4ac率e＝a＝
3
答案：
2
x2
4．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于
4M，N两点．
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由． 解：(1)由题设可得M(2a，a)，N(－2a，a)， 或M(－2a，a)，N(2a，a)．
b21＋2＝ a
531＋＝． 42
2
x
又y′＝，
2
x2
故y＝在x＝2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为y－a＝a(x－2a)，
4即ax－y－a＝0．
x2
y＝在x＝－2a处的导数值为－a，C在点(－2a，a)处的切线方程为y－a＝－a(x
4＋2a)，
即ax＋y＋a＝0．
故所求切线方程为ax－y－a＝0和ax＋y＋a＝0． (2)存在符合题意的点．理由如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2．
将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0． 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a． 从而k1＋k2＝＝
y1－by2－b
＋ x1x2
2kx1x2＋?a－b??x1＋x2?k?a＋b?
＝a．
x1x2
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．
命题点四 圆锥曲线中的综合问题 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：高 题型：解答题 x2y21．(2016·全国甲卷)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E
43于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，证明：3＜k＜2． 解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1＞0．
π
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为．
4又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2． x2y2
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0．
43解得y＝0或y＝
12， 7
所以y1＝
12． 7
11212144
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝．
27749(2)证明：设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k＞0)， x2y2
代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0．
4316k2－122?3－4k2?
由x1·(－2)＝，得x1＝，
3＋4k23＋4k2121＋k2故|AM|＝|x1＋2|1＋k＝．
3＋4k221
由题意，设直线AN的方程为y＝－k(x＋2)， 12k1＋k2故同理可得|AN|＝．
3k2＋4由2|AM|＝|AN|，得
k2
， 2＝23＋4k3k＋4
即4k3－6k2＋3k－8＝0．
设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点． f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0， 所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增． 又f(3)＝153－26＜0，f(2)＝6＞0，
因此f(t)在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k在(3，2)内， 所以3＜k＜2．
2．(2016·全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
解：(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|， 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|． 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16， 从而|AD|＝4， 所以|EA|＋|EB|＝4．
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，
x2y2
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
43
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． y＝k?x－1?，??22由?xy得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0， ??4＋3＝14k2－128k2
则x1＋x2＝2，x1x2＝2．
4k＋34k＋312?k2＋1?
所以|MN|＝1＋k|x1－x2|＝．
4k2＋3
2
1过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，
k点A到直线m的距离为
2
， k2＋1
4k2＋3
． k2＋1
1
1＋2． 4k＋3
所以|PQ|＝2?2?24－?2?＝4
?k＋1?
2
1
故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝122
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83)． 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8， 故四边形MPNQ的面积为12．
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83)．