板块命题点专练（十四）
命题点一 椭圆 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：高、中 题型：选择题、填空题、解答题 x2y21．(2015·广东高考)已知椭圆＋2＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )
25mA．2 C．4
B．3 D．9
解析：选B 由左焦点为F1(－4,0)知c＝4．又a＝5， ∴25－m2＝16，解得m＝3或－3．又m＞0，故m＝3．
x2y2
2．(2016·全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，
abB分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
1A．
32C．
3
1B．
23D．
4
解析：选A 如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)． 设E(0，m)， 由PF∥OE，得
|MF||AF|
＝， |OE||AO|
m?a－c?
则|MF|＝．①
a
1|OE|2|BO|
又由OE∥MF，得＝，
|MF||BF|m?a＋c?
则|MF|＝．②
2a
1
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，
2c1∴e＝a＝．
3故选A．
3．(2016·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为1
其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
4
1A．
3
1B．
2
2C．
33D．
4
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l|－bc|xyc111
的方程为c＋b＝1，即bx＋cy－bc＝0．由题意知22＝×2b，解得a＝，即e＝．故
22b＋c4选B．
x2y2b
4．(2015·浙江高考)椭圆2＋2＝1(a＞b＞0 )的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q
cab在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
解析：设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，b
设QF与直线y＝x交于点M．由题意知M为线段QF的中点，且
cOM⊥FQ．
又O为线段F1F的中点，
∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|． |MF|b
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，
|OM|cc2bc
可解得|OM|＝a，|MF|＝a，
2bc2c2
故|QF|＝2|MF|＝a，|QF1|＝2|OM|＝a． 2bc2c2
由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝a＋a＝2a， 整理得b＝c，
c2
∴a＝b2＋c2＝2c，故e＝a＝．
2答案：
2 2
x2y22
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，2)在C上．
ab2(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
a2－b2242解：(1)由题意得a＝，2＋2＝1，
2ab解得a2＝8，b2＝4． x2y2
所以C的方程为＋＝1．
84
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
x2y2
将y＝kx＋b代入＋＝1，
84得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0． 故xM＝
x1＋x2－2kbb
＝2，yM＝k·xM＋b＝2． 22k＋12k＋1
yM1
于是直线OM的斜率kOM＝x＝－，
2kM1
即kOM·k＝－．
2
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
命题点二 双曲线 命题指数：☆☆☆☆ 难度：中 题型：选择题、填空题 x2y21．(2016·全国乙卷)已知方程2－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的
m＋n3m2－n距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) C．(0,3)
B．(－1，3) D．(0，3)
解析：选A 由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2 2．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( ) A．5 C．3 B．2 D．2 解析：选D 不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线x2y2 方程为2－2＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180° ab－120°＝60°， ∴点M的坐标为(2a，3a)． ∵点M在双曲线上， 4a23a2 ∴2－2＝1，解得a＝b， abc ∴c＝2a，e＝a＝2．故选D． x2y2 3．(2016·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左，右焦点，点M在E上， ab1 MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( ) 3 A．2 C．3 3B． 2D．2 c2c 解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e＝a＝＝ 2a|F1F2| ，由正弦定理得 |MF2|－|MF1| e＝ |F1F2| ＝ |MF2|－|MF1| 223sin∠F1MF2 ＝＝2．故选A． 1sin∠MF1F2－sin∠MF2F1 1－3 b2 法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝． a |MF1|11 又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义得2a＝|MF2|－ 3|MF2|32b2c |MF1|＝2|MF1|＝a，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝a＝2． 1 4．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的 2标准方程为________． 1 解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x， 2∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)2＝4， x22 ∴双曲线的标准方程为－y＝1． 4 1 法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而3<2， 2 11 ∴点(4，3)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)． 22 ∴双曲线的焦点在x轴上， 故可设双曲线方程为 x2y2 －＝1(a>0，b>0)． a2b2由已知条件可得